相対有効カルティエ除数

代数幾何学において、相対有効カルティエ因子は、おおよそ有効カルティエ因子の族である。正確には、環R上のスキームXにおける有効カルティエ因子は、(1) R上で平坦であり、(2) Dのイデアル層が局所的に階数 1 を含まない (すなわち可逆な層) Xの閉部分スキーム D である。同様に、 Xの閉部分スキームDが有効カルティエ因子であるとは、Xと非零因子の開アフィン被覆が存在し、その交差が方程式(局所方程式と呼ばれる) で与えられ、R上で平坦であり、かつそれらが両立する場合を言う。 ${\displaystyle I(D)}$${\displaystyle U_{i}=\operatorname {Spec} A_{i}}$${\displaystyle f_{i}\in A_{i}}$${\displaystyle D\cap U_{i}}$${\displaystyle f_{i}=0}$${\displaystyle A/f_{i}A}$

L をX上の線束とし、s をその切断として次の式が成り立つものとする(言い換えると、s は任意の開部分集合Uの-正則要素である)。 ${\displaystyle s:{\mathcal {O}}_{X}\hookrightarrow L}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$

Xの開被覆を とします。各iに対して、同型写像を通して、この制限はの非零因子に対応します。ここで、 Xの閉部分スキーム(セクションsの零点と呼ばれる) を次のように 定義します。${\displaystyle \{U_{i}\}}$${\displaystyle L|_{U_{i}}\simeq {\mathcal {O}}_{X}|_{U_{i}}}$${\displaystyle s|_{U_{i}}}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U_{i})}$${\displaystyle \{s=0\}}$

${\displaystyle \{s=0\}\cap U_{i}=\{f_{i}=0\},}$

ここで、右辺はによって生成されたイデアル層によって与えられるの閉じた部分スキームを意味します。 は単位元であるため、これは明確に定義されています (つまり、重なりが一致しています) 。同じ理由で、閉じた部分スキームは、局所的単純化の選択とは無関係です。 ${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle f_{i}/f_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}}$${\displaystyle \{s=0\}}$

同様に、 sの零位置は射のファイバーとして構築できます。つまり、L をその全空間と見なすと、セクションsはLのX射、つまりs の後にが恒等写像となるような射です。次に、sと零セクション埋め込みのファイバー積として構築できます。 ${\displaystyle s:X\to L}$${\displaystyle L\to X}$${\displaystyle \{s=0\}}$${\displaystyle s_{0}:X\to L}$

最後に、が基本スキームS上で平坦なとき、それはS上のX上の有効なカルティエ因子である。さらに、この構成は次のようにX上のすべての有効なカルティエ因子を網羅する。 D を有効なカルティエ因子とし、Dの理想層を表す。局所自由性のため、 を取ると、正確なシーケンスが得られる。 ${\displaystyle \{s=0\}}$${\displaystyle I(D)}$${\displaystyle I(D)^{-1}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}-}$${\displaystyle 0\to I(D)\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{D}\to 0}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}\to I(D)^{-1}\to I(D)^{-1}\otimes {\mathcal {O}}_{ D}\から0}$

特に、 の 1 はの断面と同一視することができ、これを と表記します。 ${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})}$${\displaystyle \Gamma (X,I(D)^{-1})}$${\displaystyle s_{D}}$

ここで、 について先ほどの議論を繰り返すことができます。D は有効なカルティエ因子なので、D はAの非零因子fに対して局所的にの形になります。 この自明性はfによる乗算によって与えられます。特に、 1 は​​ fに対応します。 したがって、 の零点位置はDです。 ${\displaystyle L=I(D)^{-1}}$${\displaystyle \{f=0\}}$${\displaystyle U=\operatorname {Spec} (A)}$${\displaystyle L|_{U}=Af^{-1}{\overset {\sim }{\to }}A}$${\displaystyle s_{D}}$

• DとD' が有効なカルティエ因子である場合、その和は、f、g がDとD'の局所方程式を与えるかのように局所的に定義される有効なカルティエ因子です。${\displaystyle D+D'}$${\displaystyle fg=0}$
• Dが有効なカルティエ因子であり、が環準同型である場合、 はにおける有効なカルティエ因子です。${\displaystyle R\to R'}$${\displaystyle D\times _{R}R'}$${\displaystyle X\times _{R}R'}$
• D が有効なカルティエ因子であり、R上の平坦射である場合、 はイデアル層を持つX'内の有効なカルティエ因子です。${\displaystyle f:X'\to X}$${\displaystyle D'=D\times _{X}X'}$${\displaystyle I(D')=f^{*}(I(D))}$

ここで、X が滑らかな曲線 ( R上)であると仮定します。DをXの有効カルティエ因子とし、 R上適切であると仮定します( Xが適切であれば即値です)。すると は有限階数の局所自由R加群になります。この階数はDの次数と呼ばれ、 と表記されます。これは 上の局所定数関数です。DとD ' が適切な有効カルティエ因子であれば、 はR上適切で です。を有限平坦射とします。すると です。^[1]一方、基底の変更では次数は変わりません: 。^[2]${\displaystyle \Gamma (D,{\mathcal {O}}_{D})}$${\displaystyle \deg D}$${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$${\displaystyle D+D'}$${\displaystyle \deg(D+D')=\deg(D)+\deg(D')}$${\displaystyle f:X'\to X}$${\displaystyle \deg(f^{*}D)=\deg(f)\deg(D)}$${\displaystyle \deg(D\times _{R}R')=\deg(D)}$

Xの閉部分スキームDが有限、平坦、有限表示であるための必要十分条件は、それがR上適切な有効カルティエ因子である場合である。^[3]

有効なカルティエ因子Dが与えられた場合、それに ヴェイユ因子を関連付ける同等の方法が 2 つあります。${\displaystyle [D]}$

• Katz, Nicholas M ; Mazur, Barry (1985).楕円曲線の算術モジュライ.プリンストン大学出版局. ISBN 0-691-08352-5。