アーベル群

数学において、可換群とも呼ばれるアーベル群は、 2つの群元に群演算を適用した結果が、それらの群の記述順序に依存しない群である。つまり、群演算は可換である。加算を演算として、整数と実数はアーベル群を形成し、アーベル群の概念はこれらの例の一般化と見なすことができます。アーベル群はニールス・ヘンリク・アーベルにちなんで名付けられています。^[1]

アーベル群の概念は、体、環、ベクトル空間、代数などの多くの基本的な代数構造の基礎となっています。アーベル群の理論は一般に非アーベル群の理論よりも単純であり、有限アーベル群は非常によく理解されており、完全に分類されています。

アーベル群は、集合 と、 の任意の 2 つの元と を組み合わせて で示される の別の元を形成する演算を組み合わせたものです。 記号は、具体的に与えられた演算の一般的なプレースホルダーです。アーベル群としての資格を得るには、集合 と演算 が、アーベル群公理と呼ばれる 4 つの要件を満たしている必要があります(一部の著者は、演算の定義に属するいくつかの特性、つまり、演算がAの任意の順序付き要素のペアに対して定義されていること、結果が明確に定義されていること、結果がAに属していることを公理に含めています)。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle a\cdot b}$${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle (A,\cdot )}$

結合性

のすべての、、に対して、この式が成り立ちます。${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$

アイデンティティ要素

には要素が存在し、内のすべての要素に対して、方程式が成立します。${\displaystyle e}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a}$${\displaystyle A}$${\displaystyle e\cdot a=a\cdot e=a}$

逆要素

の各 に対して、となる の元が存在し、ここで は単位元です。${\displaystyle a}$${\displaystyle A}$${\displaystyle b}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a=e}$${\displaystyle e}$

可換性

すべての について、において、。${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$

群演算が可換でない群は「非可換群」または「非可換群」と呼ばれる。^{[2] : 11}

アーベル群には、加法と乗法という 2 つの主な表記規則があります。

一般に、乗法表記は群の通常の表記法であり、加法表記は加法表記が加群と加法環の通常の表記法である。加法表記は、アーベル群と非アーベル群の両方が考慮されるときはいつでも、特定の群がアーベル群であることを強調するためにも使用される。注目すべき例外として、近環群と半順序群があり、これらの群では、非アーベル群であっても演算が加法で記述される。^{[3] : 28–29  [4] : 9–14}

有限群がアーベル群であることを確認するために、乗算表と同様の方法で、ケイリー表と呼ばれる表（行列）を構築することができます。^{[5] ：10}群が演算の下にある場合、この表の番目のエントリには積 が含まれます。 ${\displaystyle G=\{g_{1}=e,g_{2},\dots ,g_{n}\}}$${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle g_{i}\cdot g_{j}}$

群がアーベル的であるためには、この表が主対角線について対称でなければなりません。群がアーベル的で あるためには、すべての に対してが成り立ち、これは表の要素がすべての に対してが成り立つ場合、つまり表が主対角線について対称である場合に限ります。 ${\displaystyle g_{i}\cdot g_{j}=g_{j}\cdot g_{i}}$${\displaystyle i,j=1,...,n}$${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle (j,i)}$${\displaystyle i,j=1,...,n}$

• 整数と演算加算 ( と表記)について、演算 + は任意の 2 つの整数を組み合わせて 3 番目の整数を形成し、加算は結合法則に従い、ゼロは加法の単位元 であり、すべての整数には加法の逆数、が存在し、任意の2 つの整数と について、加算演算は可換です。${\displaystyle +}$${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle -n}$${\displaystyle n+m=m+n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$
• すべての巡回群は アーベル群です。なぜなら、、がに属する場合、 となるからです。したがって、整数、、は、 を法とする整数、と同様に、加法に関してアーベル群を形成します。${\displaystyle G}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle G}$${\displaystyle xy=a^{m}a^{n}=a^{m+n}=a^{n}a^{m}=yx}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$
• すべての環は、その加法演算に関してアーベル群です。可換環では、可逆な元、つまり単位はアーベル乗法群を形成します。特に、実数は加法に関してアーベル群であり、非ゼロの実数は乗法に関してアーベル群です。
• アーベル群のすべての部分群は正規群なので、各部分群から商群が生まれます。アーベル群の部分群、商、直和もアーベル群です。有限単純アーベル群は、まさに素数 位数の巡回群です。^{[6] : 32}
• アーベル群と-加群の概念は一致しています。より具体的には、すべての- 加群は加算演算を伴うアーベル群であり、すべてのアーベル群は一意に整数の環上の加群です。${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

