安定理論

数学のモデル理論の分野では、ある理論がその複雑さに関して特定の組み合わせ論的制約を満たす場合、その理論は安定である と呼ばれます。安定理論はモーリーの圏論定理 の証明に根ざしており、サハロン・シェラの分類理論の一部として広く研究されました。この理論は、理論のモデルが適切な分類を許容するか、あるいはモデルが多すぎて合理的な分類が不可能であるかの二分法を示しました。この研究プログラムの最初のステップは、理論が安定でない場合、そのモデルが多すぎて分類できないことを示すことでした。

安定理論は1970年代から1990年代にかけて純粋モデル理論の主要な研究対象であったため、その研究は現代モデル理論を形成し^{[ 1 ]}、それらを分析するための豊富な枠組みとツールが存在する。モデル理論の主要な方向性の一つは「新安定性理論」であり、これは安定性理論の概念を単純理論やNIP理論などのより広い文脈に一般化しようとするものである。

モデル理論における共通の目標は、モデル内の（パラメータ）定義可能な集合のブール代数の複雑さを分析することによって、一階理論を研究することである。これらのブール代数のストーン双対（型空間）の複雑さを分析することも同等である。安定性は、これらの型空間の濃度を制限することによって、その複雑さを制限する。型は理論のモデル内の要素の可能な振る舞いを表すため、型の数を制限すると、これらのモデルの複雑さが制限される。^{[ 2 ]}

安定性理論は、マイケル・モーリーが1965年に証明した、圏論的理論に関するウォシュの予想に端を発する。この証明において、鍵となる概念は、型空間の位相的複雑さを制限することによって定義される、完全超越論であった。しかし、モーリーは（可算理論の場合）、この位相的制限が濃度制限と同等であることを示した。これは、現在安定性と呼ばれる強い形式である。${\displaystyle \omega }$-安定性、そして彼はこの等価性を大きく利用した。モーリーのカテゴリー性定理を非可算理論に一般化する過程で、フレデリック・ロウボトムは${\displaystyle \omega }$-安定性を導入することで${\displaystyle \kappa }$-いくつかの基数に対する安定した理論${\displaystyle \kappa }$そして最後に、シェラは安定理論を導入した。^{[ 3 ]}

安定性理論は、シェラーの分類理論プログラムの過程でさらに大きく発展した。このプログラムの主な目的は、一階理論のモデルは基数不変量の木を用いて同型を除いてうまく分類できるか（例えば、固定体上のベクトル空間を次元によって分類する一般化）、あるいは非常に複雑で合理的な分類が不可能であるかの二分法を示すことであった。^{[ 4 ]}この分類理論の具体的な成果の中には、理論の可能なスペクトル関数に関する定理や、基数を持つモデルの数を数える定理などがあった。${\displaystyle \kappa }$関数として${\displaystyle \kappa }$. ^{[ a ]}シェラのアプローチは、理論の「分割線」の系列を特定することであった。分割線とは、理論の性質であり、その性質と否定の両方が強い構造的帰結をもたらすものである。一方は理論のモデルがカオス的であることを意味し、他方は正の構造理論をもたらすはずである。安定性は分類理論プログラムにおける最初の分割線であり、その不成立が合理的な分類を排除することが示されたため、それ以降のすべての研究は理論が安定していると仮定することができた。したがって、分類理論の多くは、安定理論と、超安定理論などのさらなる分割線によって与えられる安定理論のさまざまな部分集合の分析に関係していた。^{[ 3 ]}

シェラが開発した安定理論の重要な特徴の 1 つは、非分岐独立と呼ばれる一般的な独立の概念を許容することであり、これはベクトル空間からの線形独立と体理論からの代数的独立を一般化したものです。非分岐独立は任意の理論で意味を持ち、安定理論を超えて重要なツールであり続けますが、安定理論では特に優れた幾何学的および組み合わせ論的性質を持ちます。線形独立と同様に、これにより独立集合と、これらの独立集合の最大インスタンスの濃度として定義される局所次元を定義することができ、これらは追加の仮定の下で適切に定義されます。これらの局所次元は、モデルを同型を除いて分類する濃度不変量を生み出します。^{[ 4 ]}

