ペルガのアポロニウス

円錐曲線論の現存する序文には、アポロニウスの自伝的な記述がいくつか見られる。これらは、アポロニウスが影響力のある友人たちに宛てた手紙で、同封した書物のレビューを依頼している。最初の2つの序文は、ペルガモンのエウデモスに宛てられたものである。

エウデモスはおそらくペルガモン博物館の研究センターの責任者であったか、あるいは後にその地位に就いたと思われる。ペルガモンは書籍と羊皮紙産業で知られる都市であり、羊皮紙という名称はそこから派生している。アテネのリュカイオンをモデルとしたギリシャの数学教育機関における研究は、図書館と博物館が付属する教育活動の一環であった。当時、そのような学校は国王の庇護下にある一校のみであった。書籍は希少で高価であり、収集は王室の義務であった。

アポロニオスは『円錐曲線論』第1巻の序文で、最初の4巻は基礎理論の展開を扱い、最後の4巻は特殊なテーマを扱っているとエウデモスに伝えている。アポロニオスは、円錐曲線論はもともとナウクラテスという幾何学者によって依頼されたもので、ナウクラテスはアレクサンドリアに滞在していたが、歴史上は無名の存在だったとエウデモスに念を押している。アポロニオスはナウクラテスに全8巻の初稿を提供したが、それらは「徹底的な推敲を経ない」ものであり、完成次第、各巻を検証・修正して出版するつもりだったと述べている。

ペルガモンを訪れたアポロニウス本人からこの計画を聞いたエウデモスは、出版前に各巻を自分に送るようアポロニウスに強く求めた。この頃、アポロニウスはまだ若い幾何学者だったと思われる。パップスによれば、彼は（ユークリッドの時代からずっと後になってから）アレクサンドリアでユークリッドの弟子たちと過ごしており、おそらくそれが彼の教育の最終段階だったのだろう。エウデモスは、ペルガモン時代のアポロニウスの師であった可能性がある。

最初の序文と2番目の序文の間には空白期間がある。アポロニウスは、同じくアポロニウスという名の息子を遣わして2番目の序文を届けさせた。彼はより自信を持って語り、エウデモスにこの本を特別な研究グループで使用するよう勧めている。アポロニウスは、エフェソスでエウデモスに紹介した幾何学者ラオディキアのフィロニデスと会ったことに言及している。フィロニデスは紀元前2世紀前半に主にシリアに住んでいた。この出会いがアポロニウスが当時エフェソスに住んでいたことを示しているかどうかは不明である。地中海の知的コミュニティは国際的であり、この「数学の黄金時代」の学者たちは国際的に職を求め、互いを訪ね、互いの著作を読み、助言を与え、学生を推薦し、何らかの郵便サービスを通じて連絡を取り合っていた。現存する手紙は豊富にある。

第3巻の序文は欠落しており、その間にエウデモスが亡くなったとアポロニウスは第4巻の序文で述べている。第4巻から第7巻までの序文はより形式的で、個人的な情報は省略された単なる要約である。これら4つの序文はすべて謎の人物アッタロスに宛てられており、アポロニウスは「私の著作を所有したいというあなたの切なる願いのために」この人物を選んだと述べている。おそらくアッタロスはアポロニウスの写本を送るに値する重要な人物だったのだろう。一つの説は、アッタロスはペルガモンの将軍で守護者であったアッタロス2世フィラデルフォス（紀元前220年～138年）であり、彼の兄エウメネス2世が王であった。アッタロスは紀元前160年に兄が病気になった後共同統治者となり、紀元前158年に王位に就いた。兄弟はともに芸術の庇護者であり、図書館を国際的な規模にまで拡大した。アッタロスはフィロニデスと同時代の人物であり、アポロニウスの動機はアッタロスの書籍収集活動と一致している。