一般に、行列は、たとえ可逆行列であっても、乗算の下でアーベル群を形成しません。これは、行列の乗算が一般に可換ではないためです。ただし、一部の行列の群は、行列の乗算の下でアーベル群になります。1 つの例は、回転行列の群です。 ${\displaystyle 2\times 2}$

カミーユ・ジョーダンはノルウェーの 数学者 ニールス・ヘンリク・アーベルにちなんでアーベル群と名付けた。アーベルは多項式の群の可換性から、多項式の根は根号を使って計算できることを発見していたからである。^{[7] : 144–145  [8] : 157–158}

が自然数で、が加法的に書かれたアーベル群の元である場合、 は（加数）およびと定義できます。このようにして、は整数環上の加群になります。実際、 上の加群はアーベル群と同一視できます。^{[9] : 94–97}${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle G}$${\displaystyle nx}$${\displaystyle x+x+\cdots +x}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (-n)x=-(nx)}$${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

アーベル群（すなわち、主イデアル領域上の加群）に関する定理は、任意の主イデアル領域 上の加群に関する定理に一般化できることが多い。典型的な例は、主イデアル領域 上の有限生成加群の構造定理の特殊化である有限生成アーベル群の分類である。有限生成アーベル群の場合、この定理は、アーベル群が捩れ群と自由アーベル群の直和として分割されることを保証する。前者は、素数に対する の形式の有限個の群の直和として表すことができ、後者は の有限個のコピーの直和である。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

がアーベル群間の2 つの群準同型である場合、によって定義されるそれらの和もやはり準同型です。( が非アーベル群の場合は、これは真ではありません。) したがって、からまでのすべての群準同型全体の集合は、それ自体がアーベル群です。 ${\displaystyle f,g:G\to H}$${\displaystyle f+g}$${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\text{Hom}}(G,H)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$

ベクトル空間の次元に似ていますが、すべてのアーベル群は階数を持ちます。これは、群の（整数上で）線型独立な要素の集合の最大濃度として定義されます。 ^{[10] ：49–50}有限アーベル群と捩れ群は階数がゼロで、階数がゼロのすべてのアーベル群は捩れ群です。整数と有理数は、有理数の非ゼロ加法部分群と同様に、階数が1です。一方、非ゼロ有理数の乗法群は、素数の集合を基底とする自由アーベル群であるため、無限階数を持ちます（これは算術の基本定理から生じます）。

群の中心は 、 のすべての元と可換な元の集合である。群がアーベル群となるのは、その中心 と等しい場合のみである。群の中心は常に の特性アーベル部分群である。群をその中心で割った商群が巡回群である場合、 はアーベル群である。^[11]${\displaystyle Z(G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle Z(G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G/Z(G)}$${\displaystyle G}$

、を法とする整数${\displaystyle n}$の巡回群は、群の最初の例の 1 つでした。任意の有限アーベル群は、素数べき順序の有限巡回群の直和に同型であり、これらの順序は一意に決定され、完全な不変量システムを形成することがわかります。有限アーベル群の自己同型群は、これらの不変量を使用して直接記述できます。この理論は、1879 年のGeorg FrobeniusとLudwig Stickelbergerの論文で初めて開発され、後に主イデアル領域上の有限生成モジュールに簡略化および一般化され、線型代数の重要な章を形成しました。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

素数位数の任意の群は巡回群と同型であり、したがってアーベル群である。位数が素数の平方である任意の群もアーベル群である。^[12]実際、すべての素数に対して（同型を除いて）位数 の群が正確に2つあり、つまりと である。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle p^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p^{2}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}\times \mathbb {Z} _{p}}$

有限アーベル群の基本定理は、すべての有限アーベル群は素数- べき順序の巡回部分群の直和として表現できることを述べています。これは有限アーベル群の基底定理としても知られています。さらに、巡回群の自己同型群はアーベル群の例です。^{[13]これは}有限生成アーベル群の基本定理によって一般化され、有限群はGがゼロランクを持つ特別な場合です。これにより、さらに多くの一般化が可能になります。 ${\displaystyle G}$

この分類は 1870 年にレオポルド クロネッカーによって証明されましたが、現代の群論用語で述べられるようになったのはもっと後のことであり、その前に1801 年にカール フリードリヒ ガウスによる二次形式の同様の分類がありました。詳細については 歴史を参照してください。

の巡回群は、と が互いに素である場合に限り、 と の直和に同型である。したがって、任意の有限アーベル群は、の形の直和に同型である 。${\displaystyle \mathbb {Z} _{mn}}$${\displaystyle mn}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{u}\ \mathbb {Z} _{k_{i}}}$

