カールソン対称形

数学において、楕円積分のカールソン対称形式は、他のすべての積分を簡約できる楕円積分の小さな標準集合である。これらはルジャンドル形式の現代的な代替である。ルジャンドル形式はカールソン形式で表現でき、逆もまた同様である。

カールソンの楕円積分は以下の通りである: ^[1] $${\displaystyle R_{F}(x,y,z)={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{\sqrt {(t+x)(t+y)(t+z)}}}}$$ $${\displaystyle R_{J}(x,y,z,p)={\tfrac {3}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{(t+p){\sqrt {(t+x)(t+y)(t+z)}}}}}$$ $${\displaystyle R_{G}(x,y,z)={\tfrac {1}{4}}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {(t+x)(t+y)(t+z)}}}{\biggl (}{\frac {x}{t+x}}+{\frac {y}{t+y}}+{\frac {z}{t+z}}{\biggr )}t\,dt}$$ $${\displaystyle R_{C}(x,y)=R_{F}(x,y,y)={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{(t+y){\sqrt {(t+x)}}}}}$$ $${\displaystyle R_{D}(x,y,z)=R_{J}(x,y,z,z)={\tfrac {3}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{(t+z)\,{\sqrt {(t+x)(t+y)(t+z)}}}}}$$

および はおよびの特殊ケースなので、すべての楕円積分は最終的には、、だけで評価できます。 ${\displaystyle R_{C}}$${\displaystyle R_{D}}$${\displaystyle R_{F}}$${\displaystyle R_{J}}$${\displaystyle R_{F}}$${\displaystyle R_{J}}$${\displaystyle R_{G}}$

対称という用語は、ルジャンドル形式とは対照的に、これらの関数は引数の特定のサブセットを交換しても変化しないという事実を指します。 の値は引数の任意の順列で同じであり、 の値は最初の 3 つの引数の任意の順列で同じです。 ${\displaystyle R_{F}(x,y,z)}$${\displaystyle R_{J}(x,y,z,p)}$

カールソンの楕円積分は、ビレ・C・カールソン (1924-2013) にちなんで名付けられました。

不完全楕円積分はカールソン対称形式を使って簡単に計算できます。

${\displaystyle F(\phi ,k)=\sin \phi R_{F}\left(\cos ^{2}\phi ,1-k^{2}\sin ^{2}\phi ,1\right)}$

${\displaystyle E(\phi ,k)=\sin \phi R_{F}\left(\cos ^{2}\phi ,1-k^{2}\sin ^{2}\phi ,1\right)-{\tfrac {1}{3}}k^{2}\sin ^{3}\phi R_{D}\left(\cos ^{2}\phi ,1-k^{2}\sin ^{2}\phi ,1\right)}$

${\displaystyle \Pi (\phi ,n,k)=\sin \phi R_{F}\left(\cos ^{2}\phi ,1-k^{2}\sin ^{2}\phi ,1\right)+{\tfrac {1}{3}}n\sin ^{3}\phi R_{J}\left(\cos ^{2}\phi ,1-k^{2}\sin ^{2}\phi ,1,1-n\sin ^{2}\phi \right)}$

（注：上記はおよびにのみ有効です） ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq \phi \leq {\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle 0\leq k^{2}\sin ^{2}\phi \leq 1}$

完全な楕円積分は、 φ = 1 ⁄ 2 πを代入することで計算できます 。

${\displaystyle K(k)=R_{F}\left(0,1-k^{2},1\right)}$

${\displaystyle E(k)=R_{F}\left(0,1-k^{2},1\right)-{\tfrac {1}{3}}k^{2}R_{D}\left(0,1-k^{2},1\right)}$

${\displaystyle \Pi (n,k)=R_{F}\left(0,1-k^{2},1\right)+{\tfrac {1}{3}}nR_{J}\left(0,1-k^{2},1,1-n\right)}$

の引数のうち 2 つまたは 3 つすべてが同じ場合、 を代入すると被積分関数が有理数になります。積分は、基本的な超越関数で表すことができます。 ${\displaystyle R_{F}}$${\displaystyle {\sqrt {t+x}}=u}$