序文第7章で、アポロニウスは第8巻を「付録…できるだけ早くお送りします」と述べている。しかし、実際に送付された記録はなく、アポロニウスは完成前に亡くなった可能性もある。だが、アレクサンドリアのパップスが付録の見出し語を提供していることから、何らかの形で流通していたことは間違いないだろう。

『円錐曲線論』のギリシャ語テキストは、定義、図形、およびその構成要素の配置において、ユークリッド幾何学的な配列を採用している。すなわち、「与えられた条件」に続いて「証明すべき命題」が提示される。第1巻から第7巻には387の命題が提示されている。このような配列は、伝統的な主題を扱う現代の幾何学教科書に見られる。あらゆる数学の講義と同様に、内容は非常に濃密であり、その考察には必然的に時間がかかる。アポロニウスは各巻の構成を定めており、その一部は序文に記されている。見出し、つまり構成への手がかりはやや不足しており、アポロニウスは主題の論理的な流れに重きを置いていた。

第1巻

第1巻では58の命題が提示されている。その中でも最も重要な内容は、円錐と円錐曲線に関する基本的な定義である。これらの定義は、現代の同語の定義と完全に一致するわけではない。語源的には、現代の語は古代語に由来するが、語源はしばしばその派生語とは意味が異なる。

円錐面は、線分を二等分点を中心に回転させることで生成され、その両端の点がそれぞれ自身の平面上に円を描きます。円錐は、二重円錐面の1つの枝であり、点（頂点）、円（底面） 、および頂点と底面の中心を結ぶ線である軸を持つ面です。

断面（ラテン語sectio、ギリシャ語tome ）とは、円錐を平面で「切断」する想像上の方法である。

• 命題 I.3: 「円錐を頂点を通る平面で切断すると、断面は三角形になる。」 二重円錐の場合、断面は頂点の角が対頂角となるような 2 つの三角形になります。
• 命題 I.4 は、円錐の底面に平行な断面は、軸上に中心を持つ円であると主張している。^{[ b ]}
• 命題I.13は楕円を定義する。楕円は、底面の平面に傾斜した平面によって単一の円錐が切断され、その平面と円錐の外側に延長された底面の直径に垂直な線で交わるものとして考えられる（図示せず）。傾斜面の角度は0より大きくなければならない。そうでなければ、断面は円になってしまう。また、傾斜面の角度は、対応する軸三角形の底角より小さくなければならない。そうでない場合、図形は放物線になる。
• 命題I.11は放物線を定義する。その平面は、軸三角形の円錐面の一辺に平行である。
• 命題 I.12 は双曲線を定義する。その平面は軸に平行である。双曲線は一対の円錐の両方を切断し、2つの異なる枝を得る（ここでは1つのみを示す）。

「面積の適用」は暗黙のうちに、面積と線分が与えられたとき、この面積が線分上の面積の二乗に等しいか、つまり適用できるかを問うている。もし等しいならば、適用可能性（放物線）が確立されたことになる。アポロニウスはユークリッドに倣い、断面上の任意の点の横座標上の長方形が縦座標の二乗に等しいかどうかを問うた。^{[ 7 ]}もし等しいならば、彼の言葉による方程式は、$y^2=kx$これは放物線の方程式の現代的な形式の1つです。長方形には辺があります。${\displaystyle k}$そして${\displaystyle x}$彼こそが、その図形である放物線を「応用」と名付けた人物である。

「適用不可」のケースはさらに2つの可能性に分けられます。関数が与えられた場合、${\textstyle f(x)}$適用事例においては、${\textstyle y^{2}=g(x)}$適用されない場合、${\textstyle y^{2}>g(x)}$または${\textstyle y^{2}<g(x)}$前者では、${\displaystyle g(x)}$に及ばない${\textstyle y^{2}}$省略記号「不足」と呼ばれる量によって。後者では、${\displaystyle g(x)}$過剰表現、つまり「過剰」と呼ばれる量だけオーバーシュートする。