次のいずれかの標準的な方法で:

• 数字は（必ずしも異なるとは限らない）素数の累乗である。${\displaystyle k_{1},k_{2},\dots ,k_{u}}$
• またはを で割り、 が を で割り、 まで同様に続きます。${\displaystyle k_{1}}$ ${\displaystyle k_{2}}$${\displaystyle k_{3}}$${\displaystyle k_{u}}$

たとえば、 は、位数 3 と 5 の 2 つの巡回部分群の直和として表すことができます。同じことは位数 15 の任意のアーベル群についても言え、位数 15 のすべてのアーベル群は と同型であるという注目すべき結論が導かれます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{15}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{15}\cong \{0,5,10\}\oplus \{0,3,6,9,12\}}$

別の例として、位数 8 のすべてのアーベル群は、(8 を法とする加算における 0 から 7 までの整数)、(16 を法とする乗算における 1 から 15 までの奇数整数)、または のいずれかと同型です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{8}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}\oplus \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}}$

位数 30 以下の有限アーベル群については 小群のリストも参照してください。

基本定理を適用して、与えられた有限アーベル群の自己同型を数える（場合によっては決定する）ことができる。これを行うには、が互いに素な順序の部分群の直和として分割される場合、 ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H\oplus K}$

${\displaystyle \operatorname {Aut} (H\oplus K)\cong \operatorname {Aut} (H)\oplus \operatorname {Aut} (K).}$

これを踏まえると、基本定理は、 の自己同型群を計算するには、Sylow部分群の自己同型群を別々に計算するだけで十分であることを示しています(つまり、それぞれ の位数が のべき乗である巡回部分群のすべての直和)。素数を固定し、 Sylow 部分群の巡回因子の指数が昇順に並んでいると仮定します。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle e_{1}\leq e_{2}\leq \cdots \leq e_{n}}$

に対してである。 ${\displaystyle n>0}$

${\displaystyle \mathbf {Z} _{p^{e_{1}}}\oplus \cdots \oplus \mathbf {Z} _{p^{e_{n}}}.}$

特別なケースの 1 つは のときで、この場合はシロー部分群 には巡回素数べき因子が 1 つだけ存在する。この場合は有限巡回群の自己同型理論を使用できる。もう 1 つの特別なケースはが任意であるがのときである。ここでは が次の形式である とする。${\displaystyle n=1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle P}$${\displaystyle n}$${\displaystyle e_{i}=1}$${\displaystyle 1\leq i\leq n}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle \mathbf {Z} _{p}\oplus \cdots \oplus \mathbf {Z} _{p},}$

したがって、この部分群の元は、元の有限体上の次元のベクトル空間を構成すると見なすことができます。したがって、この部分群の自己同型は可逆な線型変換によって与えられ、 ${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

${\displaystyle \operatorname {Aut} (P)\cong \mathrm {GL} (n,\mathbf {F} _{p}),}$

ここで、適切な一般線型群である。これは、次数を持つことが簡単に示される。 ${\displaystyle \mathrm {GL} }$

${\displaystyle \left|\operatorname {Aut} (P)\right|=(p^{n}-1)\cdots (p^{n}-p^{n-1}).}$

最も一般的な場合、およびが任意である場合、自己同型群の決定はより困難である。しかし、定義すると ${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle d_{k}=\max\{r\mid e_{r}=e_{k}\}}$

そして

${\displaystyle c_{k}=\min\{r\mid e_{r}=e_{k}\}}$

すると、特に、、および ${\displaystyle k\leq d_{k}}$${\displaystyle c_{k}\leq k}$

${\displaystyle \left|\operatorname {Aut} (P)\right|=\prod _{k=1}^{n}(p^{d_{k}}-p^{k-1})\prod _{j=1}^{n}(p^{e_{j}})^{n-d_{j}}\prod _{i=1}^{n}(p^{e_{i}-1})^{n-c_{i}+1}.}$

これにより、特別なケースとして前の例の順序が得られることを確認できます (Hillar & Rhea を参照)。

アーベル群Aが有限生成であるとは、群 A が有限の元 (生成元と呼ばれる)の集合を含み、群のすべての元がGの元の整数係数との線型結合であるときです。 ${\displaystyle G=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}}$

Lを基底とする自由アーベル群とする。群準同型が 唯一存在し、 ${\displaystyle B=\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}.}$ ${\displaystyle p\colon L\to A,}$

