原子モデル（数学的論理）

数理論理学の分野であるモデル理論 において、原子モデルとは、すべての組の完全な型が単一の式で公理化されるモデルである。このような型は主型と呼ばれ、それを公理化する式は完全な式と呼ばれる。

Tを理論とする。完全な型p ( x ₁ , ...,  x _n )は、単一の式φ ( x ₁ , ...,  x _n ) ∈  p ( x 1 _, ...,  x _n ) によってTに対して公理化される場合、主型または原子型( Tに対して) と呼ばれる。

式φがTにおいて完全であるとは、すべての式ψ ( x ₁ , ...,  x _n ) に対して理論T ∪ { φ } がψと ¬ ψのどちらか一方を含意する場合である。^[1] したがって、完全型が主型となるのは、それが完全な式を含む場合のみである。

モデルM は、 Mの要素のn組すべてが Th( M )内で完全な式( Mの理論)を満たす場合、原子モデルと呼ばれます。

• 実代数的数の順序体は、実閉体理論の唯一の原子モデルです。
• あらゆる有限モデルは原子です。
• エンドポイントのない密な線形順序はアトミックです。
• 可算理論の任意の素モデルは、省略型定理により原子的である。
• 可算な原子モデルはすべて素数ですが、端点のない非可算な密な線形順序など、素数ではない原子モデルも多数あります。
• 可算数の独立した一項関係の理論は完全ですが、完成可能な式や原子モデルはありません。

往復法は、理論の任意の 2 つの可算原子モデルが本質的に同値であり、それらが同型であることを示すために使用できます。

• チャン、チェン・チュン;キースラー、H. ジェローム(1990)、「モデル理論、論理学と数学の基礎研究 (第 3 版)」、エルゼビア、ISBN 978-0-444-88054-3
• ホッジス、ウィルフリッド（1997）、「より短いモデル理論」、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-58713-6