適用性は、赤字を追加することによって達成できる。${\textstyle y^{2}=f(x)=g(x)+d,}$または余剰分を差し引くと、${\displaystyle g(x)-s.}$不足分を補う図形は楕円、余剰分を補う図形は双曲線と呼ばれた。^{[ c ]}現代の方程式の項は原点からの図形の平行移動と回転に依存するが、楕円の一般方程式は、

${\displaystyle Ax^{2}+By^{2}=C}$

フォームに配置できます

${\displaystyle y^{2}=\left|{\frac {A}{B}}x^{2}\right|+{\frac {C}{B}}}$

どこ${\displaystyle C/B}$は赤字であり、双曲線の式は、

${\displaystyle Ax^{2}-By^{2}=C}$

になる

${\displaystyle y^{2}=\left|{\frac {A}{B}}x^{2}\right|-{\frac {C}{B}}}$

どこ${\displaystyle C/B}$過剰分です。^{[ d ]}

比率を切り取ることは、単純な問題を解決しようとする試みである。2 つの直線とそれぞれの直線上の 1 つの点が与えられたとき、与えられた 3 番目の点を通る直線を 2 つの固定された直線と交わる点の間の部分の比率が所定の比率になるように描く。^{[ 8 ]}

『比率の切り捨て』は、オックスフォード大学ボドリアン図書館に所蔵されている未発表のアラビア語写本に残されている。この写本はもともとエドワード・バーナードによって発見され、部分的に翻訳されたものの、彼の死によって中断された。その後、教授、天文学者、数学者、探検家であり、後にハレー彗星の名となったエドモンド・ハレーに渡された。ハレーは破損したテキストを解読できず、この写本を放棄した。その後、数学者のデイヴィッド・グレゴリーがヘンリー・アルドリッチのためにアラビア語を復元し、アルドリッチはそれを再びハレーに渡した。このアラビア語写本の著者は不明である。ハレーは、825年にバグダッドのカリフであり天文学者であったアル・マアムーン（ラテン語ではアルマモン）の「庇護」の下で書かれたという記述に基づき、自身の著書『読者への序文』の中で、この写本の年代を820年としている。

パップスは円錐曲線と比率の切断の他に 、アポロニウスの他の論文についても言及している。

• 領域の切断(古代ギリシャ語: Χωρίου ἀποτομή、ラテン語: De Spatii Sectione )
• 確定セクション(古代ギリシャ語: Διωρισμένη τομή、ラテン語: De Sectione Determinata )
• 接線（古代ギリシア語：Ἐπαφαί、ラテン語：De Tactionibus）^{[ 13 ]}
• ノイシス(古代ギリシャ語: Νεύσεις、ラテン語: De Inclinationibus )
• 平面軌跡(古代ギリシャ語: Τόποι ἐπίπεδοι、ラテン語: De Locis Planis )

これらはそれぞれ2冊に分かれており、パップスによれば、ユークリッドの『データ』、『ポリスム』、『曲面軌跡』、アポロニウスの『円錐曲線』とともに、古代解析学の体系に含まれていた。^{[ 8 ]}以下に、上記の6つの著作の説明を記す。

古代の著述家たちは、アポロニウスの他の著作についても言及しているが、それらは現在では現存していない。

• Περὶ τοῦ πυρίου、「On the Burning-Glass」、おそらく放物線の焦点特性を調査した論文
• Περὶ τοῦ κοχλίου、円筒螺旋について(Proclus が言及)
• 同じ球に内接する正十二面体と正二十面体の比較
• Ἡ καθόλου πραγματεία、おそらくアポロニウスの批判とユークリッド要素の改良のための提案を含む、数学の一般原理に関する著作
• Ὠκυτόκιον（「迅速な出産」）において、エウトキオスによれば、アポロニウスはアルキメデスが計算したπの値の上限値3 + 1/7 、下限値3 + 10/71よりもさらに近い値を求める方法を示した。
• パップスが言及した算術書で、アルキメデスの『砂計算』よりも日常的な言葉で大きな数を表現する方法と、これらの大きな数を掛け合わせる方法の両方について述べている。
• ユークリッド『幾何学』第10巻で詳述された無理数の理論を、二項式から多項式へ、順序付き無理数から順序なし無理数へと大きく拡張したものである（パップスの『ユークリッド』第10巻に関する注釈からの抜粋を参照。アラビア語で保存され、 1856年にヴォエプケによって出版された）。^{[ 8 ]}