${\displaystyle p(b_{i})=x_{i}\quad {\text{for }}i=1,\ldots ,n.}$

この準同型は全射であり、その核は有限生成です（整数はネーター環を形成するため）。 j番目の列の要素が核のj番目の生成元の係数であるような整数要素を持つ行列M を考えます。すると、アーベル群はMによって定義される線型写像の余核と同型になります。逆に、すべての整数行列は有限生成アーベル群を定義します。

したがって、有限生成アーベル群の研究は整数行列の研究と完全に同等です。特に、Aの生成セットを変更することは、左側のMにユニモジュラー行列(つまり、逆行列も整数行列である可逆整数行列) を掛けることと同等です。M の核の生成セットを変更することは、右側のMにユニモジュラー行列を 掛けることと同等です。

Mのスミス正規形は行列である

${\displaystyle S=UMV,}$

ここで、UとV はユニモジュラ行列であり、Sはすべての非対角要素がゼロである行列であり、非ゼロの対角要素⁠ ⁠ は${\displaystyle d_{1,1},\ldots ,d_{k,k}}$最初のものであり、⁠ ⁠ は${\displaystyle d_{j,j}}$i > jに対して⁠ ⁠${\displaystyle d_{i,i}}$の約数である。スミス正規形の存在と形状は、有限生成アーベル群Aが直和であることを証明している。

${\displaystyle \mathbb {Z} ^{r}\oplus \mathbb {Z} /d_{1,1}\mathbb {Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} /d_{k,k}\mathbb {Z} ,}$

ここで、r はSの底部の零行の数（および群のランク）です。これは有限生成アーベル群の基本定理です。

スミス標準形のアルゴリズムの存在は、有限生成アーベル群の基本定理が抽象的存在の定理であるだけでなく、有限生成アーベル群の表現を直和として計算する方法を提供していることを示している。^{[14] ：26–27}

最も単純な無限アーベル群は、無限巡回群 です。任意の有限生成アーベル群は、のコピーの直和と有限アーベル群に同型であり、有限アーベル群は、素数冪位数の有限個の巡回群の直和に分解できます。分解は一意ではありませんが、の階数と呼ばれる数と、有限巡回加数の位数を与える素数冪は一意に決定されます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle r}$${\displaystyle A}$

対照的に、一般の無限生成アーベル群の分類は、完全には程遠い。可分群、すなわち方程式が任意の自然数と の元に対して解を持つアーベル群は、完全に特徴付けることができる無限アーベル群の重要なクラスの 1 つを構成する。すべての可分群は直和に同型であり、加数はさまざまな素数 に対して、およびプリューファー群に同型であり、各タイプの加数の集合の濃度は一意に決定される。^[15]さらに、可分群がアーベル群の部分群である場合、 は直補群、つまり となるの部分群を持つ。したがって、可分群はアーベル群のカテゴリにおける入射加群であり、逆に、すべての入射アーベル群は可分である ( Baer の条件)。非ゼロの可分部分群を持たないアーベル群は、被約 と呼ばれる。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle nx=a}$${\displaystyle x\in A}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}/Z_{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle A}$${\displaystyle G}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G=A\oplus C}$

正反対の性質を持つ無限アーベル群の 2 つの重要な特殊クラスは、捩れ群と捩れのない群であり、例として(周期的)群と(捩れのない) 群が挙げられます。 ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

アーベル群は、すべての要素が有限の位数を持つ場合、周期的または捩れ群と呼ばれます。有限巡回群の直和は周期的です。逆の命題は一般には成り立ちませんが、いくつかの特殊なケースが知られています。第 1 および第 2 のプリューファー定理は、 が周期群であり、それが有界指数 を持つ(つまり、ある自然数 に対して)か、または可算であり、の要素の-高さが各 に対して有限である場合、 は有限巡回群の直和に同型であることを述べています。^[16]このような分解で に 同型な直和対象の集合の濃度は、 の不変量です。^{[17] : 6}これらの定理は後にクリコフの基準に取り入れられました。異なる方向では、ヘルムート・ウルムは、第2プリューファー定理を無限高の元を持つ可算アーベル群に拡張した。これらの群はウルム不変量によって完全に分類される。^{[18] : 317}${\displaystyle A}$${\displaystyle nA=0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle A}$${\displaystyle p}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle p}$

アーベル群は、すべての非ゼロ元が無限の位数を持つ場合、捩れのない群と呼ばれます。捩れのないアーベル群のいくつかのクラスが広く研究されてきました。

• 自由アーベル群、すなわち任意の直和${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• 共捩れと代数的にコンパクトな捩れのない群、例えば-進整数${\displaystyle p}$
• 細長いグループ^{[19] : 259–274}

