円形断面

幾何学において、円断面とは、二次曲面（楕円体や双曲面など）上の円のことです。この円は、その円を含む平面の二次曲面との交線であるため、二次曲面の特別な平面断面と言えます。

球の平面断面は、少なくとも2点を含む場合、円断面となる。回転二次曲面は、その軸に直交する平面との断面として円を含む。球でない限り、他の円は含まない。三軸楕円体や楕円柱などの他の二次曲面上の円は、より隠されている。しかしながら、以下のことは真実である。

• 楕円を含む二次曲面には、必ず円も含まれる。

同様に、放物線円柱、双曲円柱、双曲放物面を除くすべての二次曲面は円を含みます。

二次曲面が円を含む場合、その円に平行な平面と二次曲面との交線はすべて円になります。ただし、その交線には少なくとも2つの点が含まれている必要があります。球面を除き、二次曲面に含まれる円は、存在する場合、すべて2つの固定平面のいずれかに平行です（回転二次曲面の場合は、これらの平面は等しくなります）。

結晶学では円形断面が用いられる。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

二次曲面の円断面は、次の節で示すように、二次曲面の陰関数方程式から計算できます。また、合成射影幾何学を用いて特徴付けや研究を行うこともできます。

C を二次曲面Qと平面Pの交点とする。この節では、QとCは 3 次元ユークリッド空間の曲面であり、複素数体上の射影空間に拡張される。これらの仮定の下では、曲線Cが円となるのは、無限遠点での平面との交点がオンビリック(方程式の無限遠点の曲線)に含まれる場合に限る。${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=0}$)

まず最初に検討すべきケースは、 Qと平面との無限遠点での交点が1つまたは2つの実数直線で構成される場合、つまりQが双曲放物面、放物円筒、または双曲円筒である場合です。この場合、Cの無限遠点は実数です（実数平面と実数直線の交点）。したがって、 Qの平面断面は円（または楕円）にはなり得ません。

Qが球面である場合、無限遠点における平面との交線はオンビリックであり、平面のすべての断面は円である。

Qが回転面である場合、Qとオンビリックとの交点は、複素共役点（二重点）のペアから構成されます。実平面がこれらの2点を含むのは、その平面が回転軸に垂直である場合に限ります。したがって、円断面とは、回転軸に垂直な平面による平面断面であり、少なくとも2つの実点を持つものです。

その他の場合、Qとオンビリックの交点は、2組の異なる複素共役点から構成されます。Cは2次曲線であるため、無限遠平面との交点は2点（等しい場合もある）から構成されます。したがって、曲線Cは、これらの2点がオンビリック上の2組の複素共役点のいずれかである場合に円となります。これらの各ペアは、実数直線（これらの点を通る直線）を定義し、それがPと無限遠平面との交点となります。したがって、円断面が存在するのは、Cが少なくとも2つの実数点を持ち、かつPが無限遠平面上のこれらの直線のいずれかを含む場合（つまり、Pが無限遠平面上のこれらの直線によって定義される2つの方向のいずれかに平行な場合）に限られます。

与えられた二次曲面の円形断面を含む平面を見つけるには、次の式を用いる。

（S:）球面と二次曲面の共通点が一対の平面に含まれる場合、交線は2つの円から構成されます。

（P:）平面と二次曲面の交線が円である場合、二次曲面の少なくとも2点を含む平行な平面は、二次曲面とも円で交わります。

したがって、円形断面を検出するための戦略は次のとおりです。

1) 2 組の平面で二次曲面と交わる球を見つけ、

2)検出された平面と平行な平面は、残りの円形断面を提供します。

方程式で表される楕円体の場合

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1}$

そして半軸 ${\displaystyle a>b>c>0}$方程式を持つ補助球体を使用する

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\ .}$

球の半径は、楕円体との交点が原点を通る2つの平面に含まれるように選択する必要があります。楕円体の方程式に$\displaystyle r^{2}}$そして球の方程式を引くと次のようになる。

${\displaystyle \left({\frac {r^{2}}{a^{2}}}-1\right)\;x^{2}+\left({\frac {r^{2}}{b^{2}}}-1\right)\;y^{2}+\left({\frac {r^{2}}{c^{2}}}-1\right)\;z^{2}=0\ .}$

この方程式は、3 つの係数のうちの 1 つがゼロの場合、平面のペアを表します。 ${\displaystyle \ r=a\ }$または${\displaystyle \ r=c\ }$この方程式は、x軸またはz軸のいずれかによってのみ満たされます。${\displaystyle \ r=b\ }$方程式で表すと一対の平面が得られる

• ${\displaystyle \left({\frac {b^{2}}{a^{2}}}-1\right)\;x^{2}+\left({\frac {b^{2}}{c^{2}}}-1\right)\;z^{2}=0\ \quad \leftrightarrow \quad z=\pm {\tfrac {c}{a}}{\sqrt {\tfrac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}-c^{2}}}}\;x\ ,}$

なぜなら、この場合のみ残りの係数の符号が異なるからである（理由：${\displaystyle a>b>c}$)

この図は、球と楕円体のより一般的な交点を示し、例外的な円形の場合（青色）を強調している。

半軸の値が近づくと、2 つの平面（および円）の束はどちらかに近づきます。${\displaystyle a=b}$すべての平面はz軸（回転軸）に対して直交している。

方程式を持つ一葉双曲面の場合

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\ ,\quad a>b\ ,c>0}$

同様に、球との交点については次のようになる。${\displaystyle \ x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\ }$方程式

