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スコット＝ポッター集合論は、比較的最近になって生まれた数学の基礎へのアプローチであり、数学者のダナ・スコットと哲学者のジョージ・ブーロスの以前の研究に基づいて、哲学者マイケル・ポッターによって提示された入れ子構造の公理的集合論の集合である。
ポッター（1990、2004）はスコット（1974）のアプローチを明確化および簡略化し、結果として得られる公理的集合論が、基数と順序数、ペアノ算術とその他の通常の数体系、および関係の理論の基礎付けという、そのような理論に期待されることをどのように行うことができるかを示した。
このセクションと次のセクションは、Potter (2004) の第 I 部に厳密に従っています。背景となる論理は、同一性を持つ一階述語論理です。オントロジーには、集合だけでなくurelementsも含まれており、集合に基づかない一階述語理論によって定義される実体の集合が存在し得ることが明らかになります。urelements は必須ではなく、他の数学的構造を集合として定義することも可能であり、urelements の集合が空であっても構いません。
ポッターの集合論に特有の用語をいくつか紹介する。
以下の３つの公理が理論ZUを定義する。
生成: ∀ V ∃ V' ( V ∈ V' ).
注記：最高レベルは存在しないため、レベルは無限に存在する。この公理はレベルの存在論を確立する。
分離：公理図式。レベルVを範囲とする（束縛）変数を持つ任意の一階述語論理式 Φ( x ) に対して、集合 { x ∈ V : Φ( x )} もまた集合である。（分離の公理図式を参照。）
注記：創造によって確立されたレベルを前提として、このスキーマは集合の存在とその形成方法を確立します。レベルは集合であり、一階述語論理で定義可能なレベルのすべての部分集合もまた集合であることを示しています。このスキーマは、背景論理の拡張と見なすことができます。
無限：少なくとも1つの限界レベルが存在する。（無限公理を参照。）
注記：分離公理が許容する集合のうち、少なくとも1つは無限集合である。この公理は主に数学的なものであり、人間の感覚秩序は必然的に有限であるため、他の人間的な文脈では実際の無限集合は必要ない。数学的な目的においては、「帰納的集合が存在する」という公理で十分である。
以下の記述は、公理の性質を持つものの、ZUの公理ではありません。代わりに、それらは、ある条件を満たす集合の存在を主張します。したがって、それらは「存在前提」であり、次のことを意味します。以下の任意の記述をXとします。証明にX を必要とする定理は、条件付きで「 X が成り立つならば…」と定式化されます。ポッターは、存在前提を用いたいくつかのシステムを定義しており、その中には次の 2 つが含まれます。
順序数：各（無限）順序数αに対して、対応するレベルVαが存在する。
注記：言葉で言うと、「各無限順序数に対応するレベルが存在する」。順序数によって、フォン・ノイマンによる順序数の定義が可能になる。
τ( x ) を一次項とする。
置換:公理図式。任意の集合aに対して、∀ x ∈ a [τ( x ) は集合である] → {τ( x ) : x ∈ a } は集合である。
注記：項τ( x )が関数（ f ( x )と呼ぶ）であり、fの定義域が集合である場合、fの値域も集合である。
考察：Φ を任意の数の自由変数を含む一階述語論理式とする。Φ ( V )は、これらの自由変数がすべて量化され、量化変数がレベルVに制限された Φ を表すものとする。
すると、∃ V [Φ→Φ ( V ) ] は公理となる。
注記：この図式は、「部分的な」宇宙、すなわちレベルVの存在を主張しており、量化された変数がすべてのレベルにわたって変化する場合に成り立つすべての性質 Φ は、これらの変数がVのみにわたって変化する場合にも成り立ちます。反射は、創造、無限、順序、置換を定理に変えます(Potter 2004: §13.3)。
Aとaはそれぞれnで添え字付けられた空でない集合の列を表すものとする。
可算選択：任意の数列Aに対して、次の条件を満たす数列aが存在する。
注記：可算選択法を用いると、任意の集合は有限集合か無限集合のいずれかであることを証明できる。
BとCを集合とし、nをBの要素の添え字とし、それぞれをB nと表記する。
選択肢： Bの要素を互いに素な空でない集合とする。すると：
