プライムモデル

数学、特にモデル理論において、^[1]素モデルとは、可能な限り単純なモデルである。具体的には、モデルが素数であるのは、それが基本的に同値な任意のモデル（つまり、と同じ完全理論を満たす任意のモデル） への基本埋め込みを許容する場合である。${\displaystyle P}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle P}$

飽和モデルの概念とは対照的に、素数モデルはレーヴェンハイム・スコーレム定理によって非常に特定の濃度に制限されます。が濃度を持つ一階言語であり、 が上の完全な理論である場合、この定理はの濃度のモデルを保証します。したがって、 の素数モデルは、少なくともそのようなモデルに基本的に埋め込まれる必要があるため、より大きな濃度を持つことはできません。これにより、実際の濃度にはまだ多くの曖昧さが残ります。可算言語の場合、すべての素数モデルはせいぜい可算無限です。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle T}$${\displaystyle L,}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \max(\kappa ,\aleph _{0}).}$${\displaystyle T}$

プライム モデルと飽和モデルの定義には二重性があります。この二重性の半分は飽和モデルに関する記事で説明されていますが、残りの半分は次のとおりです。飽和モデルは可能な限り多くの型を実現しますが、プライム モデルは可能な限り少ない型を実現します。つまり、省略できない型のみを実現し、残りを省略するアトミック モデルです。これは、プライム モデルが「飾り気のない」という意味で解釈できます。つまり、オプションのモデル特性はすべて無視されます。

たとえば、モデルは、後続演算Sを持つ自然数Nの理論の素数モデルです。非素数モデルは、このモデル内の自然数の元のコピーとは互いに素な完全な整数のコピーが存在することを意味します。このアドオンでは、算術は通常どおり機能します。これらのモデルは基本的に同等です。理論では、次の公理化が認められます (言葉で)。 ${\displaystyle \langle {\mathbb {N} },S\rangle }$${\displaystyle \langle {\mathbb {N} }+{\mathbb {Z} },S\rangle ,}$

1. どの要素の後継でもない固有の要素が存在します。
2. 2 つの異なる要素に同じ後継要素は存在しません。
3. n > 0でS ⁿ ( x ) = x を満たす要素はありません 。

これらは実際にはペアノの公理のうちの 2 つであり、3 つ目は最初の公理から帰納的に導かれます (これもペアノの公理の 1 つです)。この理論のモデルはいずれも、自然数に加えて完全な整数の互いに素なコピーで構成されます。これは、0 からサブモデルを生成すると、残りのすべてのポイントが先行ポイントと後続ポイントの両方を無制限に許容するためです。これが素数モデルの証明の概要です。 ${\displaystyle \langle {\mathbb {N} },S\rangle }$

• チャン、チェン・チュン;キースラー、H. ジェローム(1990) [1973]、モデル理論、論理学と数学の基礎研究 (第 3 版)、エルゼビア、ISBN 978-0-444-88054-3