差動閉フィールド

数学において、微分体 Kが微分的に閉じているとは、K を拡張する何らかの微分体に解を持つすべての有限微分方程式系が、すでにKに解を持っていることを意味します。この概念は、Robinson (1959) によって導入されました。微分的に閉じた体は、多項式方程式の代数的に閉じた体の微分方程式に対する類似体です。

微分体とは微分演算子を備えた体であることを思い出してください。Kを微分演算子 ∂ を持つ微分体とします。

• xの微分多項式は、形式表現x、∂ x、∂ ² x、... で係数がKである多項式です。
• xにおける非ゼロの微分多項式の位数は、∂ ⁿ x がその中に現れる最大のnか、微分多項式が定数の場合は -1 です。
• n ≥0の微分多項式の分離関数 S _{f は}、 fの ∂ ⁿ xに関する導関数です。
• Kの定数体は、 ∂ a =0 となる元aの部分体です。
• 非ゼロの標数pの微分体Kでは、すべてのp乗は定数です。したがって、 ∂ が自明でない限り、 Kもその定数体も完全ではありません。微分 ∂ を持つ体Kは、標数 0 または標数pのいずれかであり、すべての定数がKの元のp乗である場合に、微分完全と呼ばれます。
• 微分閉体とは、 fとg がS _f ≠ 0 かつg ≠0 となるような微分多項式で あり、 fの位数がgの位数より大きい 場合、Kにf ( x ) =0 かつg ( x )≠0となるx が存在するような微分完全微分体 K です。(著者によっては、 K の標数が 0 であるという条件を追加する人もいますが 、その場合、 S _{f は}自動的に非ゼロになり、K は自動的に完全になります。)
• DCF _{p は}、特性p ( pは 0 または素数)の微分閉体の理論です。

g =1 および任意の通常の可分多項式fをとると、任意の微分閉体は可分閉体であることがわかります。特性 0 ではこれは代数的に閉じていることを意味しますが、特性p >0では微分閉体は決して代数的に閉じません。

代数的に閉じた体の理論における複素数とは異なり、微分的に閉じた体の自然な例は存在しない。任意の微分完全体Kには、 微分閉包（素モデル拡張）があり、これは微分的に閉じている。シェラは、微分閉包はK上の同型を除いて一意であることを示した。シェラはまた、標数 0 の素微分閉体（有理数の微分閉包）が極小ではないことも示した。これは、代数的に閉じた体からの類推で予想されるものではないため、かなり驚くべき結果であった。

_{DCF p}の理論は完全かつモデル完全である(これはp =0 の場合は Robinson によって示され、p >0 の場合は Wood (1973) によって示された)。DCF _{p の}理論は、特性pの微分体理論のモデル補完である。これは、p >0 のときの定数のp乗根を与える記号を言語に加えれば、特性pの微分完全体理論のモデル補完となる。特性p >0の微分体理論にはモデル補完がなく、特性p =0 では微分完全体理論と同じであるため、そのモデル補完として DCF _{0 を持つ。}

ある無限の濃度 κ の微分閉体の数は 2 ^κである。κ が非可算である場合、これは Shelah (1973) によって証明され、κ が可算である場合、これは Hrushovski と Sokolovic によって証明された。

K ^m上のコルチン位相は、m変数のK上の微分方程式系の解の集合を基本閉集合としてとることで定義されます。ザリスキ位相と同様に、コルチン位相はネーター位相です。

d 構成可能集合は、コルチン位相における閉集合と開集合の有限和集合です。同様に、 d 構成可能集合は、Kのパラメータを持つ量指定子のない、または原子的な式の解の集合です。

代数閉体の理論と同様に、標数 0 の微分閉体の理論 DCF _{0 は}量指定子を除去します。このステートメントの幾何学的内容は、d 構成可能集合の射影が d 構成可能であるということです。また、虚数を除去し、完全であり、モデル完全です。

特性p >0 では、理論 DCF _{p は、すべての定数の}p乗根であり、定数でない要素では 0 である 単項関数r を追加することで、微分体の言語における量指定子を除去します。

微分 Nullstellensatz は、微分代数におけるヒルベルトのnullstellensatzの類似物です。

• 微分イデアルまたは∂-イデアルは、∂ に関して閉じたイデアルです。
• イデアルは、その要素のすべての根を含む場合、根基と呼ばれます。

Kが標数0の微分閉体であると仮定する。すると、ザイデンベルグの微分零点定理は、

• n変数の微分多項式の環における根微分イデアル、および
• K ⁿの∂閉部分集合。

この対応は、∂閉部分集合をその上で消える要素のイデアルにマッピングし、イデアルをその零点集合にマッピングします。

特性 0 では、Blum は微分閉体の理論がω 安定であり、モーリー階数ω を持つことを示した。^[要出典] 特性 0 以外では、Wood (1973) は微分閉体の理論が ω 安定ではないことを示し、Shelah (1973) はより正確では、微分閉体の理論は安定だが超安定ではないことを示した。

• 微分ガロア理論

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