動的システム理論

動的システム理論は、複雑な動的システムの挙動を記述するために用いられる数学の一分野であり、通常は微分方程式または差分方程式を用いる。微分方程式が用いられる場合、理論は連続動的システムと呼ばれる。物理的な観点からは、連続動的システムは古典力学の一般化であり、運動方程式が直接仮定され、最小作用原理のオイラー・ラグランジュ方程式に制約されない一般化である。差分方程式が用いられる場合、理論は離散動的システムと呼ばれる。時間変数が、ある区間では離散的であり他の区間では連続的である集合、またはカントール集合などの任意の時間集合である場合、時間スケール上の動的方程式が得られる。状況によっては、微分差分方程式などの混合演算子によってモデル化されることもある。

この理論は、力学系の長期的質的挙動を扱い、惑星の軌道や電子回路の挙動など、本質的に主に機械的または物理的なシステム、ならびに生物学、経済学、その他の分野で生じるシステムの運動方程式の性質、および可能であればその解を研究します。現代の研究の多くは、カオスシステムと奇妙なシステム の研究に焦点を当てています。

この研究分野は、単に動的システム、数学的動的システム理論、または動的システムの数学的理論とも呼ばれます。

動的システム理論とカオス理論は、動的システムの長期的な質的動作を扱います。ここでの焦点は、動的システムを定義する方程式の正確な解を見つけることではなく (多くの場合、望みがない)、「システムは長期的には定常状態に落ち着くでしょうか。もしそうなら、どのような定常状態が考えられますか?」や「システムの長期的な動作は初期状態に依存しますか?」などの質問に答えることです。

重要な目標は、与えられた動的システムの固定点、つまり定常状態を記述することです。これらは、時間の経過とともに変化しない変数の値です。これらの固定点のいくつかは、魅力的です。つまり、システムが近くの状態から始まる場合、固定点に向かって収束します。

同様に、周期点、つまりいくつかのタイムステップ後に繰り返されるシステムの状態にも興味があります。周期点も魅力的です。シャルコフスキーの定理は、 1 次元の離散動的システムの周期点の数に関する興味深い定理です。

単純な非線形力学系でも、一見ランダムな動作を示すことが多く、カオスと呼ばれています。^[1]カオスの明確な定義と調査を扱う力学系の分野は、カオス理論と呼ばれています。

動的システム理論の概念は、ニュートン力学に起源があります。他の自然科学や工学分野と同様に、動的システムの進化のルールは、システムの将来のわずかな時間だけの状態を示す関係によって暗黙的に与えられます。

高速計算機が登場する前は、動的システムを解くには高度な数学的手法が必要であり、限られた種類の動的システムでしか実行できませんでした。

数学的動的システム理論の優れた発表としては、Beltrami（1998）、Luenberger（1979）、Padulo & Arbib（1974）、Strogatz（1994）などがあります。^[2]

動的システムの概念は、周囲の空間における点の位置の時間依存性を記述する固定された「ルール」の数学的形式化です。例としては、時計の振り子の揺れ、パイプ内の水の流れ、湖の春ごとの魚の数を記述する 数学モデルなどがあります。

動的システムの状態は、実数の集合、またはより一般的には適切な状態空間内の点の集合によって決定されます。システムの状態の小さな変化は、数の小さな変化に対応します。数は、幾何学的空間、つまり多様体の座標でもあります。動的システムの進化ルールは、現在の状態から将来の状態がどうなるかを説明する固定ルールです。ルールは決定論的（現在の状態が与えられれば、特定の時間間隔で将来の状態を 1 つ正確に予測できる）または確率論的（状態の進化は特定の確率でのみ予測できる）です。

動態主義は、動的仮説、認知科学における動的仮説、あるいは動的認知とも呼ばれ、哲学者ティム・ヴァン・ゲルダーの研究に代表される認知科学における新しいアプローチです。この理論では、微分方程式は従来のコンピュータモデルよりも認知のモデル化に適していると主張しています。

数学において、非線形システムとは線形ではないシステム、つまり重ね合わせの原理を満たさないシステムです。より専門的に言えば、非線形システムとは、解くべき変数が独立成分の線形和として記述できない問題のことです。独立変数の関数の存在を除けば線形である非同次システムは、厳密な定義によれば非線形ですが、特定の解がわかっている限り線形システムに変換できるため、このようなシステムは通常、線形システムと並行して研究されます。

