適切な強制公理

集合論の数学分野において、適切な強制公理（PFA ）はマーティンの公理を大幅に強化したものであり、可算連鎖条件（ccc）を持つ強制が適切な強制に置き換えられています。

強制集合または部分順序集合${\displaystyle P}$すべての通常の不可算基数に対して、が適切である場合${\displaystyle \lambda }$P で強制すると、${\displaystyle [\lambda ]^{\omega }}$。

適切な強制公理は、もし${\displaystyle P}$適切であり、$\displaystyle D_{\alpha }}$は、${\displaystyle P}$各${\displaystyle \alpha <\omega _{1}}$するとフィルターがあります${\displaystyle G\subseteq P}$そのため${\displaystyle D_{\alpha }\cap G}$すべての${\displaystyle \alpha <\omega _{1}}$。

PFAを適用できる適切な強制力のクラスはかなり大きい。例えば、標準的な議論によれば、${\displaystyle P}$cccまたはω-閉の場合、${\displaystyle P}$適切です。${\displaystyle P}$適切な強制力の可算サポート反復である場合、${\displaystyle P}$適切です。重要なことに、すべての適切な強制は$\displaystyle \aleph _{1}}$。

PFAは、ccc強制に対するそのバージョン、マーティンの公理を直接的に意味する。基数算術では、PFAは$\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{2}}$PFAは任意の2つを意味します$\displaystyle \aleph _{1}}$R の -稠密な部分集合は同型であり、^{[ 1 ]}任意の 2 つのAronszajn 木はクラブ同型であり、^{[ 2 ]}ブール代数のすべての自己同型は${\displaystyle P(\omega ){\text{/fin}}}$これは自明である。^{[ 3 ]} PFAは特異基数仮説が成り立つことを意味する。ジョン・R・スティールによって証明された特に注目すべき結果は 、実数を含む最小の内部モデルであるL(R)において決定性の公理が成り立つことである。もう1つの結果は平方原理の失敗であり、したがって多くのウッデ​​ィン基数を持つ内部モデルが存在することである。

超コンパクト基数が存在するならば、PFAが成り立つ集合論のモデルが存在する。証明では、適切な強制が可算サポート反復の下で保存されるという事実と、もし${\displaystyle \kappa }$が超コンパクトである場合、ラバー関数が存在する。${\displaystyle \kappa }$。

PFAからどれだけの大きな基数の強さが得られるかはまだ正確にはわかっておらず、現在の最良の下限は、ウッディン基数の極限であるウッディン基数の存在をわずかに下回っている。

有界固有強制公理（BPFA）はPFAの弱い変種であり、任意の稠密部分集合の代わりに、最大サイズの反鎖にのみ適用される。$\displaystyle \omega _{1}}$マーティンの最大値は、強制公理の最も強力なバージョンである。

強制公理は、大きな基数公理の代替案として、集合論の公理を拡張するための有力な候補である。

シェラによる適切な強制の基本定理は、適切な強制の可算サポート反復はそれ自体が適切であると述べている。これは、適切な反復補題から導かれ、適切な反復補題は、常に${\displaystyle (P_{\alpha })_{\alpha \leq \kappa }}$は、反復を強制する可算サポートです。${\displaystyle (Q_{\alpha })_{\alpha <\kappa }}$そして${\displaystyle N}$は、$\displaystyle H_{\lambda }}$十分に大きな正則基数に対して${\displaystyle \lambda }$、 そして${\displaystyle P_{\kappa }\in N}$そして${\displaystyle \alpha \in \kappa \cap N}$そして${\displaystyle p}$は${\displaystyle (N,P_{\alpha })}$-汎用および${\displaystyle p}$力${\displaystyle q\in P_{\kappa }/G_{P_{\alpha }}\cap N[G_{P_{\alpha }}]}$すると、$\displaystyle r\in P_{\kappa }}$そのため${\displaystyle r}$は${\displaystyle N}$-一般的な制限${\displaystyle r}$に${\displaystyle P_{\alpha }}$等しい${\displaystyle p}$そして${\displaystyle p}$強制制限${\displaystyle r}$に${\displaystyle [\alpha ,\kappa )}$より強いか、または同等である${\displaystyle q}$。

このバージョンの適切な反復補題では、名前が${\displaystyle q}$であると想定されていない${\displaystyle N}$これはシュリンドヴァインによるものです。^{[ 4 ]}

適切な反復補題は、${\displaystyle \kappa }$、そして、適切な強制の基本定理は、${\displaystyle \alpha =0}$。

• ステボ・トドルチェヴィッチ
• サハロン・シェラ