全体の機能

複素解析において、整関数（積分関数とも呼ばれる）は、複素平面全体上で正則な複素数値関数です。整関数の代表的な例としては、多項式や指数関数、これらの有限和、積、合成（三角関数の正弦と余弦、それらの双曲関数sinhとcoshなど）のほか、誤差関数などの整関数の導関数と積分があります。整関数が に根を持つ 場合、 で極限値を取る は整関数です。一方、自然対数、逆関数、平方根はすべて整関数ではなく、整関数に 解析的に接続することもできません。 ${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle w}$${\displaystyle f(z)/(zw)}$${\displaystyle w}$

超越整関数は多項式ではない整関数です。

有理型関数が有理分数の一般化とみなせるのと同様に、整関数は多項式の一般化とみなすことができます。特に、有理型関数の場合、因数分解を単純な分数に一般化できる場合 (有理型関数の分解に関するミッタク-レフラーの定理)、整関数の場合、因数分解の一般化、つまり整関数に関するワイエルシュトラスの定理が存在します。

すべての完全関数は、複素平面上のどこでも収束する単一のべき級数として表すことができ、したがって コンパクト集合上で一様に収束します。収束半径は無限大であるため、 または同等に、^[a] この基準を満たす任意のべき級数は完全関数を表します。 ${\displaystyle f(z)}$ $${\displaystyle \ f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}\ }$$$${\displaystyle \\lim_{n\to\infty}|a_{n}|^{\frac{1}{n}}=0\}$$ $${\displaystyle \\lim_{n\to\infty}{\frac{\ln |a_{n}|}{n}}=-\infty ~.}$$

べき級数の係数がすべて実数である場合（そしてその場合に限り）、関数は明らかに実引数に対して実数値を取り、 の複素共役における関数の値はにおける値の複素共役になります。このような関数は自己共役と呼ばれることもあります（共役関数はで与えられます）。^[1]${\displaystyle z}$${\displaystyle z~.}$${\displaystyle F^{*}(z),}$${\displaystyle {\bar {F}}({\bar {z}})}$

ある点の近傍における関数全体の実部がわかっている場合、虚定数まで複素平面全体の実部と虚部の両方がわかります。たとえば、実部がゼロの近傍でわかっている場合、実変数 に関する次の導関数から の係数を見つけることができます。 ${\displaystyle n>0}$${\displaystyle r}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\mathcal {Re}} \left\{\ a_{n}\right\}&={\frac {1}{n!}}{\frac {d^{n}}{dr^{n}}}\ \operatorname {\mathcal {Re}} \left\{\ f(r)\ \right\}&&\quad \mathrm {at} \quad r=0\\\operatorname {\mathcal {Im}} \left\{\ a_{n}\ \right\}&={\frac {1}{n!}}{\frac {d^{n}}{dr^{n}}}\ \operatorname {\mathcal {Re}} \left\{\ f\left(r\ e^{-{\frac {i\pi }{2n}}}\right)\ \right\}&&\quad \mathrm {at} \quad r=0\end{aligned}}}$$

(同様に、近傍の虚数部がわかっている場合、関数は実定数まで決定されます。) 実際、実数が円弧上でのみわかっている場合、関数は虚定数まで決定されます。^[b] } ただし、完全関数はすべての曲線上の実数部によって決定されるわけではないことに注意してください。特に、他の完全関数の実部がゼロである複素平面上の任意の曲線上で実数が与えられている場合、その関数の任意の倍数を決定しようとしている関数に追加できます。たとえば、実数がわかっている曲線が実数直線である場合、任意の自己共役関数を倍数で追加できます。曲線がループを形成する場合、曲線上で実部がゼロになる関数はどこでも虚数に等しい関数だけであるため、曲線はループ上の関数の実数部によって決定されます。 ${\displaystyle i}$