算術動力学は、1990 年代に登場した、力学系と数論という数学の 2 つの分野を融合した分野です。従来、離散動力学とは、複素平面または実数直線の自己写像の反復の研究を指します。算術動力学は、多項式または有理関数を繰り返し適用した場合の整数点、有理数点、 p進点、および/または代数点の数論的特性の研究です。

カオス理論は、特定の動的システム、つまり時間とともに状態が変化するシステムの挙動を説明します。このシステムは、初期条件に対して非常に敏感なダイナミクス (一般にバタフライ効果と呼ばれる) を示す場合があります。初期条件の摂動の指数関数的な増加として現れるこの敏感さの結果として、カオスシステムの挙動はランダムに見えます。これは、これらのシステムが決定論的であるにもかかわらず発生します。つまり、将来のダイナミクスは初期条件によって完全に定義され、ランダムな要素は含まれません。この動作は、決定論的カオス、または単にカオスとして知られています。

複雑系は、自然、社会、科学において複雑であると見なされるシステムの共通特性を研究する科学分野です。複雑系理論、複雑性科学、複雑系の研究、複雑性の科学とも呼ばれます。このようなシステムの主な問題は、形式的なモデリングとシミュレーションの難しさです。このような観点から、さまざまな研究コンテキストで、複雑系はさまざまな属性に基づいて定義されます。

複雑系の研究は、より典型的な還元主義的戦略が不十分であった多くの科学分野に新たな活力をもたらしています。したがって、複雑系は、神経科学、社会科学、気象学、化学、物理学、コンピューター科学、心理学、人工生命、進化的計算、経済学、地震予知、分子生物学、生体細胞自体の性質の調査など、さまざまな分野の問題に対する研究アプローチを包括する広い用語としてよく使用されます。

制御理論は工学と数学の学際的な分野であり、部分的には動的システムの挙動に影響を与えることを扱います。

エルゴード理論は、不変測度を持つ動的システムとそれに関連する問題を研究する数学の分野です。その最初の発展は、統計物理学の問題によって動機づけられました。

関数解析は、ベクトル空間とそこに作用する演算子の研究に関する数学、特に解析学の一分野です。関数解析の歴史的ルーツは、関数空間の研究、特にフーリエ変換などの関数の変換、および微分方程式と積分方程式の研究にあります。関数という単語のこの用法は変分法にまで遡り、引数が関数である関数を意味します。関数解析の一般的な使用は、数学者で物理学者のヴィト・ヴォルテラによるものとされ、その創始は主に数学者シュテファン・バナッハによるものです。

グラフ動的システム(GDS)の概念は、グラフやネットワーク上で発生するさまざまなプロセスを捉えるために使用できます。グラフ動的システムの数学的および計算的分析における主要なテーマは、その構造特性 (ネットワークの接続性など) と、その結果生じるグローバル ダイナミクスを関連付けることです。

投影された動的システムは、解が制約セットに制限される動的システムの挙動を調査する数学理論です。この分野は、最適化と平衡問題という静的な世界と常微分方程式という動的世界の両方と関連し、応用されています。投影された動的システムは、投影された微分方程式への流れによって与えられます。

記号ダイナミクスは、抽象的な記号の無限シーケンスで構成される離散空間によって位相的または滑らかな動的システムをモデル化する手法であり、各記号はシステムの状態に対応し、ダイナミクス（進化）はシフト演算子によって与えられます。

システムダイナミクスは、システムの時間経過に伴う動作を理解するためのアプローチです。システム全体の動作と状態に影響を与える内部フィードバックループと時間遅延を扱います。^{[3]システムダイナミクスを他のシステム研究アプローチと異なるものにしているのは、}ストックとフローのフィードバックループ を説明するために使用される言語です。これらの要素は、一見単純なシステムでさえ不可解な非線形性を示すことを説明するのに役立ちます。

位相動力学は、一般位相の観点から力学系の定性的、漸近的性質を研究する力学系理論の分野です。

スポーツバイオメカニクスでは、運動科学において、運動能力と効率をモデル化するための実行可能なフレームワークとして、動的システム理論が登場しました。動的システム理論は解析力学にルーツがあるため、これは驚くことではありません。精神生理学の観点から見ると、人間の運動システムは、相互作用する多数の要素（血液細胞、酸素分子、筋肉組織、代謝酵素、結合組織、骨など）で構成される相互依存的なサブシステム（呼吸、循環、神経、骨格筋、知覚など）の非常に複雑なネットワークです。動的システム理論では、運動パターンは、物理的および生物学的システムに見られる自己組織化の一般的なプロセスを通じて出現します。^[4]このフレームワークの概念的適用に関連する主張のいずれも、研究による検証されていません。

