キャラクターの多様性

モジュライ理論の数学では、代数的、簡約的、リー群と有限生成群が与えられたとき、の-特性多様体はからへの群準同型写像の同値類の空間となる。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\mathfrak {R}}(\pi ,G)=\operatorname {Hom} (\pi ,G)/\!\sim \,.}$

より正確には、は共役によってに作用し、2 つの準同型は、それらの軌道閉包が交差する場合に限り、同値 ( と表記)であると定義されます。これは、共役軌道の集合 上の最も弱い同値関係であり、ハウスドルフ空間をもたらします。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (\pi ,G)}$${\displaystyle \sim}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (\pi ,G)/G}$

形式的には、簡約群が複素数 上で定義されている場合、- 指標多様体は不変量環の素イデアルのスペクトル(つまり、アフィンGIT 商) です。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle G}$

${\displaystyle \mathbb {C} [\operatorname {Hom} (\pi ,G)]^{G}.}$

ここで、より一般的には、素特性の代数的に閉じた体を考えることができます。この一般性では、特性多様体は代数集合にすぎず、実際の多様体ではありません。技術的な問題を避けるために、 を0 の根号で割る（冪零点を消去する）ことによって、関連する縮小空間を考えることがよくあります。しかし、これによっても、必ずしも既約空間が得られるわけではありません。さらに、複素群を実群に置き換えた場合、代数集合さえ得られない可能性があります。特に、最大コンパクト部分群は、一般に半代数集合 を与えます。一方、が自由であるときはいつでも、正直な多様体が得られます。ただし、それは特異です。 ${\displaystyle \pi}$

リーマン面からは興味深い例がいくつか生じる。 がリーマン面である場合、 の-特性多様体、またはベッティ・モジュライ空間は、曲面群の 特性多様体である。${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi =\pi _{1}(X)}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{B}(X,G)={\mathfrak {R}}(\pi _{1}(X),G)}$。

例えば、とがリーマン球面を3回穴あけしたもので、 が階数2を持たない場合、Henri G. Vogt、Robert Fricke、Felix Kleinは^{[1] [2]}特性多様体が であることを 証明しました。その座標環は3変数の複素多項式環 に同型です。を に制限すると、閉じた実3次元球（半代数的だが代数的ではない）が得られます。 ${\displaystyle G=\mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi =\pi _{1}(X)}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {C} [x,y,z]}$${\displaystyle G=\mathrm {SU} (2)}$

フォークトとフリッケ・クラインが研究した別の例は、 の場合であり、リーマン球面を4回穴あけしたものなので、 はランク3を持たない。このとき、指標多様体は の超曲面と同型であり、次式で与えられる。 ${\displaystyle G=\mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi =\pi _{1}(X)}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{7}}$

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}-(ab+cd)x-(ad+bc)y-(ac+bd)z+abcd+xyz-4=0.}$

この特性多様体は第6パンルヴェ方程式の理論^[3]に現れ、自然なポアソン構造を持ち、カシミール関数となるので、シンプレクティック葉は次のような形のアフィン3次曲面となる。${\displaystyle a,b,c,d}$${\displaystyle xyz+x^{2}+y^{2}+z^{2}+c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z=c_{4}}$

この特性多様体の構成は、必ずしもMarc CullerとPeter Shalenの構成(トレースの評価によって生成される) と同じではありませんが、両者が一致する場合は、 Claudio Procesi が、この場合、不変量の環は実際にはトレースのみによって生成されることを示したためです。トレース関数はすべての内部自己同型によって不変であるため、Culler–Shalen の構成は、の場合でも によって作用していると本質的に仮定します。^{[説明が必要]}${\displaystyle G=\mathrm {SL} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle G=\mathrm {SL} (n,\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathfrak {R}}=\演算子名 {Hom} (\pi ,H)}$${\displaystyle G\neq H}$

例えば、が階数2の自由群で、のとき、共役作用は自明であり、-character多様体はトーラスである。 ${\displaystyle \pi}$${\displaystyle G=\mathrm {SO} (2)}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle S^{1}\times S^{1}.}$

しかし、トレース代数は厳密に小さい部分代数です (不変量が少ない)。これは、カラー・シャレン特性多様体を生成するために考慮する必要があるトーラスへの反転作用を提供します。このトーラスへの反転により、2 次元球面が生成されます。ポイントは、-共役まですべての点が異なることですが、トレースは異なる反対角要素 (反転) を持つ要素を識別します。 ${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$

これらのモジュライ空間と、主バンドル、ベクトルバンドル、ヒッグスバンドル、位相空間上の幾何学的構造のモジュライ空間との間には相互作用があり、これは一般に、少なくとも局所的には、これらのカテゴリの同値なオブジェクトが平坦接続のホロノミー準同型の共役類によってパラメータ化されるという観察によって示される。言い換えると、バンドルの基本空間または幾何学的構造の固定された位相空間に関して、ホロノミー準同型は、バンドルの構造群からへの群準同型である。 ^{[出典が必要]}${\displaystyle M}$${\displaystyle \pi_{1}(M)}$${\displaystyle G}$

特性多様体の座標環は結び目理論におけるかせ加群と関連している。^{[4] [5]}かせ加群はおおまかに言えば特性多様体の変形（または量子化）であり、2+1次元の位相量子場理論と密接に関連している。

• 幾何学的不変理論