Tを完全な一階理論とする。

与えられた無限基数に対して${\displaystyle \kappa }$Tは​${\displaystyle \kappa }$-安定であるのは、すべての集合Aの濃度がの場合である。${\displaystyle \kappa }$Tのモデルでは、 A上の完全型の集合S(A)も濃度を持ちます。${\displaystyle \kappa }$これはS(A)の濃度が取り得る最小値であり、最大で$2κ$の場合${\displaystyle \kappa =\アレフ _{0}}$Tは​${\displaystyle \omega }$-安定しているというより$\displaystyle \aleph _{0}}$-安定。^{[ 5 ]}

Tが安定しているかどうかは、${\displaystyle \kappa }$-ある無限基数に対して安定${\displaystyle \kappa }$[ ^{6 ]​}

枢機卿に対する制限${\displaystyle \kappa }$同時に理論が${\displaystyle \kappa }$-安定は安定性スペクトル^{[ 7 ]}によって記述され、超安定理論のさらに穏やかな部分集合を区別します。

安定理論の一般的な別の定義は、それらが順序特性を持たないことである。理論は、式が存在する場合に順序特性を持つ。${\displaystyle \phi ({\bar {x}},{\bar {y}})}$そして2つの無限タプル列${\displaystyle A=({\bar {a}}_{i}:i\in \mathbb {N} )}$、${\displaystyle B=({\bar {b}}_{j}:j\in \mathbb {N} )}$あるモデルMにおいて、${\displaystyle \phi }$無限半グラフを定義する${\displaystyle A\times B}$つまり${\displaystyle \phi ({\bar {a}}_{i},{\bar {b}}_{j})}$Mでは真である${\displaystyle \iff i\leq j}$^{[ 8 ]}これは、ある公式が存在することと同等である。${\displaystyle \psi ({\bar {x}},{\bar {y}})}$そしてタプルの無限シーケンス${\displaystyle A=({\bar {a}}_{i}:i\in \mathbb {N} )}$あるモデルMにおいて、${\displaystyle \psi }$A上に無限線形順序を定義します。$\displaystyle \psi (\bar {a}}_{i},\bar {a}}_{j})$Mでは真である${\displaystyle \iff i\leq j}$[ ^{9 ] [ b ] [ c ]​}

安定性には他にも多くの特徴付けがある。モーリーの完全超越理論と同様に、安定性の基数制限は、カントール・ベンディクソンランクで型空間の位相的複雑さを制限することと同等である。^{[ 12 ]}別の特徴付けは、対称性など、安定理論における非分岐独立性の性質によるものである。これは、これらの性質のいくつかを満たす抽象的な独立関係を持つ理論は安定でなければならず、独立関係は非分岐独立でなければならないという意味で安定性を特徴付けている。^{[ 13 ]}

抽象的な独立関係を介する場合を除き、これらの定義のいずれも、与えられた理論Tにおいて単一の式が安定であるとはどういうことかを定義するために使用できます。そして、すべての式がTにおいて安定であれば、T は安定であると定義できます。^{[ 14 ]}結果を安定な式に局所化することで、これらの結果を不安定な理論の安定な式に適用することができ、この単一の式への局所化は、安定な理論の場合でもしばしば有用です。^{[ 15 ]}

不安定な理論として、端点のない稠密な線形順序の理論DLOを考えてみましょう。すると、原子順序関係は順序特性を持ちます。あるいは、集合A上の未実現1型は、 Aの順序付けにおけるカット（2つの集合が空でないという条件や、下位集合に最大要素がないという条件のない、一般化されたデデキントカット）に対応し、^{[ 16 ]}任意の濃度の稠密な順序が存在します。${\displaystyle \kappa }$と$2κ$-多くのカット。^{[ 17 ]}

もう一つの不安定な理論はラドグラフの理論であり、原子エッジ関係は順序特性を持つ。^{[ 18 ]}

安定した理論については、次の理論を検討してください。${\displaystyle ACF_{p}}$標数pの代数的閉体で、${\displaystyle p=0}$。そして、Kがモデルである場合${\displaystyle ACF_{p}}$集合上のタイプを数える${\displaystyle A\subset K}$これは、 KにおけるAによって生成される体k上の型を数えることと同等である。k 上のn型空間から多項式環の素イデアル空間への (連続) 全単射が存在する。${\displaystyle k[X_{1},\dots ,X_{n}]}$このようなイデアルは有限生成であるため、${\displaystyle |k|+\aleph _{0}}$たくさん、だから${\displaystyle ACF_{p}}$は${\displaystyle \kappa }$-すべての無限に対して安定${\displaystyle \kappa }$[ ^{19 ]​}

