楕円体座標

楕円体座標は、3次元直交座標系である。${\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )}$これは、2 次元楕円座標系を一般化したものです。二次座標面を特徴とするほとんどの 3 次元直交座標とは異なり、楕円体座標系は共焦点二次曲面に基づいています。

デカルト座標${\displaystyle (x,y,z)}$楕円体座標から生成できる ${\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )}$方程式により

${\displaystyle x^{2}={\frac {\left(a^{2}+\lambda \right)\left(a^{2}+\mu \right)\left(a^{2}+\nu \right)}{\left(a^{2}-b^{2}\right)\left(a^{2}-c^{2}\right)}}}$

${\displaystyle y^{2}={\frac {\left(b^{2}+\lambda \right)\left(b^{2}+\mu \right)\left(b^{2}+\nu \right)}{\left(b^{2}-a^{2}\right)\left(b^{2}-c^{2}\right)}}}$

${\displaystyle z^{2}={\frac {\left(c^{2}+\lambda \right)\left(c^{2}+\mu \right)\left(c^{2}+\nu \right)}{\left(c^{2}-b^{2}\right)\left(c^{2}-a^{2}\right)}}}$

座標には以下の制限が適用される

${\displaystyle -\lambda <c^{2}<-\mu <b^{2}<-\nu <a^{2}.}$

その結果、一定の表面${\displaystyle \lambda }$楕円体である

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}+\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\lambda }}=1,}$

一方、一定の表面は${\displaystyle \mu }$1葉双曲面

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}+\mu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\mu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\mu }}=1,}$

左辺の最後の項が負であるため、一定の曲面${\displaystyle \nu }$2葉双曲面

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}+\nu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\nu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\nu }}=1}$

左辺の最後の2つの項が負の値だからです。

楕円体座標に使用される直交二次曲面システムは共焦点二次曲面である。

以下の数式を簡潔にするため、関数を導入します。

${\displaystyle S(\sigma )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left(a^{2}+\sigma \right)\left(b^{2}+\sigma \right)\left(c^{2}+\sigma \right)}$

どこ${\displaystyle \sigma }$3つの変数のいずれかを表すことができます${\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )}$この関数を使用すると、スケールファクターを記述できます。

$${\displaystyle h_{\lambda }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)}{S(\lambda )}}}}$$

$${\displaystyle h_{\mu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right)}{S(\mu )}}}}$$

${\displaystyle h_{\nu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}{S(\nu )}}}}$

したがって、微小体積要素は

${\displaystyle dV={\frac {\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\nu \right)}{8{\sqrt {-S(\lambda )S(\mu )S(\nu )}}}}\,d\lambda \,d\mu \,d\nu }$

ラプラシアンは次のように定義される。

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi ={}&{\frac {4{\sqrt {S(\lambda )}}}{\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\left[{\sqrt {S(\lambda )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \lambda }}\right]\\[1ex]&+{\frac {4{\sqrt {S(\mu )}}}{\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left[{\sqrt {S(\mu )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\right]\\[1ex]&+{\frac {4{\sqrt {S(\nu )}}}{\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left[{\sqrt {S(\nu )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right]\end{aligned}}}$

その他の微分演算子としては、${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ そして${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$座標で表現できる${\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )}$直交座標系で用いられる一般式にスケールファクターを代入することによって。

球面座標の角度パラメータ化に非常に近い代替（ただし非直交）パラメータ化が存在する：^{[ 1 ]}

${\displaystyle x=as\sin \theta \cos \phi ,}$

${\displaystyle y=bs\sin \theta \sin \phi ,}$

${\displaystyle z=cs\cos \theta .}$

ここ、${\displaystyle s>0}$原点の周りの同心楕円体をパラメータ化し、${\displaystyle \theta \in [0,\pi ]}$そして${\displaystyle \phi \in [0,2\pi ]}$はそれぞれ、球面座標の通常の極角と方位角です。対応する体積要素は

${\displaystyle dx\,dy\,dz=abc\,s^{2}\sin \theta \,ds\,d\theta \,d\phi .}$

• 楕円体緯度
• 焦点面（2つの座標面で定義されるシェル）
• 三軸楕円体の地図投影

• Morse PM、Feshbach H (1953).理論物理学の方法、第 I 部. ニューヨーク: McGraw-Hill. p.  663.
• ズウィリンガー D (1992).統合ハンドブック. ボストン、マサチューセッツ州: ジョーンズ・アンド・バートレット. p.  114. ISBN 0-86720-293-9。
• ザウアー R、ザボー I (1967)。Ingenieurs の数学。ニューヨーク: Springer Verlag。101 ～ 102ページ。LCCN 67025285。  
• Korn GA、Korn TM (1961)。科学者と技術者のための数学ハンドブック。ニューヨーク：マグロウヒル。p . 176。LCCN 59014456。  
• Margenau H、Murphy GM (1956)。物理学と化学の数学。ニューヨーク：D. van Nostrand。pp . 178–180。LCCN 55010911。  
• Moon PH、Spencer DE (1988)「楕円体座標（η、θ、λ）」『場の理論ハンドブック：座標系、微分方程式、およびその解法（第2版、第3版改訂 版）』ニューヨーク：Springer Verlag、pp. 40–44（表1.10）。ISBN  0-387-02732-7。

• MathWorldにおける共焦点楕円体座標の説明