${\displaystyle R_{C}(x,y)=R_{F}(x,y,y)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{{\sqrt {t+x}}(t+y)}}=\int _{\sqrt {x}}^{\infty }{\frac {du}{u^{2}-x+y}}={\begin{cases}{\frac {\arccos {\sqrt {{x}/{y}}}}{\sqrt {y-x}}},&x<y\\{\frac {1}{\sqrt {y}}},&x=y\\{\frac {\operatorname {arcosh} {\sqrt {{x}/{y}}}}{\sqrt {x-y}}},&x>y\\\end{cases}}}$

同様に、最初の3つの引数のうち少なくとも2つが同じである場合、 ${\displaystyle R_{J}}$

${\displaystyle R_{J}(x,y,y,p)=3\int _{\sqrt {x}}^{\infty }{\frac {du}{(u^{2}-x+y)(u^{2}-x+p)}}={\begin{cases}{\frac {3}{p-y}}(R_{C}(x,y)-R_{C}(x,p)),&y\neq p\\{\frac {3}{2(y-x)}}\left(R_{C}(x,y)-{\frac {1}{y}}{\sqrt {x}}\right),&y=p\neq x\\{\frac {1}{y^{{3}/{2}}}},&y=p=x\\\end{cases}}}$

積分定義に任意の定数を代入すると、次の式が得られる。 ${\displaystyle t=\kappa u}$${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle R_{F}\left(\kappa x,\kappa y,\kappa z\right)=\kappa ^{-1/2}R_{F}(x,y,z)}$

${\displaystyle R_{J}\left(\kappa x,\kappa y,\kappa z,\kappa p\right)=\kappa ^{-3/2}R_{J}(x,y,z,p)}$

${\displaystyle R_{F}(x,y,z)=2R_{F}(x+\lambda ,y+\lambda ,z+\lambda )=R_{F}\left({\frac {x+\lambda }{4}},{\frac {y+\lambda }{4}},{\frac {z+\lambda }{4}}\right),}$

どこ。 ${\displaystyle \lambda ={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}+{\sqrt {y}}{\sqrt {z}}+{\sqrt {z}}{\sqrt {x}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{J}(x,y,z,p)&=2R_{J}(x+\lambda ,y+\lambda ,z+\lambda ,p+\lambda )+6R_{C}(d^{2},d^{2}+(p-x)(p-y)(p-z))\\&={\frac {1}{4}}R_{J}\left({\frac {x+\lambda }{4}},{\frac {y+\lambda }{4}},{\frac {z+\lambda }{4}},{\frac {p+\lambda }{4}}\right)+6R_{C}(d^{2},d^{2}+(p-x)(p-y)(p-z))\end{aligned}}}$^[2]

どこでそして${\displaystyle d=({\sqrt {p}}+{\sqrt {x}})({\sqrt {p}}+{\sqrt {y}})({\sqrt {p}}+{\sqrt {z}})}$${\displaystyle \lambda ={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}+{\sqrt {y}}{\sqrt {z}}+{\sqrt {z}}{\sqrt {x}}}$

または のテイラー級数展開を得るには、複数の引数の平均値について展開すると便利であることがわかる。したがって について、引数の平均値を とし、同次性を用いて を定義し、によって ${\displaystyle R_{F}}$${\displaystyle R_{J}}$${\displaystyle R_{F}}$${\displaystyle A=(x+y+z)/3}$${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle \Delta y}$${\displaystyle \Delta z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{F}(x,y,z)&=R_{F}(A(1-\Delta x),A(1-\Delta y),A(1-\Delta z))\\&={\frac {1}{\sqrt {A}}}R_{F}(1-\Delta x,1-\Delta y,1-\Delta z)\end{aligned}}}$

つまり、 などです。差、 、は、カールソンの論文と一致するように、この符号で定義されます（ が減算されます）。 は 、 、の順列に対して対称であるため、、、についても対称です。したがって、 の被積分関数とその積分は、、、の基本対称多項式の関数として表すことができます。 ${\displaystyle \Delta x=1-x/A}$${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle \Delta y}$${\displaystyle \Delta z}$${\displaystyle R_{F}(x,y,z)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle \Delta y}$${\displaystyle \Delta z}$${\displaystyle R_{F}}$${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle \Delta y}$${\displaystyle \Delta z}$

${\displaystyle E_{1}=\Delta x+\Delta y+\Delta z=0}$

${\displaystyle E_{2}=\Delta x\Delta y+\Delta y\Delta z+\Delta z\Delta x}$

${\displaystyle E_{3}=\Delta x\Delta y\Delta z}$

これらの多項式で積分関数を表現し、多次元テイラー展開を実行して項ごとに積分します...