惑星の運動に関する2つの記述、すなわち偏心軌道を用いる記述と周転円と従軌道を用いる記述の等価性は、アポロニウスに帰せられる。プトレマイオスは『アルマゲスト』の中でこの等価性を記述している。

ヒースは、黄金時代の方法全体を幾何代数と呼ぶことにしている。 ^{[ h ]}この用語は、1890年以前にヘンリー・バーチャード・ファインによって定義され、解析幾何学の最初の本格的な著作であるルネ・デカルトの『幾何学』に適用された。^{[ 16 ]}「基本演算が形式的に同じである2つの代数は形式的に同一である」という前提条件を確立した上で、ファインはデカルトの著作は「単なる数値代数ではなく、より良い名前がないため線分代数と呼ぶことができるものである。その記号体系は数値代数の記号体系と同じである。…」と述べている。  

例えば、アポロニウスでは、線分AB（点Aと点Bを結ぶ線分）は、その線分の数値的な長さでもあります。長さは任意です。したがって、ABは、 x （未知数）のような代数変数と同じになり、xには任意の値を割り当てることができます。例えば、x =3などです。

アポロニウスでは、変数は「ABを断面上の任意の点から直径までの距離とする」といった言葉による記述で定義されており、この慣習は今日の代数学にも引き継がれている。基礎代数学を学ぶ学生は皆、「文章問題」を代数変数と方程式に変換し、代数の法則を適用してxを求める方法を学ばなければならない。アポロニウスにはそのような法則はなかった。彼の解法は幾何学的である。

図解では容易に解決できない関係性は彼の理解の範疇を超えていたが、彼が用いた図解は、今日では一般には知られていない（あるいは必要とされていない）複雑な幾何学的解法の宝庫から生まれたものであった。よく知られた例外の一つは、欠かせないピタゴラスの定理であり、現在でも直角三角形の辺に正方形を描き、^a² + b² ⁼ c²^のような式を表すことで表現されている。ギリシャの幾何学者はこれらの用語を「AB 上の正方形」などと呼んだ。同様に、AB と CD で囲まれた長方形の面積は「AB と CD 上の長方形」と呼ばれた。

これらの概念によって、ギリシャの幾何学者は線形関数と二次関数（円錐曲線は後者である）を代数的に扱うことができるようになった。これらはそれぞれ1乗または2乗を含む。アポロニウスは、円錐は立体であるにもかかわらず、立方体（立体幾何学で扱われる）にはあまり関心を持たなかった。彼の関心は平面図形である円錐曲線にあった。4乗以上のものは視覚化の範疇を超えており、幾何学では不可能な抽象化が必要であったが、代数学では容易に可能であった。

インチなどの公的な単位で、定規などの標準的な公的な器具を使用して長さを測定する通常のことは、デカルト座標系、つまり、1平方インチなどの単位正方形に分割された表面と、1立方インチなどの単位立方体に分割された空間が公に認識されていることを意味します。古代ギリシャの測定単位は、青銅器時代からギリシャの数学者にそのようなグリッドを提供していました。アポロニウス以前に、メナエクムスとアルキメデスはすでに、低い測定を示す左側の垂直線と低い測定を示す下側の水平線から測定されると考えられる距離を参照することによって、共通グリッドの暗黙の窓上に図形を配置し始めていました。方向は直線、つまり互いに垂直です。^{[ 17 ]}これらの窓の端は、デカルト座標系では軸になります。任意の点から軸までの直線距離を座標として指定します。古代ギリシャ人はそのような慣習を持っていませんでした。彼らは単に距離を参照しました。

