多重線形多項式

代数学において、多重線型多項式^[1]は、各変数が個別には線型（つまりアフィン）であるが、同時には必ずしも線型ではない多 変数多項式です。これは、 のべき乗以上の変数が出現しない多項式です。つまり、各単項式は定数と異なる変数の積です。たとえば、 は次数の多重線型多項式です（単項式 のため）が、 はそうではありません。多重線型多項式の次数は、任意の単項式に出現する異なる変数の最大数です。 ${\displaystyle 2}$${\displaystyle f(x,y,z)=3xy+2.5y-7z}$ ${\displaystyle 2}$${\displaystyle 3xy}$${\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+4y}$

多重線型多項式は、ベクトル[1 x]、[1 y]などに適用される多重線型写像（具体的には多重線型形式）として理解できます。一般形式はテンソル収縮として表すことができます。$${\displaystyle f(x)=\sum _{i_{1}=0}^{1}\sum _{i_{2}=0}^{1}\cdots \sum _{i_{n}=0}^{1}a_{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}}$$

たとえば、2 つの変数の場合:$${\displaystyle f(x,y)=\sum _{i=0}^{1}\sum _{j=0}^{1}a_{ij}x^{i}y^{j}=a_{00}+a_{10}x+a_{01}y+a_{11}xy={\begin{pmatrix}1&x\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}\\a_{10}&a_{11}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\y\end{pmatrix}}}$$

多重線型多項式は、という1 つの変数のみを変化させる場合、線型 (アフィン) です。ここで、 と はに依存しません。 は一般にゼロではないため、 は「線のような形」という意味では線型ですが、多重線型マップの「正比例」という意味では線型ではないことに注意してください。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{k}}$$${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{k},...,x_{n})=ax_{k}+b}$$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle f}$

すべての繰り返される2番目の偏導関数はゼロです。言い換えると、そのヘッセ行列は対称中空行列です。 $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{k}^{2}}}=0}$$

特に、ラプラシアン は 調和関数なので、 は領域の境界上でのみ最大値と最小値を持つことを意味します。 ${\displaystyle \nabla ^{2}f=0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

より一般的には、の座標のサブセットへのすべての制限も多重線型であるため、1 つ以上の変数が固定されている場合でも有効です。言い換えると、は座標軸に沿ったドメインのすべての「スライス」で調和的です。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle \nabla ^{2}f=0}$${\displaystyle f}$

領域が座標軸に対して長方形の場合（例えば超立方体）、関数は領域の頂点、つまり座標値が最小および最大である有限の点の集合にのみ最大値と最小値を持ちます。これらの点における関数の値は関数を完全に決定します。境界の端の値は線形補間によって見つけることができ、境界の残りの部分と内部の値はラプラス方程式によって固定されるからです。^[1]${\displaystyle f}$${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle \nabla ^{2}f=0}$

任意の点における多項式の値は、各座標軸に沿って線形補間を繰り返すことで求めることができます。これは、重みがラグランジュ補間多項式である頂点値の加重平均と同等です。これらの重みは、超長方形の一般化された重心座標のセットも構成します。幾何学的には、点は領域をより小さな超長方形に分割し、各頂点の重みは、その反対側にある超長方形の（分数）体積です。 ${\displaystyle 2^{n}}$

代数的には、超長方形上の多重線型補間は次のようになります。ここで、合計は頂点にわたって取られます。同様に、ここで、Vは超長方形の体積です。 ${\displaystyle [a_{i},b_{i}]_{i=1}^{n}}$$${\displaystyle f(x)=\sum _{v}f(v)\prod _{i|v_{i}=b_{i}}{\frac {x_{i}-a_{i}}{b_{i}-a_{i}}}\prod _{i|v_{i}=a_{i}}{\frac {b_{i}-x_{i}}{b_{i}-a_{i}}}}$$${\displaystyle v}$$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{V}}\sum _{v}f(v)\prod _{i|v_{i}=b_{i}}(x_{i}-a_{i})\prod _{i|v_{i}=a_{i}}(b_{i}-x_{i})}$$

中心の値は頂点の値の算術平均であり、これはドメイン境界上の平均であり、内部の平均でもあります。中心の勾配の成分は、各座標軸に沿った頂点値のバランスに比例します。

頂点値と多項式の係数は線形変換によって関連付けられます（具体的には、領域が単位超立方体の場合はメビウス変換、領域が対称超立方体の場合はウォルシュ・アダマール・フーリエ変換）。 ${\displaystyle \{0,1\}^{n}}$${\displaystyle \{-1,1\}^{n}}$

多重線形多項式は、長方形グリッド上の多重線形またはn 線形補間の補間式であり、線形補間、双線形補間、および三線形補間を任意の数の変数に一般化したものです。これは多変量補間の特定の形式であり、区分線形補間と混同しないでください。結果として得られる多項式は、座標の線形関数ではありません(次数は 1 を超える場合があります) が、近似データ値の線形関数です。

行列の行列式、永久行列式、およびその他の内在式は、行列の要素における同次多重線型多項式です(行または列における多重線型形式も同様です) 。

変数の多重線型多項式は次元ベクトル空間を形成し、これは（擬似）ブール関数のフーリエ解析で使用される基底でもあります。すべての（擬似）ブール関数は、（定義域と共定義域の選択に応じて）多重線型多項式として 一意に表現できます。${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{n}}$

多重線形多項式は多項式恒等式検定の研究において重要である。^[2]

• 2つまたは3つの変数を持つ多変量多項式を使用した双線形および三線形補間
• ゼガルキン多項式、多重線型多項式${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$
• 多重線型形式と多重線型写像、各変数において厳密に線形（アフィンではない）である多重線型関数
• 線形形式、多変量線形関数
• 調和多項式