ワイエルシュトラスの因数分解定理は、任意の関数全体をそのゼロ(または「根」) を含む積で表すことができると主張します。

複素平面上の関数全体は、積分領域（実際にはプリューファー領域）を形成します。また、複素数上の可換単 位 結合代数も形成します。

リウヴィルの定理は、任意の有界整関数は定数でなければならないことを述べています。 ^[c]

リウヴィルの定理の結果として、リーマン球面全体^[d]上で整関数である関数は 定数である。したがって、定数でない整関数は、無限遠点の複素点に特異点を持つ必要がある。これは、多項式の場合は極、超越整関数の場合は本質的特異点のいずれかである。具体的には、カソラーティ・ワイエルシュトラスの定理により、任意の超越整関数と任意の複素数に対して、次の 数列が存在する。${\displaystyle f}$${\displaystyle w}$ ${\displaystyle (z_{m})_{m\in \mathbb {N}}}$

${\displaystyle \\lim_{m\to\infty}|z_{m}|=\infty,\qquad{\text{and}}\qquad\lim_{m\to\infty}f(z_{m})=w~.}$

ピカールの小定理は、はるかに強力な結果です。定数でない整関数は、おそらく 1 つの例外を除いて、すべての複素数を値として取ります。例外が存在する場合、それは関数の欠落値と呼ばれます。欠落値の可能性は、値 を取ることのない指数関数によって示されます。 に達することのない整関数の対数の適切な分岐を取ることができ、これはまた整関数になります (ワイエルシュトラスの因数分解定理 による)。対数は、おそらく 1 つの数を除いてすべての複素数に達します。これは、最初の関数が無限回以外の任意の値に達することを意味します。同様に、特定の値に達しない定数でない整関数は、他のすべての値に無限回達します。 ${\displaystyle 0}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 0}$

リウヴィルの定理は、次の命題の特殊なケースです。

整関数は任意の増加関数と同じ速さで増大することがあります。つまり、任意の増加関数に対して、 すべての実数 に対してとなる 整関数が存在します。このような関数は、次の形式で簡単に見つけることができます。 ${\displaystyle g:[0,\infty )\to [0,\infty )}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)>g(|x|)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f(z)=c+\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {z}{k}}\right)^{n_{k}}}$$

定数と正の整数の厳密に増加するシーケンスに対して。このようなシーケンスはいずれも関数 を定義し、べき乗が適切に選択されていれば、すべての実数 に対して不等式を満たすことができます。(たとえば、 を選択し、任意の整数 に対してとなる 偶数指数を選択した場合、これは確かに成立します)。 ${\displaystyle c}$${\displaystyle n_{k}}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle f(x)>g(|x|)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle c:=g(2)}$${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle n_{k}}$${\displaystyle \left({\frac {k+1}{k}}\right)^{n_{k}}\geq g(k+2)}$

関数全体の順序（無限大）は、上限の上限を使用して次のように定義されます。 ${\displaystyle f(z)}$

$${\displaystyle \rho =\limsup _{r\to \infty }{\frac {\ln \left(\ln \|f\|_{\infty ,B_{r}}\right)}{\ln r}},}$$

ここで、は半径の円板であり、 はにおけるの上限ノルムを表します。 位数は非負の実数または無限大です (ただし、すべての に対して の場合は除きます)。言い換えると、 の位数は、次の条件を満たすすべての の下限です。 ${\displaystyle B_{r}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \|f\|_{\infty ,B_{r}}}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle B_{r}}$${\displaystyle f(z)=0}$${\displaystyle z}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle m}$

$${\displaystyle f(z)=O\left(\exp \left(|z|^{m}\right)\right),\quad {\text{as }}z\to \infty .}$$

の例は、が の位数である場合に これが を意味するわけではないことを示しています。 ${\displaystyle f(z)=\exp(2z^{2})}$${\displaystyle f(z)=O(\exp(|z|^{m}))}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle m}$

