ポインティングの定理

電気力学において、ポインティングの定理はイギリスの物理学者ジョン・ヘンリー・ポインティングによって提唱された電磁場のエネルギー保存則である。^{[1]これは、与えられた体積内で蓄えられたエネルギーは、その体積内の}電荷に対して行われた仕事からエネルギーが体積から出る速度を引いた値で決まる速度で変化することを述べている。これは分散性のない媒体においてのみ厳密に成り立つが、分散性の場合にも拡張できる。^[2] この定理は古典力学における仕事-エネルギーの定理に類似しており、数学的には連続の方程式に似ている。

ポインティングの定理は、空間領域からの単位体積あたりのエネルギー転送率は、その領域内の電荷分布に対して行われた仕事率と、その領域から放出されるエネルギー流束の合計に等しいと述べています。

数学的には：

どこ：

• ${\displaystyle -{\frac {\partial u}{\partial t}}}$体積内のエネルギー密度の変化率です。
• ∇• S は体積から出るエネルギーの流れであり、ポインティングベクトルSの発散によって与えられます。
• J • E は、体積内の電荷に対して電界が作用する速度です ( Jは電荷の動きに対応する電流密度、 Eは電界、 • はドット積です)。

発散定理を用いると、ポインティングの定理は積分形式でも表すことができます。

どこ

• S はポインティング ベクトルによって与えられるエネルギー フローです。
• ${\displaystyle u}$体積内のエネルギー密度です。
• ${\displaystyle \partial V\!}$ボリュームの境界です。ボリュームの形状は任意ですが、計算上は固定されています。

電気工学の文脈では、この定理はエネルギー密度項uが次のように展開されて記述されることがあります。^[要出典]この形式は連続方程式に似ています。

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} +\epsilon _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\ mathbf {B} }{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} =0}$、

どこ

• ε ₀は真空の誘電率、μ _{0 は}真空の透磁率です。
• ${\displaystyle \epsilon _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$電界の形成を促進する無効電力の密度である。
• ${\displaystyle {\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$磁場の形成を促進する無効電力の密度であり、
• ${\displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathbf {E} }$電荷キャリアに作用するローレンツ力によって消費される電力の密度です。

電磁場内の個々の電荷の場合、その電荷に対して電磁場が行う仕事率は、ローレンツ力の法則によって次のように表されます。 $${\displaystyle {\frac {dW}{dt}}=q\mathbf {v} \cdot \mathbf {E} }$$

これを電流密度Jとともに移動する電荷の連続分布に拡張すると、次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {dW}{dt}}=\int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ~\mathrm {d} ^{3}x}$$

アンペールの回路法則によれば：（ ここでは磁場と電場のH形式とD形式が使用されている ことに注意してください。B形式とE形式も同等の導出に使用できます。）^[3]$${\displaystyle \mathbf {J} =\nabla \times \mathbf {H} -{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$$

これを仕事率の式に代入すると次のようになります。 $${\displaystyle \int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ~\mathrm {d} ^{3}x=\int _{V}\left[\mathbf {E} \cdot (\nabla \times \mathbf {H} )-\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right]~\mathrm {d} ^{3}x}$$

ベクトルアイデンティティ を使用する: ${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )=\ (\nabla {\times }\mathbf {E} )\cdot \mathbf {H} \,-\,\mathbf {E} \cdot (\nabla {\times }\mathbf {H} )}$$${\displaystyle \int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ~\mathrm {d} ^{3}x=-\int _{V}\left[\nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )-\mathbf {H} \cdot (\nabla \times \mathbf {E} )+\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right]~\mathrm {d} ^{3}x}$$

ファラデーの法則によれば、 次のように なります。 $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$$$${\displaystyle \int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ~\mathrm {d} ^{3}x=-\int _{V}\left[\nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )+\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right]~\mathrm {d} ^{3}x}$$

導出を続けるには、以下の仮定が必要である: ^[2]

• 電荷は分散性のない媒体内を移動しています。
• 総電磁エネルギー密度は、時間変化する場であっても、次のように与えられる。$${\displaystyle u={\frac {1}{2}}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} )}$$

^{[4] は}次のように示せます: そして したがって: $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} )=2\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {D} }$$$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\mathbf {H} \cdot \mathbf {B} )=2\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {B} }$$$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$$

仕事率の式に戻ると、 $${\displaystyle \int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ~\mathrm {d} ^{3}x=-\int _{V}\left[{\frac {\partial u}{\partial t}}+\nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )\right]~\mathrm {d} ^{3}x}$$

体積は任意なので、これを微分形式で表すと次のようになります。 ここで、はポインティング ベクトルです。 $${\displaystyle -{\frac {\partial u}{\partial t}}=\nabla \cdot \mathbf {S} +\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} }$$${\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H} }$

マクロな媒体では、電磁効果は空間的に平均化された（マクロな）場によって記述される。マクロな媒体におけるポインティングベクトルは、空間的に平均化されたミクロなポインティングベクトルがマクロな形式論によって正確に予測されるように、ミクロな理論と自己矛盾なく定義することができる。この結果は、低損失の限界において厳密に有効であり、マクロな電気力学におけるポインティングベクトルの形式を明確に識別することを可能にする。^{[5] [6]}

ポインティングの定理の別のバージョンを導くことも可能である。^[7]上記の磁束ベクトルE × Hの代わりに、同じ導出スタイルに従うことが可能であるが、代わりにE × B、ミンコフスキー形式D × B、あるいはD × Hを選択する。それぞれの選択は、伝播媒体の応答を独自の方法で表す。上記のE × B形式は、応答が電流によってのみ発生するという特性を持ち、一方D × H形式は（架空の）磁気単極子電流のみを使用する。他の 2 つの形式（アブラハムとミンコフスキー）は、電流と磁気電流の相補的な組み合わせを使用して、媒体の分極と磁化の応答を表す。^[7]

この命題の導出は、方程式がモデル化する材料が、線形、等方性、均質で周波数に依存しない一連の磁化率特性によって記述できるという仮定に依存している。^{[8]材料には吸収がないという仮定も必要である。変動を考慮するためにポインティングの定理を修正すると、材料の}非オーム吸収率の項が含まれるが、これはドルーデモデルに基づく簡略化された近似によって計算できる。^[8]

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\mathcal {U}}+\nabla \cdot \mathbf {S} +\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} _{\text{free}}+{\mathcal {R}}_{\dashv \int }=0}$$

この形式の定理は、空間を伝播する高調波場を考慮する必要があるアンテナ理論で役立ちます。この場合、位相記号を使用して、および となります。すると、次の数学的恒等式が成立します。 ${\displaystyle E(t)=Ee^{j\omega t}}$${\displaystyle H(t)=He^{j\omega t}}$

${\displaystyle {1 \over 2}\int _{\partial \Omega }E\times H^{*}\cdot d{\mathbf {a} }={j\omega \over 2}\int _{\Omega }(\varepsilon EE^{*}-\mu HH^{*})dv-{1 \over 2}\int _{\Omega }EJ^{*}dv,}$

ここで電流密度です。 ${\displaystyle J}$

自由空間では、およびは実数であるため、上記の式の実数部を取ると、そこを流れる平均放射電力が電荷にかかる仕事に等しいという事実が表現されることに注意してください。 ${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \partial \Omega }$

ウィキバーシティにはポインティングの定理に関するレッスンがある

• Eric W. Weisstein「ポインティングの定理」 ScienceWorld より – Wolfram Web リソース。