フォン・ノイマンの集合論は、「集合の反復的概念」を、集合の集合を一連の「レベル」に階層化することによって実現する。あるレベルの集合は、次の上位レベルを構成する集合の要素となる。したがって、レベルは入れ子構造で整列したシーケンスを形成し、集合のメンバーシップが推移的であれば階層構造を形成する。結果として得られる反復的概念は、ラッセル、ブラリ＝フォルティ、カントールのよく知られたパラドックスを、説得力のある形で回避する。これらのパラドックスはすべて、素朴な集合論が許容する内包原理の無制限な使用から生じる。「すべての集合のクラス」や「すべての順序数のクラス」といった集合には、階層構造のすべてのレベルの集合が含まれる。反復的概念によれば、このような集合は階層構造のどのレベルにおいても集合を形成することはできず、したがってそもそも集合とはなり得ない。反復的な概念は、その歴史的起源についての理解が不十分であるにもかかわらず、時間の経過とともに徐々に受け入れられるようになってきた。
ブーロス（1989）による反復概念の公理的扱いは、 集合とレベルを含む2つのソートを持つ一階理論である集合論Sである。
スコット（1974）は「集合の反復概念」については言及せず、代わりに自身の理論を単純な型の理論の自然な発展として提案した。しかしながら、スコットの理論は反復概念とそれに伴う反復階層の公理化と見なすことができる。
スコットは、名前を明かさなかったある公理から始めた。それは、原子式x ∈ yはyが集合であることを意味するというものだ。記号で表すと次のようになる。
彼の外延性の公理と理解（分離）の公理図式は、 ZFの対応するものと厳密に類似しており、レベルについては言及していない。その後、彼はレベルについて言及する2つの公理を引用した。
制約は、少なくとも1つのレベルが存在することを意味し、すべての集合が適切に基礎づけられていることを保証する。
スコットの最後の公理である「反射スキーマ」は、上記の同名の存在前提と同一であり、同様にZFの「無限」と「置換」の役割を果たします。スコットのシステムはZFと同等の強さを持っています。
ポッター（1990、2004）は、この項目で先に述べた独自の用語を導入し、スコットの公理のうち反射を除くすべてを破棄または置き換えた。その結果がZUである。ZUはZFと同様に、有限公理化することはできない。ZUはZFCとは以下の点で異なる。
したがって、ZUは1908年のツェルメロ集合論、すなわちZFCから選択、置換、基礎を除いたものに近い。しかし、ZUは選択が存在しないにもかかわらず、スコットのトリックとレベルの存在を利用して基数と順序数を定義できるため、この理論よりも強力である。ツェルメロ集合論ではそのような定義は不可能である。したがって、ZUでは、同値類は次のようになる。
同様に、自然数は反復階層内の特定の集合として定義されるのではなく、 「純粋な」デデキント代数のモデルとして定義されます。「デデキント代数」とは、ポッターが、単項単射演算である後継演算の下で閉じている集合に付けた名称で、その定義域には値域に存在しない唯一の要素であるゼロが含まれます。デデキント代数の理論は圏論的であるため（すべてのモデルは同型である）、そのような代数は自然数の代理として使用できます。
ポッター（2004）は付録全体を適切なクラスに割いているが、適切なクラスを認めるZFCの有名なライバルであるNBGやモース・ケリー集合論と比較したスコット・ポッター集合論の強みと利点はまだ探求されていない。
スコット・ポッター集合論は、NFUと類似している。後者は、最近 (Jensen 1967) 考案された公理的集合論であり、ウレレメントと、整礎でない集合の両方を許容する。しかし、NFU のウレレメントは、ZU のウレレメントとは異なり、本質的な役割を果たす。ウレレメントと、それによって生じる外延性への制約により、NFU のペアノ算術に対する無矛盾性の証明が可能になる。しかし、NFU の創造+分離に対する強さ、NFU +無限に対する ZU に対する強さ、NFU +無限+可算選択に対する ZU +可算選択に対する強さについては、何もわかっていない。
近年の集合論に関する著作のほとんどとは異なり、ポッター（2004）は部分論的融合について言及している。彼のコレクションは、ウィラード・クワインとリチャード・ミルトン・マーティンの「仮想集合」とも同義である。つまり、理解の原理を自由に用いることによって生じる実体であり、議論の宇宙には決して受け入れられないものである。
ポッター（1990）の書評：
『ポッター』（2004年）のレビュー：