動的システム理論は、神経科学や認知発達の分野、特に新ピアジェの認知発達理論に応用されてきた。認知発達は、統語論やAIに基づく理論よりも物理理論によって最もよく表現されると考えられている。また、微分方程式が人間の行動をモデル化する最も適切なツールであると考えられていた。これらの方程式は、状態空間を通るエージェントの認知軌道を表すと解釈される。言い換えれば、力学論者は、心理学は、特定の環境的および内部的な圧力下にあるエージェントの認知と行動を（微分方程式を介して）記述するものであるべきである（または記述している）と主張している。カオス理論の言語も頻繁に採用されている。

その中で、学習者の心は、古いパターンが崩壊した不均衡な状態に達します。これは、認知発達の相転移です。活動レベルが互いにリンクすると、自己組織化（一貫した形式の自発的な作成）が始まります。新しく形成されたマクロおよびミクロの構造は互いにサポートし合い、プロセスを加速します。これらのリンクは、スカロッピング（複雑なパフォーマンスの繰り返しの構築と崩壊）と呼ばれるプロセスを通じて、心の中に新しい秩序状態の構造を形成します。この新しい、斬新な状態は、進行性、離散性、特異性があり、予測不可能です。^[5]

動的システム理論は最近、 A-not-Bエラーと呼ばれる、子どもの発達において長い間解決されていなかった問題を説明するために使われてきました。^[6]

さらに、1990年代半ば以降^{[7]、システム理論的} コネクショニズムを志向する認知科学は、（非線形）「動的システム理論（DST）」の手法をますます採用するようになった。^{[8] [9] [10]}現代のコネクショニズムにおけるさまざまな神経象徴的認知ニューロアーキテクチャは、その数学的構造的核を考慮すると、（非線形）動的システムとして分類できる。^{[11] [12] [13]}コネクショニスト認知ニューロアーキテクチャをDSTと融合させようとする神経認知におけるこれらの試みは、ニューロインフォマティクスやコネクショニズムだけでなく、最近では発達心理学（「動的場理論（DFT）」^{[14] [15]}）や「進化ロボティクス」および「発達ロボティクス」^[16]と「進化計算（EC）」の数学的手法との関連からも生まれている。概要については、Maurerを参照のこと。^{[17] [18]}

第二言語習得の研究に動的システム理論を応用したのは、ダイアン・ラーセン＝フリーマンです。彼女は1997年に論文を発表し、第二言語習得は言語習得だけでなく言語消失も含む発達過程として捉えるべきだと主張しました。 ^[19]彼女の論文では、言語は動的、複雑、非線形、混沌、予測不可能、初期条件に敏感、オープン、自己組織化、フィードバックに敏感、適応性のある動的システムとして捉えるべきだと主張しました。

関連テーマ

関連する科学者

• アブラハム、フレデリック D.;アブラハム、ラルフ; ショー、クリストファー D. (1990)。心理学のための動的システム理論のビジュアル入門。エアリアル プレス。ISBN 978-0-942344-09-7. OCLC  24345312.
• ベルトラミ、エドワード J. (1998)。動的モデリングのための数学 (第 2 版)。アカデミック プレス。ISBN 978-0-12-085566-7. OCLC  36713294.
• Hájek, Otomar (1968)。平面上の動的システム。Academic Press。ISBN 9780123172402. OCLC  343328.
• Luenberger, David G. (1979)。動的システム入門: 理論、モデル、およびアプリケーション。Wiley。ISBN 978-0-471-02594-8. OCLC  4195122.
• ミシェル、アンソニー。王凱寧;ボー・フー (2001)。力学システムの定性理論。テイラーとフランシス。ISBN 978-0-8247-0526-8. OCLC  45873628.
• Padulo, Louis; Arbib, Michael A. (1974)。システム理論: 連続システムと離散システムへの統一された状態空間アプローチ。Saunders。ISBN 9780721670355. OCLC  947600.
• ストロガッツ、スティーブン H. (1994)。『非線形ダイナミクスとカオス: 物理学、生物学、化学、工学への応用』アディソン・ウェスリー。ISBN 978-0-7382-0453-6. OCLC  49839504.

• 認知科学の動的システム百科事典のエントリ。
• MathWorld における動的システムの定義。
• DSWeb 動的システム マガジン