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{F}(x,y,z)&={\frac {1}{2{\sqrt {A}}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {(t+1)^{3}-(t+1)^{2}E_{1}+(t+1)E_{2}-E_{3}}}}dt\\&={\frac {1}{2{\sqrt {A}}}}\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{(t+1)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {E_{2}}{2(t+1)^{\frac {7}{2}}}}+{\frac {E_{3}}{2(t+1)^{\frac {9}{2}}}}+{\frac {3E_{2}^{2}}{8(t+1)^{\frac {11}{2}}}}-{\frac {3E_{2}E_{3}}{4(t+1)^{\frac {13}{2}}}}+O(E_{1})+O(\Delta ^{6})\right)dt\\&={\frac {1}{\sqrt {A}}}\left(1-{\frac {1}{10}}E_{2}+{\frac {1}{14}}E_{3}+{\frac {1}{24}}E_{2}^{2}-{\frac {3}{44}}E_{2}E_{3}+O(E_{1})+O(\Delta ^{6})\right)\end{aligned}}}$

引数の平均値について展開する利点は明らかです。これは0 に等しく減少し、したがって、それ以外の場合は最も多く含まれるすべての項を削除します。 ${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle E_{1}}$

の上昇級数も同様の方法で求めることができます。は完全に対称ではないため、若干の困難があります。4 番目の引数 への依存性は、、およびへの依存性とは異なります。 これは、 を5 つの引数の完全に対称な関数として扱うことで克服されます。引数のうち 2 つはたまたま同じ値 を持ちます。 したがって、引数の平均値は次のように取られます。 ${\displaystyle R_{J}}$${\displaystyle R_{J}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle R_{J}}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle A={\frac {x+y+z+2p}{5}}}$

および違いは、次のように定義されます 。${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle \Delta y}$ ${\displaystyle \Delta z}$${\displaystyle \Delta p}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{J}(x,y,z,p)&=R_{J}(A(1-\Delta x),A(1-\Delta y),A(1-\Delta z),A(1-\Delta p))\\&={\frac {1}{A^{\frac {3}{2}}}}R_{J}(1-\Delta x,1-\Delta y,1-\Delta z,1-\Delta p)\end{aligned}}}$

、、、および（再び）における基本対称多項式は、完全に ${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle \Delta y}$${\displaystyle \Delta z}$${\displaystyle \Delta p}$${\displaystyle \Delta p}$

${\displaystyle E_{1}=\Delta x+\Delta y+\Delta z+2\Delta p=0}$

${\displaystyle E_{2}=\Delta x\Delta y+\Delta y\Delta z+2\Delta z\Delta p+\Delta p^{2}+2\Delta p\Delta x+\Delta x\Delta z+2\Delta y\Delta p}$

${\displaystyle E_{3}=\Delta z\Delta p^{2}+\Delta x\Delta p^{2}+2\Delta x\Delta y\Delta p+\Delta x\Delta y\Delta z+2\Delta y\Delta z\Delta p+\Delta y\Delta p^{2}+2\Delta x\Delta z\Delta p}$

${\displaystyle E_{4}=\Delta y\Delta z\Delta p^{2}+\Delta x\Delta z\Delta p^{2}+\Delta x\Delta y\Delta p^{2}+2\Delta x\Delta y\Delta z\Delta p}$

${\displaystyle E_{5}=\Delta x\Delta y\Delta z\Delta p^{2}}$

ただし、という事実を使用して、の公式を簡略化することができます。これらの多項式で被積分関数を表現し、多次元テイラー展開を実行し、前と同じように項ごとに積分すると... ${\displaystyle E_{2}}$${\displaystyle E_{3}}$${\displaystyle E_{4}}$${\displaystyle E_{1}=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{J}(x,y,z,p)&={\frac {3}{2A^{\frac {3}{2}}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {(t+1)^{5}-(t+1)^{4}E_{1}+(t+1)^{3}E_{2}-(t+1)^{2}E_{3}+(t+1)E_{4}-E_{5}}}}dt\\&={\frac {3}{2A^{\frac {3}{2}}}}\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{(t+1)^{\frac {5}{2}}}}-{\frac {E_{2}}{2(t+1)^{\frac {9}{2}}}}+{\frac {E_{3}}{2(t+1)^{\frac {11}{2}}}}+{\frac {3E_{2}^{2}-4E_{4}}{8(t+1)^{\frac {13}{2}}}}+{\frac {2E_{5}-3E_{2}E_{3}}{4(t+1)^{\frac {15}{2}}}}+O(E_{1})+O(\Delta ^{6})\right)dt\\&={\frac {1}{A^{\frac {3}{2}}}}\left(1-{\frac {3}{14}}E_{2}+{\frac {1}{6}}E_{3}+{\frac {9}{88}}E_{2}^{2}-{\frac {3}{22}}E_{4}-{\frac {9}{52}}E_{2}E_{3}+{\frac {3}{26}}E_{5}+O(E_{1})+O(\Delta ^{6})\right)\end{aligned}}}$