安定した理論のその他の例を以下に示します。

• 環上の任意の加群の理論（特に、ベクトル空間またはアーベル群の理論）。^{[ 20 ]}

• 非可換自由群の理論。^{[ 21 ]}

• 特性pの微分閉体の理論。${\displaystyle p=0}$理論は${\displaystyle \omega }$-安定。^{[ 22 ]}

• どこにも密でないグラフクラスの理論。^{[ 23 ]}これらには、拡大が制限されたグラフクラスが含まれ、さらに平面グラフと次数が制限された任意のグラフクラスが含まれます。

幾何学的安定性理論は、モデルにおける局所的な幾何学の詳細な分析と、それらの特性が全体構造にどのように影響するかに関心を寄せている。この一連の結果は、後に安定性理論のさまざまな応用、例えばディオファントス幾何学への応用において重要なものとなった。通常、この理論は1970年代後半にボリス・ジルバーによる完全圏論的理論の分析から始まり、最終的にそれらが有限公理化可能ではないことを示した。完全圏論的理論のすべてのモデルは、（モデル理論的な）代数的閉包によって決定されるマトロイド構造[d]を持つ強最小集合によって制御される（つまり、^その上で素かつ最小である）。この構造は、独立性と次元の概念を与える。この設定において、幾何学的安定性理論は、強最小集合の構造の可能性についての局所的な問題と、強最小集合がモデル全体をどのように制御するかについての局所から全体への問題を問う。^{[ 24 ]}

2 番目の質問は、ジルバーの梯子定理によって回答され、完全に圏論的な理論のすべてのモデルは、強最小集合上の「定義可能なファイバー束」のようなものの有限列によって構築されることを示しています。 ^{[ 25 ]}最初の質問については、ジルバーの三分法予想は、強最小集合の幾何学は、構造のない集合の幾何学のようであるか、集合が本質的にベクトル空間の構造または代数的に閉じた体の構造を持つ必要があり、最初の 2 つのケースは局所的にモジュラーである、というものでした。^{[ 26 ]}この予想は、2 つの中心的なテーマを示しています。1 つ目は、(局所) モジュラー性が、代数幾何学のように、組み合わせ的または線形的な振る舞いを非線形の幾何学的複雑さから分離するのに役立つということです。^{[ 27 ]} 2 つ目は、複雑な組み合わせ幾何学は必然的に代数的対象から来るということです。^{[ 28 ]}これは、入射によって定義される抽象的な射影平面の座標環を見つけるという古典的な問題に似ており、さらに例としては、定義可能な群の乗法から要素間の特定の組み合わせ依存性が生じることを示す群構成定理がある。^{[ 29 ]}ジルバーは、交差理論などの強最小集合における代数幾何学の一部の類似物を開発することにより、非可算圏論に対する三分割予想の弱い形式を証明した。^{[ 30 ]}エフド・フルショフスキーは、完全な予想を反証するためにフルショフスキー構成を開発したが、後に「ザリスキ幾何学」の設定で追加の仮説とともに証明された。^{[ 31 ]}

シェラの分類プログラムの概念、例えば正則型、分岐、直交性などは、これらのアイデアをより一般化することを可能にし、特に超安定理論において顕著である。ここでは、正則型によって定義される集合が強最小集合の役割を果たしており、その局所的な幾何学は代数的依存性ではなく分岐依存性によって決定される。完全圏論的理論のモデルを制御する単一の強最小集合の代わりに、正則型によって定義されるそのような局所的な幾何学が多数存在し、直交性とはこれらの型が相互作用しない状態を表す。^{[ 32 ]}

安定理論はモデル理論の基礎となるものですが、このセクションでは安定理論の他の数学分野への応用例を列挙します。このリストは網羅性を目指すものではなく、むしろその範囲の広さを示すことを目的としています。

• 特性0の微分閉体の理論は${\displaystyle \omega }$-安定であるため、微分代数には安定性理論の多くの応用例がある。例えば、このような体の微分閉包（代数閉包の類似物）の存在と一意性は、それぞれレノア・ブルームとシェラによって、素モデルに関する一般的な結果を用いて証明された。${\displaystyle \omega }$-安定理論。^{[ 33 ]}