アポロニウスは、図形を配置する標準的な枠を持っています。垂直方向の測定は、彼が「直径」と呼ぶ水平線から行われます。この単語はギリシャ語でも英語でも同じですが、ギリシャ語の方が意味がやや広くなっています。^{[ 18 ]} 円錐曲線の図形が平行線のグリッドで切断されている場合、直径は図形の枝の間にあるすべての線分を二等分します。それは頂点（koruphe、「冠」）を通らなければなりません。したがって、直径は放物線のような開いた図形と円のような閉じた図形の両方を含みます。直径が平行線に垂直でなければならないという規定はありませんが、アポロニウスは直線のみを使用しています。

断面上の点から直径までの直線距離は、ギリシャ語でテタグメノス（tetagmenos）と呼ばれ、語源的には単に「延長された」という意味です。これは常に「下」（kata-）または「上」（ana-）にしか延長されないため、翻訳者はこれを縦座標と解釈します。この場合、直径がx軸となり、頂点が原点となります。y軸は、頂点における曲線の接線となります。そして、横座標は、縦座標と頂点の間の直径の線分として定義されます。

アポロニウスは独自の座標系を用いて、円錐曲線の方程式の幾何学的等価物を図式的に展開することに成功しており、彼の座標系がデカルト座標系とみなせるかどうかという疑問が生じる。両者にはいくつかの違いがある。デカルト座標系は普遍的なものとみなされ、計算を行う前に適用されるすべての空間のすべての図形を網羅​​する。2つの交差する軸によって4つの象限に分割されている。3つの象限には負の座標が含まれており、これは基準軸であるゼロとは反対の方向を意味する。

アポロニウスは負の数を持たず、ゼロを表す数を明示的に持っておらず、円錐曲線とは独立して座標系を開発していません。彼は基本的に第1象限、つまりすべての正の座標のみで作業しています。そのため、現代の数学史家であるカール・ボイヤーは次のように述べています。^{[ 19 ]}

しかし、ギリシャの幾何代数学では負の値は扱われず、さらに、座標系は常に与えられた曲線に事後的に重ね合わせてその性質を研究していた。古代最大の幾何学者であるアポロニウスは、解析幾何学を発展させることができなかった。

しかしながら、ボイヤーによれば、アポロニウスの曲線の扱いは、ある意味では現代の扱いと似ており、彼の研究は解析幾何学を予見しているように見える。^{[ 19 ]}アポロニウスは、従来の測定のグリッドシステムと、解析幾何学の完全に発達したデカルト座標システム の間の、ある種の中間的な位置を占めている。アポロニウスを読む際には、彼の用語に現代的な意味を当てはめないように注意しなければならない。

アポロニウスは、ユークリッドの『原論』第5巻と第6巻に表現されている「比例の理論」を使用している。クニドスのエウドクソスによって考案されたこの理論は、純粋に図式的な方法と現代の数論の中間に位置する。標準的な十進数体系は存在せず、分数の標準的な扱いもない。しかし、命題は算術における分数の操作規則を言葉で表現している。ヒースは、これらが乗算と除算の代わりとなるものだと提唱している。^{[ 20 ]}

エウドクソスは「大きさ」という言葉で、数値を超えて一般的な大きさの感覚を表そうとしたが、その意味は今もなお残っている。ユークリッドの図形に関しては、それは多くの場合数値を意味し、これはピタゴラスの考え方であった。ピタゴラスは、宇宙は量によって特徴づけられると信じており、この考えは現在の科学的ドグマとなっている。ユークリッドの第5巻は、大きさ（メゲトス、「大きさ」）は単位（メロス、「部分」）に均等に分割できなければならないと主張することから始まる。したがって、大きさは単位の倍数である。単位はメートルやフィートのような標準的な測定単位である必要はない。1単位は任意の指定された線分であってもよい。

