正集合論

数理論理学において、正集合論は、少なくとも正式式（原子帰属および等式式を含み、連言、選言、存在および全称量化の下で閉じている式の最小のクラス）に対して包括公理が成り立つ代替集合論のクラスの名前です。 ${\displaystyle \phi}$

通常、これらの理論の動機は位相的です。つまり、集合は、特定の位相の下で閉じているクラスです。肯定的な式を構築する際に許可されるさまざまな構成の閉包条件は、簡単に動機付けられます (さらに、一般化された肯定的な理解を得るために、集合で制限された全称量指定子の使用を正当化できます)。存在量指定子の正当化には、位相がコンパクトであることが必要であるように思われます。

オリヴィエ・エッサーの集合論は以下の公理から構成される: ^[1]${\displaystyle \mathrm {GPK} _{\infty }^{+}}$

${\displaystyle \forall x\forall y(\forall z(z\in x\leftrightarrow z\in y)\to x=y)}$

${\displaystyle \exists x\forall y(y\in x\leftrightarrow \phi (y))}$

ここで、は正の式です。正の式では、 は使用されず、論理定数のみが使用されます。 ${\displaystyle \phi}$ ${\displaystyle \{\top ,\bot ,\land ,\lor ,\forall ,\exists ,=,\in \}}$${\displaystyle \{\to ,\neg \}}$

${\displaystyle \exists x\forall y(y\in x\leftrightarrow \forall z(\forall w(\phi (w)\rightarrow w\in z)\rightarrow y\in z))}$

ここでは式です。つまり、すべての式 に対して、のようなすべての を含むすべての集合の共通集合が存在します。これは の閉包と呼ばれ、位相閉包を表すさまざまな方法のいずれかで記述されます。クラス言語が許される場合 ( NBGのようにクラスを定義する集合の任意の条件)、これはより簡潔に表現できます。任意のクラスCに対して、 C をサブクラスとして含むすべての集合の共通集合である集合が存在します。集合が位相内の閉じたクラスとして理解される場合、これは合理的な原理です。 ${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle \{x\mid \phi (x)\}}$

フォンノイマン 順序数は 存在します。これは通常の意味での無限公理ではありません。無限が成立しない場合は、 の閉包が存在し、それ自体が唯一の追加メンバーとなります (これは確かに無限です)。この公理のポイントは、 には追加の要素がまったく含まれていないことです。これにより、理論は第 2 階算術の強さから、弱コンパクト基数を適切なクラス順序数とするモース-ケリー集合論の強さへと高まります。 ${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \omega}$

• この理論では、普遍集合は真集合です。
• この理論の集合は、クラス上の特定の位相の下で閉じている集合の集合です。
• この理論は、 ZFC を解釈することができます(整集合のクラスに制限することで、それ自体は集合ではありません)。実際、より強い理論 (適切なクラス順序数が弱コンパクト基数であるモース-ケリー集合論) を解釈します。

• クワインによる新しい基盤

• エッサー、オリヴィエ (1999)、「正理論の一貫性について」、数学論理季刊誌、45 (1): 105–116、doi :10.1002/malq.19990450110、MR  1669902