モデル完全理論

モデル理論において、一階述語論理は、そのモデルのすべての埋め込みが基本埋め込みである場合にモデル完全であると呼ばれる。言い換えれば、すべての一階述語論理式は普遍論理式と同等である。この概念はアブラハム・ロビンソンによって導入された。

理論Tのコンパニオンとは、 TのすべてのモデルがT *のモデルに埋め込まれ 、かつその逆も成り立つような理論T *のことである。

理論Tのモデルコンパニオンとは、モデル完全であるTのコンパニオンのことである。ロビンソンは、理論には最大で 1 つのモデル コンパニオンがあることを証明した。すべての理論がモデル コンパニオン可能というわけではない。例えば、群論など。しかし、Tが$\displaystyle \aleph _{0}}$-カテゴリー理論の場合、常にモデルが伴います。^{[ 1 ] [ 2 ]}

理論Tのモデル補完とは、 Tの任意のモデルMに対して、 T *の理論とMの図式が完全となるようなモデルコンパニオンT *のことである。大まかに言えば、これはTのすべてのモデルが、T *のモデルに一意的に埋め込むことができることを意味する。

T * がTのモデルコンパニオンである場合 、次の条件は同等である: ^{[ 3 ]}

• T * はTのモデル完成である
• Tは融合特性を持つ。

Tが普遍公理系も持つ場合、上記の2つはどちらも以下と同等である。

• T * は量化子の除去を行う

• 量化子を排除した理論はすべてモデルが完全である。
• 代数的閉体の理論は、体論のモデル完備化である。モデル完備ではあるが、完全ではない。
• 同値関係理論のモデル完成とは、無限個の同値類を持ち、それぞれが無限個の要素を含む同値関係理論のことである。
• 実閉体の理論は、順序環の言葉で言えば、順序体（あるいは順序領域）の理論のモデル完成である。
• 環の言葉で言えば、実閉体の理論は形式的に実数な体の理論のモデルとなるものであるが、モデル完備化ではない。

• 最初と最後の要素を持つ稠密線形順序の理論は完全ではあるが、モデルとしては完全ではない。
• 群論（単位元、積、逆元を表す記号を用いた言語）は融合性を持つが、モデルとなる対応物を持たない。

Tがモデル完全理論であり、 Tの任意のモデルに埋め込まれるTのモデルが存在する場合、Tは完全である。^{[ 4 ]}

• Chang, Chen Chung ; Keisler, H. Jerome (1990) [1973].モデル理論. 論理学と数学の基礎に関する研究 (第 3 版). Elsevier. ISBN 978-0-444-88054-3。

• Chang, Chen Chung ; Keisler, H. Jerome (2012) [1990].モデル理論. Dover Books on Mathematics (第3 版). Dover Publications . p.  672. ISBN 978-0-486-48821-9。

• Hirschfeld, Joram; Wheeler, William H. (1975). 「モデル補完とモデルコンパニオン」. Forcing, Arithmetic, Division Rings . Lecture Notes in Mathematics. Vol.  454. Springer. pp. 44–54 . doi : 10.1007/BFb0064085 . ISBN  978-3-540-07157-0. MR 0389581 . 

• マーカー、デイビッド（2002）。モデル理論入門。大学院数学テキスト217。ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 0-387-98760-6。

• Saracino, D. (1973年8月). 「ℵ ₀ - 圏論のためのモデルコンパニオン」.アメリカ数学会紀要. 39 (3): 591– 598.

• シモンズ、H. (1976). 「大小の存在閉構造」。記号論理学ジャーナル。41 ( 2): 379–390。