科学において考案された最も有用な基本定義は、おそらく次の通りです。比（ギリシャ語のlogos、おおよそ「説明」を意味する）は相対的な大きさを表すものです。例えば、線分ABとCDという2つの大きさが与えられたとき、CDを単位とした場合のABとCDの比は、ABに含まれるCDの数です。例えば、4分の3、または100万分の60（ppmは依然として「部分」という用語を使用しています）。比は現代の分数の基礎であり、分数も依然として「部分」または「断片」を意味し、fractureと同じラテン語の語源を持っています。比は、「比例」（ギリシャ語のanalogos）と呼ばれる論理構造における数学的予測の基礎です。比例は、2つの線分ABとCDが他の2つの線分EFとGHと同じ比を持つ場合、ABとCDはEFとGHに比例する、またはユークリッドで言えば、ABとCDはEFとGHに比例する、と述べています。

代数では、この一般的な概念は AB/CD = EF/GH という式に簡略化されます。3 つの項が与えられれば、4 つ目の項を未知数として計算できます。上記の式を整理すると、AB = (CD/GH)•EF となり、y = kx と表される CD/GH は「比例定数」として知られています。ギリシャ人は、おそらく連続加算によって、倍数を取ることにほとんど困難を感じませんでした (ギリシャ語 pollaplasiein)。

アポロニウスは、正方形や長方形で表される線分と面積の比率をほぼ専ら用いている。翻訳者たちは、ライプニッツが1684年の『学識者紀要』で導入したコロン表記法を採用した。^{[ 21 ]}以下は、 『円錐曲線論』第1巻、命題11からの例である。

ギリシャ語の直訳：BCの（正方形）とBACの（長方形）の関係が、FHとFAの関係に等しくなるようにする。

 タリアフェロの翻訳：「正方形BC ：長方形BA.AC  :: FH  : FAとなるように工夫しよう」

代数的に等価：BC ² /BA•BC = FH/FA

4世紀には、アンティノポリスのセレノスが円錐曲線に関する注釈書を著したが、それは失われてしまった。また、円錐曲線の一部に関する2つの短い著作、『円柱の断面について』と『円錐の断面について』も現存している。

6世紀、アスカロンのエウトキオスは『円錐曲線論』第1巻から第4巻までの注釈書を著し、それが現存している。

9世紀に、バヌー・ムーサーは円錐曲線のアラビア語訳を依頼した。^{[ 4 ]}

アポロニウスの『円錐曲線論』第1巻から第4巻は、1566年に初めてラテン語で印刷されました。1626年、ヤコブス・ゴリウスは、第5巻から第6巻のアラビア語訳の現存する写本を発見し、最終的にボドリアン図書館に寄贈されました（元々はMS Marsh 607、日付は1070）。^{[ 22 ]} 1706年に出版されたデイヴィッド・グレゴリーの修正アラビア語テキスト『比率の切断』の翻訳の成功に励まされ、ハレーはパップスの要約から第8巻を再構築したものを含め、アポロニウスの『円錐曲線論』全体を復元し、ラテン語に翻訳しました。ハレーの作品では、第1巻から第4巻はギリシャ語が1列に、ハレーのラテン語が並行する列に掲載されていますが、第5巻から第7巻はラテン語訳のみが掲載されています。ハレーの再構築はラテン語で印刷されています。

16世紀から18世紀にかけて、円錐曲線に関する文献は英語で書かれたものがほとんどなかった。これは、エドモンド・ハレーやアイザック・ニュートンといったイギリスの数学者が新ラテン語を好んだためである。その後、座標を用いた幾何学（解析幾何学）が確立され、総合的な手法が廃れたため、円錐曲線が数学研究に直接与える影響は薄れていった。

