マクローリン球

マクローリン回転楕円体は、均一な密度の自己重力流体が一定の角速度で回転するときに生じる扁平楕円体です。この楕円体は、 1742年に地球の形状について定式化したスコットランドの数学者コリン・マクローリンにちなんで名付けられました。 ^{[ 1 ]} 実際には、地球は均質ではなく、密度の高い鉄の核を持っているため、地球の形状はマクローリンの公式が示唆するよりもはるかに扁平ではありません。マクローリン回転楕円体は、均一な密度を仮定しているため、静水圧平衡状態にある回転楕円体の最も単純なモデルと考えられています。

赤道長半径を持つ回転楕円体の場合${\displaystyle a}$極短軸${\displaystyle c}$角速度${\displaystyle \Omega }$について${\displaystyle c}$^{マクローリンの公式[ 2 ]}で与えられる。

${\displaystyle {\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}={\frac {2{\sqrt {1-e^{2}}}}{e^{3}}}(3-2e^{2})\sin ^{-1}e-{\frac {6}{e^{2}}}(1-e^{2}),\quad e^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}},}$

どこ${\displaystyle e}$は球体の経線断面の偏心率であり、${\displaystyle \rho }$密度と${\displaystyle G}$は重力定数である。この式は2つの可能な平衡形状を予測し、そのうちの1つは球に近づく（${\displaystyle e\rightarrow 0}$） いつ${\displaystyle \オメガ \rightarrow 0}$そしてもう一方は非常に扁平な球体に近い（${\displaystyle e\rightarrow 1}$） いつ${\displaystyle \オメガ \rightarrow 0}$最大角速度は偏心率で発生する。${\displaystyle e=0.92996}$そしてその価値は${\displaystyle \Omega ^{2}/(\pi G\rho )=0.449331}$そのため、この速度を超えると、平衡状態は存在しない。角運動量${\displaystyle L}$は

${\displaystyle {\frac {L}{\sqrt {GM^{3}{\bar {a}}}}}={\frac {\sqrt {3}}{5}}\left({\frac {a}{\bar {a}}}\right)^{2}{\sqrt {\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}}\ ,\quad {\bar {a}}=(a^{2}c)^{1/3}}$

どこ${\displaystyle M}$は球体の質量であり、${\displaystyle {\bar {a}}}$は平均半径であり、回転楕円体と同じ体積の球の半径です。

離心率が 0.812670 より大きいマクローリン回転楕円体の場合、^{[ 3 ]}同じ角運動量のヤコビ楕円体の方が全エネルギーが低くなります。このような回転楕円体が粘性流体で構成されている場合 (または重力放射反作用が存在する場合)、回転対称性を破る摂動を受けると、余分なエネルギーを熱 (または重力波) として散逸させながら、徐々にヤコビ楕円体の形に伸びていきます。これは永年不安定性と呼ばれます。ロバーツ・スチュワートソン不安定性およびチャンドラセカール・フリードマン・シュッツ不安定性を参照してください。ただし、同様の回転楕円体が非粘性流体で構成されている場合 (または放射反作用がない場合) は、摂動によって減衰しない振動が生じるだけです。これは動的(または通常の)安定性として記述されます。

偏心率が 0.952887 より大きいマクローリン球面^{[ 3 ]}は動的に不安定です。たとえそれが非粘性流体で構成され、エネルギーを失う手段がなくても、適切な摂動は（少なくとも最初は）指数関数的に増大します。動的不安定性は永年不安定性を意味し（永年安定性は動的安定性を意味します）。^{[ 4 ]}

• ヤコビ楕円体
• 球状
• 楕円