飽和モデル

数理論理学、特にその下位分野であるモデル理論において、飽和モデルとは、その規模から「合理的に期待される」限り多くの完全型を実現するモデルのことである。例えば、超実数の超冪モデルは$\displaystyle \aleph _{1}}$-飽和、つまり、内部集合の任意の下降入れ子列には空でない共通部分が存在する。^{[ 1 ]}

κ を有限または無限の基数とし、M をある一階述語論理のモデルとする。このとき、Mは、基数がκより厳密に小さいすべての部分集合A ⊆ Mに対して、モデルM がA 上のすべての完全型を実現する場合、κ飽和であると呼ばれる。モデルMは、| M | をMの基数としたとき、| M |飽和である場合、飽和であると呼ばれる。つまり、| M |より小さいサイズのパラメータ集合上のすべての完全型を実現する。一部の著者によれば、モデルMは、可算飽和である場合、$\displaystyle \aleph _{1}}$-飽和している。つまり、可算個のパラメータの集合上のすべての完全型を実現する。^{[ 2 ]}他の説によれば、可算かつ飽和している場合、それは可算飽和である。^{[ 3 ]}

一見より直感的な概念である、言語のすべての完全な型が実現されるという考え方は、弱すぎることが判明しました（そして、適切に弱飽和と呼ばれ、これは 1-飽和と同じです）。違いは、多くの構造には定義できない要素が含まれているという事実にあります（たとえば、Rの任意の超越要素は、定義上、フィールドの言語では定義できません）。しかし、それらは依然として構造の一部を形成しているため、それらとの関係を記述する型が必要です。したがって、型の定義では、構造からのパラメータの集合を許可します。この議論により、そうでなければ見落としてしまう可能性のあるモデルの特定の特徴について議論することができます。たとえば、特定の増加列c _nの境界は、可算個のパラメータを使用する型{ x ≥ c _n : n ∈ ω}を実現するものとして表現できます。列が定義できない場合、この構造に関する事実は基本言語を使用して記述できないため、弱飽和構造は列を境界付けない可能性がありますが、ℵ _{1 -}飽和構造は境界付けます。 

モデルよりも厳密に小さいパラメータセットのみを要求する理由は自明です。この制約がなければ、無限モデルは飽和しません。モデルMと型{ x ≠ m  : m ∈ M } を考えます。 この型の各有限部分集合は、（無限）モデルMで実現されるため、コンパクト性によりMと整合しますが、自明には実現されません。普遍的に満たされない定義は役に立たないため、制約が必要となります。

特定の理論や基数性については、飽和モデルが存在する。

• ( Q 、 <) ―通常の順序付けを持つ有理数の集合― は飽和状態にある。直感的に言えば、これは理論と整合するあらゆる型が順序型によって暗示されるためである。つまり、変数の出現順序によって、構造におけるそれらの役割について知るべきことすべてがわかる。
• ( R , <) ―通常の順序付けを持つ実数の集合― は飽和していません。たとえば、式を含む型 (1 つの変数x ) を考えてみましょう。${\displaystyle \textstyle {x>-{\frac {1}{n}}}}$すべての自然数nに対して、また式も${\displaystyle \textstyle {x<0}}$この型はRとは異なる ω 個のパラメータを使用します。型のすべての有限部分集合は、実数xによってR上で実現されるため、コンパクト性により、この型は構造と整合していますが、実現されていません。なぜなら、それは数列 −1/ nの上限が 0 (その最小上限) より小さいことを意味するからです。したがって、( R ,<) はω _1飽和ではなく、飽和でもありません。しかし、本質的にはQと同じ理由で、ω 飽和しています。すべての有限型は順序型によって与えられ、順序が整合していれば、順序の密度のために常に実現されます。
• 端点のない稠密な全順序集合は、_{それがℵα-}飽和である場合に限りηα集合である。
• 唯一の非論理記号が辺の存在関係である可算ランダムグラフもまた飽和している。なぜなら、完全な型は、その型を定義するために使用される変数とパラメータからなる有限部分グラフによって分離（暗黙的に示される）されるからである。

Qの理論と可算ランダムグラフの理論は、往復法によってどちらもω-カテゴリカルであることが示せる。これは次のように一般化できる。可算κ-カテゴリカル理論の濃度κの一意モデルは飽和している。

しかし、すべてのモデルが飽和した基本拡張を持つという主張は、 ZFCでは証明できません。実際、この主張は、κ ^{< κ} = κとなるような基数κの適切なクラスが存在することと同値です。後者の恒等式は、あるλに対してκ = λ ⁺ = 2 ^λと同値であり、κは強くアクセス不可能です。  

飽和モデルの概念は、次のようにプライムモデルの概念と双対関係にあります。Tを一階述語論理の可算理論 (つまり、その言語における相互に矛盾のない文の集合) とし、P をTのプライムモデルとします。このとき、P はTの他の任意のモデルに基本的に埋め込み可能です。飽和モデルの場合、これと同等の概念は、Tの「妥当に小さい」モデルは飽和モデルに基本的に埋め込まれるということです。ここで、「妥当に小さい」とは、埋め込まれるモデルの濃度よりも大きくない濃度を意味します。また、飽和モデルは同質です。ただし、可算理論には一意のプライムモデルが存在するのに対し、飽和モデルは特定の濃度に必然的に限定されます。特定の集合論的仮定の下では、任意の理論に対して飽和モデル (濃度が非常に大きいもの) が存在します。λ 安定理論の場合、濃度λの飽和モデルが存在します。

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• R. ゴールドブラット (1998). 超実​​数に関する講義。非標準解析入門。シュプリンガー。
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• ポワザ、ブルーノ（翻訳：クライン、モーゼス）（2000） 『モデル理論入門』ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 0-387-98655-3
• サックス、ジェラルド・E. (1972)、『飽和モデル理論』、WAベンジャミン社、マサチューセッツ州レディング、MR 0398817