理論のスペクトル

数理論理学の一分野であるモデル理論では、理論のスペクトルは、様々な濃度のモデルの同型類 の数によって与えられます。より正確には、言語の任意の完全理論Tに対して、濃度κのTのモデルの数(同型を除く)をI ( T , κ ) と書きます。スペクトル問題とは、 I ( T , κ )の可能な動作をκの関数として記述することです。これは、可算理論Tの場合にはほぼ完全に解決されています。

このセクションでは、T は可算完全理論であり、κ は基数です。

レーヴェンハイム・スコーレムの定理は、I ( T , κ )が1つの無限基数に対して非ゼロであれば、すべての無限基数に対して非ゼロになること を示しています。

モーリーの圏定理は、スペクトル問題を解く最初の主要なステップでした。これは、ある非可算なκに対してI ( T、κ ) が 1 である場合、すべての非可算なκに対して I ( T 、 κ ) が 1 であると述べています。

ロバート・ヴォートは、 I ( T ,ℵ ₀ ) は 2 にはなり得ないことを示しました。2 以外の任意の負でない整数になる例は簡単に見つかります。モーリーは、 I ( T ,ℵ ₀ ) が無限大の場合、ℵ ₀または ℵ ₁または 2 ^{ℵ ₀}でなければならないことを証明しました。連続体仮説が偽の場合、ℵ ₁になるかどうかはわかっていません。これはヴォート予想と呼ばれ、スペクトル理論で残っている主要な未解決問題です (2005 年現在)。

モーリーの問題は、マイケル・D・モーリーによって初めて提唱された、無限個のκ に対して I ( T , κ )はκについて非減少であるという予想(現在では定理)でした。これはサハロン・シェラによって証明されました。このために、彼は非常に深い二分法定理を証明しました。

サハロン・シェラはスペクトル問題にほぼ完全な解を与えた。与えられた完全な理論Tに対して、すべての非可算基数κに対してI ( T , κ ) = 2 ^κ、またはすべての順序数 ξ に対して I ( T , κ ) = 2 κ となる (表記法の説明についてはアレフ数とベス数を参照)。これは通常、最初のケースの境界よりもはるかに小さい。大まかに言えば、これはすべての非可算基数にモデルの最大可能数があるか、すべての非可算基数に「少数の」モデルしかないかのいずれかを意味する。シェラは、モデルが少ない場合に可能なスペクトルの説明も与えた。 ${\displaystyle \textstyle I(T,\aleph _{\xi })<\beth _{\omega _{1}}(|\xi |+\aleph _{0})}$

Shelah の研究を拡張して、Bradd Hart、Ehud Hrushovski、Michael C. Laskowski は、非可算基数における可算理論のスペクトル問題に対する次の完全な解を与えました。Tが可算完全理論である場合、モデルの同型類の数 I( T、 ℵ _{α ) は、順序数 α>0 に対して、2} ^{ℵ _α}と次の写像のいずれかの 最小値で与えられます。

1. 2 ^{ℵ _α} 。例: 特に、ラドーグラフの理論など、分類できない理論や深い理論など、多くの例があります。
2. ${\displaystyle \beth _{d+1}(|\alpha +\omega |)}$ある可算な無限順序数dに対して。(有限のdについてはケース 8 を参照。) 例: β+1< dであるすべての β に対して同値関係E _{β を}持つ理論。この場合、すべてのE _{γクラスは無限個の}E _βクラスの和集合であり、各E ₀クラスは無限です。
3. ${\displaystyle \beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{2^{\aleph _{0}}})}$ある有限の正の順序数dについて。例 ( d =1 の場合): 可算個の独立した単項述語の理論。
4. ${\displaystyle \beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{\aleph _{0}}+\beth _{2})}$ある有限の正の順序数dに対して。
5. ${\displaystyle \beth _{d-1}(|\alpha +\omega |+\beth _{2})}$ある有限の正の順序数dに対して;
6. ${\displaystyle \beth _{d-1}(|\alpha +\omega |^{\aleph _{0}})}$ある有限の正の順序数dについて。例 ( d =1 の場合): 可算な多数の互いに素な単項述語の理論。
7. ${\displaystyle \beth _{d-1}(|\alpha +\omega |+\beth _{1})}$ある有限順序数d ≥2 に対して;
8. ${\displaystyle \beth _{d-1}(|\alpha +\omega |)}$ある有限の正の順序数dに対して;
9. ${\displaystyle \beth _{d-2}(|\alpha +\omega |^{|\alpha +1|})}$ある有限順序数d ≥2 の場合; 例: ケース 2 と同様。
10. ${\displaystyle \beth _{2}}$例: アーベル群として見た整数論。
11. ${\displaystyle |(\alpha +1)^{n}/G|-|\alpha ^{n}/G|}$有限 α の場合は 、無限 α の場合は |α| です。ここで、 G はn ≥ 2 の元を持つ対称群の何らかの部分群です。ここで、α ^{n を、}サイズ α の集合の元の長さnのシーケンスの集合と同一視します。Gは シーケンスの要素を並べ替えることでα ⁿに作用し、|α ⁿ / G | はこの作用の軌道の数を表します。例: ω のすべての並べ替えを持つGの花輪積が作用する集合 ω× nの理論。
12. ${\displaystyle 1}$例: 与えられた特性における代数的に閉じた体の理論など、無数基数においてカテゴリカルな理論。
13. ${\displaystyle 0}$例: 有限モデルを持つ理論、矛盾した理論。

さらに、上記のすべての可能性は、何らかの可算な完全理論のスペクトルとして発生します。

上記のリストにある数字d は理論の深さです。T が理論である場合、新しい理論 2 ^Tを、それぞれがTのモデルである同値類が無限に存在するような同値関係を持つ理論として定義します。また、理論を、によって定義します。次に 。これを使用して、 の最小値の例から、 の非最小値に対する上記のリストにあるスペクトルを持つ理論の例を構築できます。 ${\displaystyle \beth _{n}(T)}$${\displaystyle \beth _{0}(T)=T}$${\displaystyle \beth _{n+1}(T)=2^{\beth _{n}(T)}}$${\displaystyle I(\beth _{n}(T),\lambda )=\min(\beth _{n}(I(T,\lambda )),2^{\lambda })}$

• 文のスペクトル

• CC Chang、HJ Keisler、『モデル理論』。ISBN 0-7204-0692-7 
• Saharon Shelah、「分類理論と非同型モデルの数」、論理学と数学の基礎研究、第92巻、IX、1.19、p.49（North Holland、1990年）。
• Hart, Bradd; Hrushovski, Ehud; Laskowski, Michael C. (2000). 「可算理論の不可算スペクトル」. The Annals of Mathematics . 152 (1): 207–257. arXiv : math/0007199 . Bibcode :2000math......7199H. doi :10.2307/2661382. JSTOR  2661382.
• Bradd Hart、Michael C. Laskowski、「可算理論の非可算スペクトルの調査」、代数モデル理論、Hart、Lachlan、Valeriote 編 (Springer、1997 年)。ISBN 0-7923-4666-1