周期的でもねじれのない群でもないアーベル群は混合群と呼ばれる。 がアーベル群で がそのねじれ部分群である場合、因子群は ねじれのない群である。しかし、一般にねじれ部分群は の直和ではないので、 と 同型ではない。したがって、混合群の理論は、周期群とねじれのない群に関する結果を単純に組み合わせる以上のことを含む。整数の加法群はねじれのない- 加群である。^{[20] : 206}${\displaystyle A}$${\displaystyle T(A)}$${\displaystyle A/T(A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle T(A)\oplus A/T(A)}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

無限アーベル群の最も基本的な不変量の 1 つは、その階数、つまり の最大の線形独立部分集合の濃度です。階数 0 のアーベル群はまさに周期群ですが、階数 1 の捩れのないアーベル群は必然的に の部分群であり、完全に記述できます。より一般的には、有限階数の捩れのないアーベル群は の部分群です。一方、-進整数の群は無限 -階数の捩れのないアーベル群であり、が異なる群は同型ではないため、この不変量はいくつかのよく知られた群の特性を完全には捉えていません。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle r}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{r}}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{n}}$${\displaystyle n}$

上で説明した有限生成、可分、可算周期、および階数 1 の捩れのないアーベル群の分類定理はすべて 1950 年以前に得られたもので、より一般的な無限アーベル群の分類の基礎を形成しています。無限アーベル群の分類に使用される重要な技術的ツールは、純粋部分群と基本部分群です。捩れのないアーベル群のさまざまな不変量の導入は、さらなる進歩への 1 つの道となっています。より最近の研究結果については、 Irving Kaplansky、László Fuchs、Phillip Griffith、およびDavid Arnoldの著書、およびLecture Notes in Mathematicsに掲載されたアーベル群論に関する会議の議事録を参照してください。

環の加法群はアーベル群ですが、すべてのアーベル群が環の加法群 (非自明な乗算を伴う) であるわけではありません。この研究分野の重要なトピックは次のとおりです。

• テンソル積
• ALS コーナーによる可算なねじれのない群の結果
• シェラの基数制限の除去に関する研究
• バーンサイドリング

多くの大きなアーベル群は自然な位相を持ち、それによって位相群になります。

すべてのアーベル群の集合と、それらの間の準同型性は、アーベル圏の原型である圏 を形成します。 ${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$

ワンダ・シュミレフ （1955）は、アーベル群の1階理論は、非アーベル群とは異なり、決定可能であることを証明した。ブール代数以外のほとんどの代数構造は決定不可能である。

現在も研究が続けられている分野は数多くあります。

• 有限階数の捩れのないアーベル群のうち、有限生成の場合と階数 1 の場合だけがよく理解されています。
• 無限階数の捩れのないアーベル群の理論には未解決の問題が数多く存在します。
• 可算な捩れアーベル群は単純な表現とウルム不変量を通じてよく理解されていますが、可算な混合群の場合はそれほど成熟していません。
• アーベル群の第一階理論の多くの緩やかな拡張は決定不可能であることが知られています。
• 有限アーベル群は計算群論における研究テーマであり続けています。

さらに、驚くべきことに、無限次数のアーベル群は、すべての数学の基礎であると一般に想定されている集合論に関する深い疑問につながります。ホワイトヘッド問題を取り上げましょう。無限次数のホワイトヘッド群はすべて自由アーベル群でもあるのでしょうか? 1970 年代に、サハロン シェラはホワイトヘッド問題が次の通りであることを証明しました。

• ほぼすべての現代数学を導き出すことができる従来の公理的集合論である ZFC (ツェルメロ-フランケル公理​​)では決定不能です。ホワイトヘッド問題は、通常の数学において ZFC で決定不能であることが証明された最初の問題でもあります。
• 一般化連続体仮説を公理としてZFC を拡張しても決定不可能である。
• ZFC が構成可能性の公理で拡張されている場合は肯定的に答えられます( L で真であるステートメントを参照)。

数学者の固有名詞から派生した数学的形容詞の中で、「アーベル派」という単語は、大文字のAではなく小文字のaで綴られることが多いという点で珍しい。大文字を使わないことは、アーベルの名前が制度化されている程度だけでなく、彼が導入した概念が現代数学でいかに遍在しているかを暗黙のうちに認めている。^[21]

• 交換子部分群 – 商が交換可能な最小の正規部分群
• アーベル化 – 群をその交換子部分群で割る
• 位数6の二面体群 – 6つの元を持つ非可換群、最小の非可換群
• 初等アーベル群 – すべての非零元が同じ順序を持つ可換群
• グロタンディーク群 – 可換モノイドを拡張したアーベル群
• ポントリャーギン双対性 – 局所コンパクトアーベル群の双対性

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