完全に英語で書かれたプレゼンテーションは、19世紀後半に始まった。

• トーマス・ヒースによる1896年の翻訳『円錐曲線論』。彼の序文解説には、ギリシャ語、意味、用法を示すアポロニウス幾何学用語の語彙集などが含まれている。ヒースはまた、本文の構成を変更し、現代的な記号を追加した。^{[ 23 ]}
• 1941年、アイヴァー・トーマスは、ローブ古典叢書のために編纂した古代ギリシア数学全2巻のうちの1つとして、円錐曲線論第1巻の断面を定義する部分を翻訳した。
• R・ケイツビー・タリアフェロは、1952年にブリタニカ百科事典の「西洋世界の偉大な書」シリーズの一環として『円錐曲線論』を翻訳した。収録されているのは第1巻から第3巻のみで、特別なトピックに関する付録が付いている（第4巻の翻訳はマイケル・N・フリードによって2002年に出版された）。ヒースとは異なり、タリアフェロはアポロニウスの著作を表面的な再編成や書き換えさえ試みなかった。彼の現代英語訳はギリシア語にかなり忠実である。彼はある程度、現代の幾何学的記号を使用している。

• ペルガエウス、アポロニウス (1566)。Conicorum libri quattuor: unacum Pappi Alexandrini lemmatibus, et commentariis Eutocii Ascalonitae. Sereni Antinensis philosophi libri due... quaeomnia nuper Federicus Commandinus Vrbinas mendis quampluris expurgata e Graeco conuertit, & commentariis illustrauit (古代ギリシャ語とラテン語)。ボノニエ: 元職権者アレクサンドリ・ベナティ。フリーデリクス・コマンディヌスによるギリシャ語の円錐曲線論の最初の4巻と、彼自身によるラテン語訳、そしてアレクサンドリアのパップス、アスカロンのエウトキオス、アンティノウプリスのセレノスの注釈を紹介する。
• アポロニウス。バロー、I (1675)。Apollonii conica: Methodo nova illustrata、および succinctè Demonstrata (ラテン語)。ロンディーニ：エクスクデバット・ギル。ゴッドビッド、リトルブリテンのロバータム・スコット夫人。バロウによる古代ギリシア語から新ラテン語への『円錐曲線論』第1巻から第4巻の翻訳。ここにリンクされている写本はボストン公共図書館に所蔵されており、かつてはジョン・アダムズが所有していたものである。
• アポロニウス。パプス;ハレー、E. (1706)。Apollonii Pergaei de Sectione rationis libri due: 元アラビコ ms。ラテン語バージョン。 Accedunt ejusdem de Sectione spatii libri due restituti (ラテン語)。オクソニー。
• アポロニウス。アレクサンドリヌス・パプス;ハレー, エドモンド;ユートシウス;セレヌス(1710)。Apollonii Pergaei Conicorum libri octo, et Sereni Antissensis De Sectione cylindri & coni libri due (PDF) (ラテン語と古代ギリシャ語)。オクソニアエ：シェルドニアーノ劇場。
• ヒース、トーマス・リトル編（1896）。円錐曲線に関する論文、現代表記法で編集。ケンブリッジ大学出版局。
• フリード、マイケル・N.編（2013）。ペルガのアポロニウス『円錐曲線論』第1巻～第4巻。タリアフェロ、R. ケイツビー、フリード、マイケル・N.訳。ニューメキシコ州サンタフェ：グリーンライオンプレス。ISBN 978-1-888009-41-52025年5月1日に取得。
• トゥーマー、ジェラルド・J.編 (1990).アポロニウス円錐曲線：第 V 巻から第 VII 巻. 数学および物理科学史資料集. 第 9 巻. ニューヨーク: スプリンガー. doi : 10.1007/978-1-4613-8985-9 . ISBN 978-1-4613-8987-32025年5月1日に取得。

• トーマス、アイヴァー（1953）。ギリシャ数学史を解説する選集。ローブ古典叢書。第 2巻 アリスタルコスからパップスまで。マサチューセッツ州ケンブリッジ：ハーバード大学出版局。