• ディオファントス幾何学において、エフド・フルショフスキは幾何学的安定性理論を用いて、曲線上の有理点の数え方に関するファルティングスの定理と曲線上のねじれ点の数え方に関するマニン・マンフォード予想を一般化した、あらゆる特性の関数体に対するモルデル・ラング予想を証明した。 ^{[ 34 ]}証明の重要な点は、微分体におけるジルバーの三分法を用いて、特定の算術的に定義された群が局所的にモジュラーであることを示すことであった。^{[ 35 ]}

• オンライン機械学習では、概念クラスのリトルストーン次元は、学習可能性を特徴付ける複雑性尺度であり、PAC学習におけるVC次元に類似しています。概念クラスのリトルストーン次元を制限することは、二分木を含む安定性の組み合わせ的特徴付けと同等です。^{[ 36 ]}この同等性は、たとえば、概念クラスのオンライン学習可能性が差分プライベートPAC学習可能性と同等であることを証明するために使用されています。^{[ 37 ]}

• 関数解析において、ジャン＝ルイ・クリヴィーヌとベルナール・モーリーは、バナッハ空間の安定性の概念を定義した。これは、量化子を含まない論理式が順序特性を持たない（一階述語論理ではなく連続論理において）という記述と同等である。そして彼らは、すべての安定なバナッハ空間は、あるℓ ^pに対してほぼ等長な埋め込みを許容することを示した。${\displaystyle p\in [1,\infty )}$^{[ 38 ]}これは、関数解析と連続論理の安定性との間のより広範な相互作用の一部です。たとえば、関数解析におけるアレクサンダー・グロタンディークの初期の結果は、安定性理論の基本的な結果と同等であると解釈できます。^{[ 39 ]}

• 可算（おそらく有限）構造は、すべての有限部分自己同型が完全な構造の自己同型に拡張される場合に超均質である。グレゴリー・チェルリンとアリスター・ラクランは、すべての有限構造を含む安定な超均質構造の一般的な分類理論を提供した。特に、彼らの結果は、任意の固定された有限関係言語に対して、有限均質構造は、数値不変量と有限個の散発的例によってパラメータ化されたメンバーを持つ有限個の無限族に分類されることを示している。さらに、すべての散発的例は、より豊かな言語の無限族の一部となり、新しい散発的例は常に適切なより豊かな言語に現れる。^{[ 40 ]}

• 算術的組み合わせ論において、フルショフスキーは近似部分群の構造に関する結果を証明し、例えば多項式増大群に関するグロモフの定理の強化版を示唆した。これは安定理論を直接使用したものではないが、重要な洞察は、安定群論の基本的な結果をこの設定で一般化して適用できるということであった。^{[ 41 ]}これは近似部分群を分類するブリュイヤール・グリーン・タオの定理に直接つながった。^{[ 42 ]}

導入後約20年間、安定性は純粋モデル理論の主要な主題であった。^{[ 43 ]}現代の純粋モデル理論の中心的な方向性は、「新安定性」または「分類理論」と呼ばれることもあり、^{[ e ]}安定理論のために開発された概念と技術をより広いクラスの理論に一般化することであり、これはモデル理論のより最近の多くの応用につながっている。^{[ 44 ]}

このようなより広いクラスの注目すべき例として、単純理論と NIP 理論が挙げられます。これらは安定理論の直交一般化であり、理論が安定である場合に限り、単純かつ NIP であると言えます。^{[ 43 ]}大まかに言うと、NIP 理論は安定理論の良い組み合わせ的挙動を維持し、単純理論は非分岐独立性の良い幾何学的挙動を維持します。^{[ 45 ]}特に、単純理論は非分岐独立性が対称であることで特徴付けられますが、^{[ 46 ] NIP は有限[ 47 ]}または無限^{[ 48 ]}の集合上で実現される型の数を制限することで特徴付けられます。

一般化のもう1つの方向性は、完全な一階理論の設定を超えて、抽象的な基本クラスなどの分類理論を要約することである。^{[ 49 ]}

• 安定性スペクトル
• 理論のスペクトル
• モーリーのカテゴリー性定理
• NIP理論

• 理論のモデル理論的分類マップ（安定性を強調表示）
• モデル理論の専門家ではない人向けに、安定性理論と分類理論について解説した2冊の書籍レビュー：「 安定性理論の基礎」と「分類理論」
• モデル理論の専門家ではない人のための（幾何学的）安定性理論の概要