${\displaystyle \left({\frac {r^{2}}{a^{2}}}-1\right)\;x^{2}+\left({\frac {r^{2}}{b^{2}}}-1\right)\;y^{2}-\left({\frac {r^{2}}{c^{2}}}+1\right)\;z^{2}=0\ .}$

限定${\displaystyle \ r=a\ }$飛行機が2機手に入る：

$\displaystyle \left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}-1\right)\;y^{2}-\left({\frac {a^{2}}{c^{2}}}+1\right)\;z^{2}=0\ \quad \leftrightarrow \quad z=\pm {\frac {c}{b}}{\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}+c^{2}}}}\;y\ ,\ }$

方程式で表される楕円柱の場合

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\ ,\quad a>b\ ,}$

方程式が得られる

${\displaystyle \left({\frac {r^{2}}{a^{2}}}-1\right)\;x^{2}+\left({\frac {r^{2}}{b^{2}}}-1\right)\;y^{2}-z^{2}=0\ .}$

限定${\displaystyle \ r=a\ }$飛行機が2機手に入る：

${\displaystyle \left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}-1\right)\;y^{2}-z^{2}=0\ \quad \leftrightarrow \quad z=\pm {\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{b}}\;y\ .\ }$

方程式を持つ楕円放物面の場合

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}-z=0\ ,\quad a{\color {red}{<}}b\ ,}$

頂点（原点）を含み、中心が軸（z軸）上にある球体を選択する 。

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+(zr)^{2}=r^{2}\quad \leftrightarrow \quad x^{2}+y^{2}+z^{2}-2rz=0\ .}$

線形項を消去すると、次の式が得られる。

${\displaystyle (2ra-1)\;x^{2}+(2rb-1)\;y^{2}-z^{2}=0\ .}$

限定${\displaystyle r={\tfrac {1}{2a}}}$飛行機が2機手に入る ：

${\displaystyle \left({\frac {b}{a}}-1\right)\;y^{2}-z^{2}=0\quad \leftrightarrow \quad z=\pm {\sqrt {\frac {ba}{a}}}\;y\ .\ }$

方程式が2シート双曲面である

${\displaystyle -{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\ ,\quad a>b\ ,\ c>0\ ,}$

まず、1つの頂点が原点となるように移動します（図を参照）。

${\displaystyle -{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {(z+c)^{2}}{c^{2}}}=1\quad \leftrightarrow \quad \ -{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}+{\frac {2z}{c}}=0\ .}$

放物面の場合と同様に、原点を含み、z軸上に中心を持つ球面を選択する。

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z-r)^{2}=r^{2}\quad \leftrightarrow \quad x^{2}+y^{2}+z^{2}-2zr=0\ .}$

線形項を消去すると、次の式が得られる。

${\displaystyle \left(-{\frac {r}{a^{2}}}+{\frac {1}{c}}\right)\;x^{2}+\left(-{\frac {r}{b^{2}}}+{\frac {1}{c}}\right)\;y^{2}+\left({\frac {r}{c^{2}}}+{\frac {1}{c}}\right)z^{2}=0\ .}$

限定 ${\displaystyle r={\tfrac {a^{2}}{c}}}$飛行機が2機手に入る：

${\displaystyle \left(-{\frac {a^{2}}{b^{2}c}}+{\frac {1}{c}}\right)\;y^{2}+\left({\frac {a^{2}}{c^{3}}}+{\frac {1}{c}}\right)\;z^{2}=0\ \quad \leftrightarrow \quad z=\pm {\frac {c}{b}}{\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}+c^{2}}}}\;y\ .}$

方程式で表される楕円錐

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-z^{2}=0\ ,\quad a>b\ ,}$

頂点が原点にならないように移動します（図を参照）。

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-(z-1)^{2}=0\quad \leftrightarrow \quad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-z^{2}+2z=1.}$

ここで、原点を中心とする球が適している。

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\ .}$

排除${\displaystyle x^{2}}$収量：

${\displaystyle \left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}-1\right)\;y^{2}-(1+a^{2})\;z^{2}+2a^{2}z=a^{2}-r^{2}\ .}$

この場合、平方完成すると次のようになります。

${\displaystyle {\frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}}}\;y^{2}-(1+a^{2})\left(z-{\frac {a^{2}}{1+a^{2}}}\right)^{2}=a^{2}-{\frac {a^{4}}{1+a^{2}}}-r^{2}\ .}$

平面のペアの方程式を得るには、方程式の右辺がゼロでなければなりません。これは次の場合に当てはまります。${\displaystyle r={\tfrac {a}{\sqrt {1+a^{2}}}}\ .}$ zの解は次のようになります。

${\displaystyle z={\frac {a^{2}}{1+a^{2}}}\pm {\frac {1}{b}}{\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}}{1+a^{2}}}}\;y\ .}$

• 地球セクション

• H.F. ベイカー著『幾何学の原理』第3巻、ケンブリッジ大学出版局、2010年、ISBN 978-1-108-01779-4。
• DMY サマーヴィル:三次元解析幾何学、ケンブリッジ大学出版局、1959年、ISBN 978-1-316-60190-7、204ページ 。
• KP Grotemeyer:幾何学解析。 Göschen-Verlag、1962 年、p.  143.
• H. シャイド、W. シュワルツ:線形代数と解析の要素。スペクトル、ハイデルベルク、2009、ISBN 978-3-8274-1971-2、132ページ 。

• H. Wiener、P. Treutlein：円形断面を用いた三軸楕円体および楕円放物面のモデル（ 15ページ参照）（PDF）