型も定義できる場合: ${\displaystyle 0<\rho <\infty ,}$

$${\displaystyle \sigma =\limsup _{r\to \infty }{\frac {\ln \|f\|_{\infty ,B_{r}}}{r^{\rho }}}.}$$

次数が 1 で型が の場合、関数は「指数型」であると言われます。次数が 1 未満の場合は、指数型 0 であると言われます。 ${\displaystyle \sigma}$ ${\displaystyle \sigma}$

順序と種類は次の式で求められる 。$${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\limsup _{n\to \infty }{\frac {n\ln n}{-\ln |a_{n}|}}\\[6pt](e\rho \sigma )^{\frac {1}{\rho }}&=\limsup _{n\to \infty }n^{\frac {1}{\rho }}|a_{n}|^{\frac {1}{n}}\end{aligned}}}$$

を の - 次導関数と表すとします。すると、これらの式を任意の点における導関数で言い換えることができます。 ${\displaystyle f^{(n)}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f}$${\displaystyle z_{0}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\limsup _{n\to \infty }{\frac {n\ln n}{n\ln n-\ln |f^{(n)}(z_{0})|}}=\left(1-\limsup _{n\to \infty }{\frac {\ln |f^{(n)}(z_{0})|}{n\ln n}}\right)^{-1}\\[6pt](\rho \sigma )^{\frac {1}{\rho }}&=e^{1-{\frac {1}{\rho }}}\limsup _{n\to \infty }{\frac {|f^{(n)}(z_{0})|^{\frac {1}{n}}}{n^{1-{\frac {1}{\rho }}}}}\end{aligned}}}$$

逆ガンマ関数の場合のように、型は無限大になるか、ゼロになる（以下の§ 順序 1 の例を参照）。

順序と型を調べる別の方法は、マツァエフの定理です。

以下に、さまざまな順序の関数の例をいくつか示します。

任意の正の数に対して、次を使用して順序と型の関数全体の例を構築できます。 ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \sigma }$

$${\displaystyle f(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {e\rho \sigma }{n}}\right)^{\frac {n}{\rho }}z^{n}}$$

• 非ゼロ多項式
• ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{-n^{2}}z^{n}}$

$${\displaystyle f({\sqrt[{4}]{z}})}$$ どこ$${\displaystyle f(u)=\cos(u)+\cosh(u)}$$

$${\displaystyle f({\sqrt[{3}]{z}})}$$ どこ $${\displaystyle f(u)=e^{u}+e^{\omega u}+e^{\omega ^{2}u}=e^{u}+2e^{-{\frac {u}{2}}}\cos \left({\frac {{\sqrt {3}}u}{2}}\right),\quad {\text{with }}\omega {\text{ a complex cube root of 1}}.}$$

$${\displaystyle \cos \left(a{\sqrt {z}}\right)}$$（型はで与えられる） ${\displaystyle a\neq 0}$${\displaystyle \sigma =|a|}$

• ${\displaystyle \exp(az)}$と（）${\displaystyle a\neq 0}$${\displaystyle \sigma =|a|}$
• ${\displaystyle \sin(z)}$
• ${\displaystyle \cosh(z)}$
• ベッセル関数 と球面ベッセル関数の整数値^[2]${\displaystyle J_{n}(z)}$${\displaystyle j_{n}(z)}$${\displaystyle n}$
• 逆ガンマ関数 （は無限大）${\displaystyle 1/\Gamma (z)}$${\displaystyle \sigma }$
• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n\ln n)^{n}}}.\quad (\sigma =0)}$

• エアリー機能 ${\displaystyle Ai(z)}$

• ${\displaystyle \exp(az^{2})}$と（）${\displaystyle a\neq 0}$${\displaystyle \sigma =|a|}$
• バーンズG 関数(は無限大)。${\displaystyle \sigma }$

