応用数学

応用数学は、物理学、工学、医学、生物学、金融、ビジネス、コンピュータサイエンス、産業などのさまざまな分野における数学的手法の応用です。したがって、応用数学は数理科学と専門知識の組み合わせです。「応用数学」という用語は、数学者が数学モデルを定式化して研究することで実用的な問題に取り組む専門分野も表しています。

これまで、実用的応用が数学理論の発展の動機となり、それが純粋数学の研究対象となり、抽象概念がそれ自体のために研究されるようになりました。したがって、応用数学の活動は純粋数学の研究と密接に結びついています。

歴史的に、応用数学は主に応用解析学、特に微分方程式、近似理論（広義には表現、漸近法、変分法、数値解析を含む）、応用確率論で構成されていました。これらの数学の分野はニュートン物理学の発展に直接関係しており、実際、数学者と物理学者の区別は19世紀半ばまで明確にはなっていませんでした。この歴史は米国に教育上の遺産を残しました。20世紀初頭まで、米国の大学では古典力学などの科目は物理学部ではなく応用数学科で教えられることが多く、流体力学は現在でも応用数学科で教えられていることがあります。^[1] 工学部やコンピュータサイエンス学部では伝統的に応用数学が活用されてきました。

時代が進むにつれ、応用数学は科学技術の進歩とともに成長してきました。近代の到来とともに、科学、経済、技術などの分野における数学の応用はより深く、よりタイムリーなものになりました。コンピュータやその他の技術の発達により、さまざまな分野で数学の概念をより詳細に研究し、応用できるようになりました。

今日でも、応用数学は社会と技術の進歩にとって極めて重要な役割を果たし続けています。応用数学は、新しい技術の開発や経済の発展を導き、さまざまな科学分野や産業における課題に取り組んでいます。応用数学の歴史は、人類の進歩における数学の重要性を常に証明しています。

今日、「応用数学」という用語は、より広い意味で使用されています。これには、上記の古典的な分野だけでなく、応用においてますます重要になっている他の分野も含まれます。純粋数学の一部である数論などの分野でさえ、現在では応用において重要です (暗号化など) が、それらは一般に、それ自体が応用数学の分野の一部であるとは見なされていません。

応用数学のさまざまな分野が何であるかについては、コンセンサスがありません。数学と科学が時間の経過とともに変化する方法、また大学が学部、コース、学位を編成する方法によって、このような分類は困難になっています。

多くの数学者は、数学的手法に関係する「応用数学」と、科学および工学における「数学の応用」を区別している。人口モデルを使用し、既知の数学を適用する生物学者は、応用数学を行っているのではなく、むしろそれを使用していることになる。しかし、数理生物学者は純粋数学の発展を刺激する問題を提起した。ポアンカレやアーノルドなどの数学者は、「応用数学」の存在を否定し、「数学の応用」しかないと主張する。同様に、非数学者は応用数学と数学の応用を混同している。産業上の問題を解決するための数学の使用と開発は、「産業数学」とも呼ばれる。^[2]

現代の数値数学的手法とソフトウェアの成功により、科学と工学における現象のシミュレーションと問題の解決に高性能コンピューティングを使用する計算数学、計算科学、計算工学が登場しました。これらはしばしば学際的であると考えられています。

応用数学という用語は、物理学と並行して発展してきた伝統的な応用数学と、今日の現実世界の問題に応用可能な数学の多くの分野を区別するために使用されることがあるが、正確な定義については合意が得られていない。^[3]

数学者はしばしば、一方では「応用数学」を、他方では科学と工学の内外における「数学の応用」または「応用数学」を区別する。^[3]一部の数学者は、従来の応用分野を、以前は純粋数学と見なされていた分野から生じる新しい応用から分離または区別するために、応用数学という用語を強調する。^[4]たとえば、この観点からすると、人口モデルを使用し、既知の数学を適用する生態学者や地理学者は、応用数学ではなく、応用数学を行っていることになる。純粋数学の一部である数論などの分野でさえ、一般には応用数学の分野自体の一部とは見なされていないものの、現在では応用において重要になっている（暗号学など）。このような説明から、応用数学は、実解析、線型代数、数学的モデリング、最適化、組合せ論、確率論、統計学などの数学的手法の集合体と見なされる可能性があり、これらは数理物理学に特有のものではなく、従来の数学以外の分野で有用である。

他の著者は、応用数学を「新しい」数学の応用と伝統的な応用数学の分野との融合として説明することを好みます。 ^{[4] [5] [6]}この見方では、応用数学と応用数学という用語は互換性があります。

歴史的に、数学は自然科学と工学において最も重要視されてきた。しかし、第二次世界大戦以降、物理学以外の分野でも、経済学的な考察から生まれたゲーム理論や社会的選択理論など、新しい数学の領域が生み出されてきた。さらに、数学的手法の活用と発展が他分野に広がり、数理ファイナンスやデータサイエンスなどの新しい分野が生まれた。

コンピュータの出現により、新しい応用が可能になりました。新しいコンピュータ技術自体（コンピュータサイエンス）を研究して使用し、他の科学分野で生じる問題（計算科学）や計算の数学（たとえば、理論コンピュータサイエンス、コンピュータ代数、^{[7] [8] [9] [10]} 数値解析^{[11] [12] [13] [14]}）を研究するのです。統計学は、おそらく社会科学で最も広く使用されている数学科学です。

