カジダン・マルグリスの定理

数学の一分野であるリー理論において、カジュダン・マルグリスの定理は、半単純リー群の離散部分群は群内で稠密になりすぎることはできないと主張するものである。より正確には、そのようなリー群には単位元の一様近傍が存在し、群内のすべての格子には共役点があり、この近傍との交点には単位元のみが含まれる。この結果は、1960年代にデイヴィッド・カジュダンとグリゴリー・マルグリスによって証明された。^[1]

Kazhdan-Margulis の定理の正式な記述は次のとおりです。

を半単純リー群とします。における恒等式の開近傍が存在し、任意の離散部分群に対して を満たす元が存在します。${\displaystyle G}$${\displaystyle U}$${\displaystyle e}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Gamma \subset G}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle g\Gamma g^{-1}\cap U=\{e\}}$

一般的なリー群では、この記述は真実からは程遠いことに注意してください。特に、冪零リー群では、単位元 の任意の近傍に対して、近傍との交差によって生成される格子が群内に存在します。たとえば、 では、が十分に小さい 場合、格子はこの特性を満たします。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \varepsilon \mathbb {Z} ^{n}}$${\displaystyle \varepsilon >0}$

カジダン・マルグリスの主要な技術的成果は、それ自体興味深いものであり、そこから上記のよく知られた声明が直ちに導かれるものである。^[2]

ノルム を持つ、コンパクト因子のない半単純リー群が与えられると、内のの近傍、つまり というコンパクト部分集合が存在し、任意の離散部分群 に対してが存在し、すべての に対してとなる。${\displaystyle G}$${\displaystyle |\cdot |}$${\displaystyle c>1}$${\displaystyle U_{0}}$${\displaystyle e}$${\displaystyle G}$${\displaystyle E\subset G}$${\displaystyle \Gamma \subset G}$${\displaystyle g\in E}$${\displaystyle |g\gamma g^{-1}|\geq c|\gamma |}$${\displaystyle \gamma \in \Gamma \cap U_{0}}$

近傍は、における恒等関数のザッセンハウス近傍として得られます。この定理は、標準的なリー理論的議論によって導かれます。 ${\displaystyle U_{0}}$${\displaystyle G}$

他にも証明は存在します。より幾何学的な性質を持ち、より多くの情報を与えることができる証明が1つあります^{[3] [4]。}そして、不変ランダム部分群の概念に頼った、かなり短い3番目の証明があります^{[5] 。}

カジダン・マルグリスの動機の 1 つは、当時セルバーグの仮説として知られていた次の命題を証明することでした(格子の商空間がコンパクトな場合、その格子は均一であると呼ばれます)。

半単純リー群の格子は、それが単元要素を含む場合にのみ非一様です。

この結果は、カジダン・マルギュリスの定理のより技術的なバージョンと、単位元に任意に近い（与えられた元に対して）共役できるのは単元のみであるという事実から導かれます。

この定理の帰結として、半単純リー群の格子に関連付けられた局所対称空間とオービフォールドは、（ハール測度の正規化を与えられた場合）任意の小さな体積を持つことはできない。

双曲面の場合、これはシーゲルによるもので、双曲平面を の格子で割った商の最小共体積に対して の明示的な下限値が存在する（フルヴィッツの自己同型定理を参照）。双曲三次元多様体の場合、最小体積の格子は知られており、その共体積は約 0.0390 である。^{[6]高次元では、最小体積の格子を見つける問題は未解決であるが、}算術群のサブクラスに制限すると解決されている。^[7]${\displaystyle \pi /21}$${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )}$

局所剛性と格子の有限生成とともに、カズダン・マルグリスの定理は、王の有限性定理の証明において重要な要素である。^[8]

が またはに固定されたハール測度を持つ単純リー群であり、未満の共体積の格子は有限個しか存在しない場合。${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle v>0}$${\displaystyle G}$${\displaystyle v}$

• マーギュリスの補題

• Gelander , Tsachik (2014). 「格子と局所対称空間に関する講義」。Bestvina, Mladen、Sageev, Michah、Vogtmann, Karen (編)。幾何学的群論。pp. 249–282。arXiv : 1402.0962。Bibcode :2014arXiv1402.0962G 。
• ミシシッピ州ラグナサン（1972年）。リー群の離散サブグループ。 Ergebnisse de Mathematik および ihrer Grenzgebiete。スプリンガー・フェルラーグ。MR0507234  。