反射関係

数学において、二項関係${\displaystyle R}$撮影現場で${\displaystyle X}$反射的であるのは、すべての要素が関係する場合である。${\displaystyle X}$それ自体に対して。^{[ 1 ] [ 2 ]}

反射関係の例としては、実数の集合における「は に等しい」という関係が挙げられます。なぜなら、すべての実数はそれ自身に等しいからです。反射関係は反射性を持つ、または反射性があると言われます。対称性、推移性とともに、反射性は同値関係を定義する3つの性質の1つです。

reflexive という単語は、もともと中世ラテン語のreflexivus (「反り返る」[cf. reflex ]、または「自分自身に向けられた」) (紀元 1250 年頃)に由来し、古典ラテン語のreflexus- (「向きを変える」、「反射」) + -īvus (接尾辞) から派生しています。この単語は1580 年代に初期近代英語に入りました。現在数学で使用されている「自分自身に向けられた」という意味は、主に哲学や文法での使用によって生き残っています (cf.再帰動詞および再帰代名詞)。^{[ 3 ] [ 4 ]}

「反射性」、つまり、関係がすべての要素がそれ自身と関係しているという性質を持つと記述する最初の明示的な使用は、一般的にジュゼッペ・ペアノの『算術原理』 （1889年）に帰せられており、その中で彼は等号の基本的な性質の1つを定義している。${\displaystyle a=a}$[ ^{5 ] [ 6 ]}数学と論理の意味で「再帰的」という言葉を初めて使用したのは、^バートランド・ラッセルが著書『数学原理』（1903年）の中でである。^{[ 6 ] [ 7 ]}

関係${\displaystyle R}$撮影現場で${\displaystyle X}$は、すべての に対して が成り立つ場合に反射的であると言われる。${\displaystyle x\in X}$、${\displaystyle (x,x)\in R}$。

同様に、${\displaystyle \operatorname {I} _{X}:=\{(x,x)~:~x\in X\}}$上の恒等関係を表す${\displaystyle X}$関係${\displaystyle R}$反射的である場合${\displaystyle \operatorname {I} _{X}\subseteq R}$。

反射的閉鎖${\displaystyle R}$組合は${\displaystyle R\cup \operatorname {I} _{X},}$これは、最小値（に関して）と同等に定義できる。${\displaystyle \subseteq }$) 反射関係${\displaystyle X}$それはスーパーセットです${\displaystyle R.}$関係${\displaystyle R}$反射的であるのは、それがその反射閉包と等しい場合に限る。

反射的還元または非反射的核${\displaystyle R}$は最小です（${\displaystyle \subseteq }$) 関係${\displaystyle X}$それは、反射的閉鎖が同じである${\displaystyle R.}$それは${\displaystyle R\setminus \operatorname {I} _{X}=\{(x,y)\in R~:~x\neq y\}.}$反射的減少${\displaystyle R}$ある意味では、反射的閉鎖の「反対」の構造と見なすことができる。${\displaystyle R.}$ 例えば、正準厳密不等式の反射閉包${\displaystyle <}$実際に${\displaystyle \mathbb {R} }$これは通常の非厳密な不等式です${\displaystyle \leq }$一方、反射的減少は${\displaystyle \leq }$は${\displaystyle <.}$

再帰関係の例としては、以下のようなものがあります。

• 「等しい」（等価性）
• 「～の部分集合である」（集合の包含関係）
• 「分割する」（分割可能性）
• 「以上である」
• 「以下である」

非反射関係の例としては、以下のようなものがあります。

• 「等しくない」
• 1より大きい整数において「互いに素である」
• 「はの真部分集合である」
• 「より大きい」
• 「～より小さい」

反射的でない関係の例としては、「より大きい」関係（つまり、どの要素もそれ自身と関連付けない関係）がある。${\displaystyle x>y}$）実数上の関係。反射的でない関係がすべて非反射的であるとは限りません。一部の要素は自身と関連しているが、他の要素は関連していない（つまり、すべてでも、どれも関連していない）関係を定義することは可能です。たとえば、二項関係「積は${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$「偶数である」は偶数の集合に対して反射的であり、奇数の集合に対して非反射的であり、自然数の集合に対しては反射的でも非反射的でもない。

準反射関係の例${\displaystyle R}$は、実数列の集合上で「同じ極限を持つ」という意味です。すべての数列が極限を持つわけではないので、この関係は反射的ではありませんが、ある数列が他の数列と同じ極限を持つ場合、その数列自身も同じ極限を持ちます。左準反射関係の例としては、左ユークリッド関係があります。これは常に左準反射的ですが、必ずしも右準反射的ではなく、したがって必ずしも準反射的ではありません。

共反射関係の一例として、整数上の関係が挙げられます。この関係では、各奇数はそれ自身と関係を持ち、他の関係は存在しません。等号関係は、反射的かつ共反射的である唯一の例であり、任意の共反射関係は恒等関係の部分集合となります。同一集合上の共反射関係と推移的関係の和集合は常に推移的です。

反射関係の数は${\displaystyle n}$-要素セットは${\displaystyle 2^{n^{2}-n}.}$^{[ 11 ]}

S ( n , k )は第 2 種のスターリング数を指すことに注意してください。

哲学論理学の著者はしばしば異なる用語を使用する。数学的な意味での反射関係は哲学論理学では完全反射と呼ばれ、準反射関係は反射と呼ばれる。^{[ 12 ] [ 13 ]}

• 「反射性」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]