• ${\displaystyle \exp(\exp(z))}$

有限次数の関数全体は、アダマールの標準表現（アダマール因数分解定理）を持つ。

$${\displaystyle f(z)=z^{m}e^{P(z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{z_{n}}}\right)\exp \left({\frac {z}{z_{n}}}+\cdots +{\frac {1}{p}}\left({\frac {z}{z_{n}}}\right)^{p}\right),}$$

ここで、はゼロでないの根（ ）であり、 はにおけるの零点の位数（この場合を意味するものとする）、多項式（次数を と呼ぶ）、 は次式を満たす最小の非負整数である。 ${\displaystyle z_{k}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle z_{k}\neq 0}$${\displaystyle m}$${\displaystyle f}$${\displaystyle z=0}$${\displaystyle m=0}$${\displaystyle f(0)\neq 0}$${\displaystyle P}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{|z_{n}|^{p+1}}}}$$

収束します。非負の整数は関数全体の種数と呼ばれます。 ${\displaystyle g=\max\{p,q\}}$${\displaystyle f}$

次数が整数でない場合、 はの整数部分です。次数が正の整数の場合、 または の 2 つの可能性があります。 ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle g=[\rho ]}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle g=\rho -1}$${\displaystyle g=\rho }$

たとえば、、およびは種数 の整関数です。 ${\displaystyle \sin }$${\displaystyle \cos }$${\displaystyle \exp }$${\displaystyle g=\rho =1}$

JE Littlewoodによれば、ワイエルシュトラスのシグマ関数は「典型的な」整関数である。この記述は、ランダム整関数の理論で明確にすることができる。つまり、ほぼすべての整関数の漸近挙動は、シグマ関数のそれに似ている。他の例としては、フレネル積分、ヤコビのシータ関数、逆ガンマ関数などがある。指数関数と誤差関数は、ミッタク・レフラー関数の特殊なケースである。ペイリーとウィーナーの基本定理によれば、有界台を持つ関数（または分布）のフーリエ変換は、順序と有限型の整関数である。 ${\displaystyle 1}$

他の例としては、多項式係数を持つ線形微分方程式の解があります。最高導関数の係数が定数である場合、そのような方程式のすべての解は完全関数です。たとえば、指数関数、正弦関数、余弦関数、エアリー関数、放物線円筒関数はこのようにして生じます。完全関数のクラスは合成に関して閉じています。これにより、完全関数のダイナミクスを研究することができます。

複素数の平方根の整関数は、元の関数がたとえば偶数であれば整関数です。 ${\displaystyle \cos({\sqrt {z}})}$

全ての根が実数である多項式の列が、原点の近傍で、0 と全く等しくない極限に収束する場合、この極限は整関数である。このような整関数はラゲール・ポリア類を形成し、これはアダマール積によっても特徴付けられる。すなわち、 がこの類に属するのは、アダマール表現において、 、 （ ただし、およびは実数、 ）がすべて実数である場合に限る。例えば、多項式の列 ${\displaystyle f}$${\displaystyle z_{n}}$${\displaystyle \rho \leq 1}$${\displaystyle P(z)=a+bz+cz^{2}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c\leq 0}$

$${\displaystyle \left(1-{\frac {(z-d)^{2}}{n}}\right)^{n}}$$

が増加するにつれて、 に収束します。多項式 ${\displaystyle n}$${\displaystyle \exp(-(z-d)^{2})}$

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(\left(1+{\frac {iz}{n}}\right)^{n}+\left(1-{\frac {iz}{n}}\right)^{n}\right)}$$

はすべて実根を持ち、に収束する。多項式 ${\displaystyle \cos(z)}$

$${\displaystyle \prod _{m=1}^{n}\left(1-{\frac {z^{2}}{\left(\left(m-{\frac {1}{2}}\right)\pi \right)^{2}}}\right)}$$

も に収束し、余弦のアダマール積の増加を示します。 ${\displaystyle \cos(z)}$

• ジェンセンの公式
• カールソンの定理
• 指数型
• ペイリー・ウィーナーの定理
• ワイマン・ヴァリロン理論