学術機関は、応用数学のコース、プログラム、学位をグループ化して分類する方法に一貫性がありません。学校によっては、数学部門が 1 つしかないところもありますが、応用数学と (純粋) 数学の部門が別々になっているところもあります。大学院プログラムのある学校では統計部門が別々になっているのが一般的ですが、学部のみの機関の多くでは、統計学が数学部門に含まれています。

多くの応用数学プログラム (学部ではなく) は、主に共通科目と、応用分野を代表する学部の共同任命教員で構成されています。応用数学の博士課程の中には、数学以外の科目をほとんどまたはまったく必要としないプログラムもあれば、特定の応用分野での相当な科目を必要とするプログラムもあります。ある意味で、この違いは「数学の応用」と「応用数学」の違いを反映しています。

英国のいくつかの大学には応用数学と理論物理学の学科があるが^{[15] [16] [17]}、純粋数学と応用数学の学科が別々にあることは今ではかなり珍しくなっている。注目すべき例外はケンブリッジ大学の応用数学と理論物理学の学科で、同校にはアイザック・ニュートン、チャールズ・バベッジ、ジェームズ・ライトヒル、ポール・ディラック、スティーブン・ホーキングらが歴代教授を務めたルーカス数学教授がいる。

応用数学の独立した学科を持つ学校としては、博士課程までを提供する大規模な応用数学部門を持つブラウン大学から、応用数学の修士課程のみを提供するサンタクララ大学までがある。 ^[20]数学部門を純粋セクションと応用セクションに分けた研究大学には、 MITが含まれる。このプログラムの学生は、応用数学のスキルを補うために別のスキル（コンピュータサイエンス、エンジニアリング、物理学、純粋数学など）も学びます。

応用数学は、以下の数学科学と関連しています。

応用幾何学と応用化学を組み合わせます。

科学計算には、応用数学（特に数値解析^{[11] [12] [13] [14] [21]}）、計算科学（特に高性能コンピューティング^{[22] [23]}）、および科学分野における数学的モデリングが含まれます。

コンピュータサイエンスは、論理学、代数、グラフ理論などの離散数学、^{[24] [25]}および組合せ論に依存しています。

オペレーションズリサーチ^[26]と経営科学は、工学部、ビジネス学部、公共政策学部でよく教えられています。

応用数学は統計学の分野とかなり重複しています。統計理論家は数学を用いて統計手法を研究し、改善します。また、統計研究では数学的な問題がよく発生します。統計理論は確率と決定理論に依存し、科学計算、分析、最適化を広範に使用します。実験の設計では、統計学者は代数と組み合わせ設計を使用します。応用数学者と統計学者は、多くの場合、数理科学の学部で働いています (特に大学や小規模大学)。

保険数理学は、確率、統計、経済理論を応用して、保険、金融、その他の産業や専門職におけるリスクを評価します。^[27]

数理経済学は、経済学における理論を表現し、問題を分析するために数学的手法を応用したものである。^{[28] [29] [30]}応用手法とは、通常、非自明な数学的手法またはアプローチを指す。数理経済学は、統計学、確率論、数理計画法（およびその他の計算手法）、オペレーションズ・リサーチ、ゲーム理論、および数学的分析からのいくつかの手法に基づいている。この点で、数理経済学は応用数学の別の部分である金融数学に似ている（しかし異なる）。^[31]

数学科目分類(MSC)によれば、数理経済学は応用数学/その他分類のカテゴリ 91 に分類されます。

ゲーム理論、経済学、社会科学、行動科学

MSC2010 分類の「ゲーム理論」はコード 91Axx Archived 2015-04-02 at the Wayback Machineに、「数理経済学」はコード 91Bxx Archived 2015-04-02 at the Wayback Machineに存在します。

応用数学と特定の応用分野との境界線は、しばしば曖昧です。多くの大学では、ビジネス、工学、物理学、化学、心理学、生物学、コンピューターサイエンス、科学計算、情報理論、数理物理学などの学部や分野において、それぞれの学部以外で数学や統計のコースを教えています。

応用数学協会は国際的な応用数学の組織です。2024年現在、協会には14,000人の個人会員がいます。^[32]アメリカ数学会には応用数学グループがあります。^[33]

• 分析
• 応用科学
• 工学数学
• 工業応用数学協会

• モアヘッド州立大学が主催するモアヘッド応用数学ジャーナル
• ワールドサイエンティフィックによる具体的かつ応用可能な数学シリーズ
• ウォルター・レーダーマン著『応用数学ハンドブック』

Wikiversityには、学校:数学に関する学習リソースがあります。

Wikibooksには「応用数学」に関する本があります。

• ウィキメディア・コモンズの応用数学に関連するメディア
• 工業応用数学協会 (SIAM) は、数学とその他の科学技術コミュニティとの交流を促進することを目的とした専門団体です。数多くの会議を企画、後援するほか、SIAM は応用数学の研究ジャーナルや書籍の大手出版社でもあります。
• ノートルダム大学の応用数学研究グループ（2013年3月29日アーカイブ）
• リバプール・ホープ大学応用数学センター（2018年4月1日アーカイブ）
• グラスゴー・カレドニアン大学の応用数学研究グループ（2016年3月4日アーカイブ）