共役双曲線

幾何学では、与えられた双曲線の共役双曲線は同じ漸近線を共有しますが、元の双曲線と比較すると平面の反対の 2 つのセクターにあります。

双曲線とその共役線は、同じ頂点を共有する接線二重円錐が交わる交差平面から得られる円錐断面として構築できます。各円錐には軸があり、平面断面は軸によって形成される平面に平行です。

解析幾何学を用いると、双曲線は対称方程式を満たす。

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$頂点は( a ,0)と(–a , 0)であり、

${\displaystyle {\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}=1}$頂点は(0, b )と(0,– b )である。

a = bの場合、それらは直角双曲線であり、漸近線における平面の反射によって共役が交換されます。

ペルガのアポロニウスは、幾何学的構成を通じて共役双曲線を導入しました。「任意の角度で互いに二等分する2本の直線が与えられ、それぞれの直線が両方の双曲線の共役直径となるように2つの枝を持つ2つの双曲線を描きます。」^[1]「このようにして構築された2つの双曲線は共役双曲線と呼ばれ、最後に描かれた双曲線は最初の 双曲線と共役です。」

アポロニウスは次のような性質を説明した。PP'、DD' を 2 つの共役双曲線の共役直径とし、P、P'、D、D' に接線を引く。すると... 接線は平行四辺形を形成し、その対角線 LM、L'M' は中心 [C] を通ります。また、PL = PL' = P'M = P'M' = CD である。^[1]平行四辺形の対角線は、両方の双曲線に共通する漸近線であることに注意してください。PP' または DD' は横直径であり、反対側は共役直径です。

WKクリフォードの『力学の要素』（1878年）では共役双曲線が特定されている。 ^[2]

1894年、アレクサンダー・マクファーレンは「楕円および双曲解析の原理」という研究の中で共役直角双曲線の図を使用しました。^[3]

1895年、WHベサントは円錐曲線に関する著書の中で共役双曲線について言及しました。^[4] ジョージ・サルモンは、この円錐曲線に関する論文（1900年）の中で、共役双曲線を点線で示しました。^[5]

1908年にヘルマン・ミンコフスキーは共役双曲線を使用して、ミンコフスキー空間内の平面を示す時空図で継続時間と距離の単位を区別しました。^[6]

相対性原理は「共役双曲線の共役直径の任意のペアは、空間と時間の軸として取ることができる」と述べることができる。^[7]

1957年にバリー・スペインは共役な直角双曲線を図示した。^[8]