と同様に、引数の平均値について展開すると、半分以上の項（ を含む項）が除去されます。 ${\displaystyle R_{J}}$${\displaystyle E_{1}}$

一般に、カールソン積分の引数 x、y、z は実数かつ負でない場合があります。これは、積分経路に分岐点が置かれ、積分があいまいになるためです。ただし、の 2 番目の引数、またはの 4 番目の引数 pが負の場合、積分経路に単純な極が置かれます。これらの場合、積分のコーシー主値(有限部分) が重要になる場合があります。これらは、 ${\displaystyle R_{C}}$${\displaystyle R_{J}}$

${\displaystyle \mathrm {p.v.} \;R_{C}(x,-y)={\sqrt {\frac {x}{x+y}}}\,R_{C}(x+y,y),}$

そして

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {p.v.} \;R_{J}(x,y,z,-p)&={\frac {(q-y)R_{J}(x,y,z,q)-3R_{F}(x,y,z)+3{\sqrt {y}}R_{C}(xz,-pq)}{y+p}}\\&={\frac {(q-y)R_{J}(x,y,z,q)-3R_{F}(x,y,z)+3{\sqrt {\frac {xyz}{xz+pq}}}R_{C}(xz+pq,pq)}{y+p}}\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle q=y+{\frac {(z-y)(y-x)}{y+p}}.}$

評価するには、ゼロより大きくなければなりません。これは、y の値が x と z の値の間になるように、x、y、z を並べ替えることで調整できます。 ${\displaystyle R_{J}(x,y,z,q)}$

重複定理は、楕円積分のカールソン対称形の高速かつ堅牢な評価に使用でき、したがって、楕円積分のルジャンドル形の評価にも使用できます。 を計算します。まず、、および を定義します。次に、級数を反復します。 ${\displaystyle R_{F}(x,y,z)}$${\displaystyle x_{0}=x}$${\displaystyle y_{0}=y}$${\displaystyle z_{0}=z}$

${\displaystyle \lambda _{n}={\sqrt {x_{n}}}{\sqrt {y_{n}}}+{\sqrt {y_{n}}}{\sqrt {z_{n}}}+{\sqrt {z_{n}}}{\sqrt {x_{n}}},}$

${\displaystyle x_{n+1}={\frac {x_{n}+\lambda _{n}}{4}},y_{n+1}={\frac {y_{n}+\lambda _{n}}{4}},z_{n+1}={\frac {z_{n}+\lambda _{n}}{4}}}$

所望の精度に達するまで、、、が非負の場合、すべての級数は、例えば などの特定の値に急速に収束します。したがって、 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle R_{F}\left(x,y,z\right)=R_{F}\left(\mu ,\mu ,\mu \right)=\mu ^{-1/2}.}$

評価は、関係によりほぼ同じである ${\displaystyle R_{C}(x,y)}$

${\displaystyle R_{C}\left(x,y\right)=R_{F}\left(x,y,y\right).}$

• BC カールソン、ジョン L. グスタフソン「対称楕円積分の漸近近似」1993 arXiv
• BC カールソン「実数または複素数の楕円積分の数値計算」1994 arXiv
• BC Carlson「楕円積分:対称積分」、数学関数のデジタルライブラリの第 19 章。リリース日 2010-05-07。国立標準技術研究所。
• 「プロフィール: Bille C. Carlson」、数学関数のデジタル ライブラリ。米国国立標準技術研究所。
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007)、「セクション 6.12. 楕円積分とヤコビ楕円関数」、Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (第 3 版)、ニューヨーク: Cambridge University Press、ISBN 978-0-521-88068-8、2011-08-11にオリジナルからアーカイブ、2011-08-10に取得
• RF、RJ、RC、RDを評価するためのSLATECのFortranコード