相似性（幾何学）

ユークリッド幾何学において、2つの物体は、形状が同じであるか、または一方の形状が他方の鏡像と同じ形状である場合に相似である。より正確には、一方の物体を他方の物体から均一に拡大縮小することで得られる。場合によっては、平行移動、回転、および鏡映も必要となる。つまり、どちらの物体も、拡大縮小、位置変更、および鏡映によって、他方の物体と完全に一致するように調整できるということである。2つの物体が相似である場合、それぞれは他方の物体を特定の均一拡大縮小した結果と合同である。

例えば、円はすべて互いに相似であり、正方形はすべて互いに相似であり、正三角形はすべて互いに相似です。一方、楕円はすべて互いに相似ではなく、長方形もすべて相似ではなく、二等辺三角形もすべて相似ではありません。これは、2つの楕円は幅と高さの比率が異なり、2つの長方形は長さと幅の比率が異なり、2つの二等辺三角形は底角が異なる可能性があるためです。

ある三角形の2つの角の大きさが、別の三角形の2つの角の大きさと等しい場合、それらの三角形は相似である。相似な多角形の対応する辺は比例し、対応する角の大きさは等しい。

2つの合同な図形は相似であり、縮尺率は1です。しかし、一部の教科書では、三角形が相似であるためには大きさが異なっていなければならないと主張し、合同な三角形を相似な三角形の定義から明確に除外しています。

2 つの三角形△ ABCと△ A'B'C' は、対応する角の大きさが同じである場合に限り相似です。これは、対応する辺の長さが比例する場合に限り相似であることを意味します。^{[ 1 ]}合同な角を持つ 2 つの三角形 (等角三角形) は相似であることが示せます。つまり、対応する辺が比例することが証明できます。これは AAA 相似定理として知られています。^{[ 2 ]}「AAA」は覚えやすい略語であることに注意してください。3 つの A はそれぞれ「角度」を表します。この定理により、いくつかの著者は相似な三角形の定義を簡略化し、対応する 3 つの角が合同であることのみを要求するようにしています。^{[ 3 ]}

2つの三角形が相似であるためには、それぞれ必要かつ十分な条件がいくつか存在する。

• 任意の 2 組の角は合同である^{[ 4 ]}ユークリッド幾何学では、これは 3 つの角すべてが合同であることを意味します: ^{[ a ]}

∠ BAC が∠ B'A'C'と等しく、∠ ABCが∠ A'B'C'と等しい場合、 ∠ ACBが∠ A'C'B'と等しく、三角形は相似である。

• 対応する辺はすべて比例している: ^{[ 5 ]}

$${\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\overline {A'B'}}}={\frac {\overline {BC}}{\overline {B'C'}}}={\frac {\overline {AC}}{\overline {A'C'}}}.}$$

これは、一方の三角形（またはその鏡像）がもう一方の三角形を拡大したものである、と言うことと同義である。

• 任意の 2 組の辺は比例し、これらの辺の間にある角は合同である: ^{[ 6 ]}

$${\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{\overline {A'B'}}}={\frac {\overline {BC}}{\overline {B'C'}}},\quad \angle ABC\cong \angle A'B'C'.}$$

これはSAS類似性基準として知られています。^{[ 7 ]}「SAS」は覚えやすい略語で、2つのSはそれぞれ「辺」を表し、Aは2つの辺の間の「角度」を表します。

記号的に、2 つの三角形△ ABCと△ A'B'C'の類似性と非類似性は次のように表されます。^{[ 8 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\triangle ABC&\sim \triangle A'B'C'\\\triangle ABC&\nsim \triangle A'B'C'\end{aligned}}}$$

ユークリッド幾何学における相似三角形に関するいくつかの基本的な結果がある: ^{[ 9 ]}

• 正三角形は、互いに相似である。
• 2つの三角形がどちらも第3の三角形と相似である場合、互いに相似である（三角形の相似性の推移性）。
• 相似な三角形の対応する高さの比は、対応する辺の比と同じである。
• 2 つの直角三角形は、斜辺と他の 1 つの辺の長さの比率が同じであれば相似です。 ^{[ 10 ]}この場合、直角三角形の鋭角の大きさが同じである、または脚 (辺) の長さの比率が同じであるなど、いくつかの同等の条件があります。

三角形△ ABCと線分DEが与えられたとき、定規とコンパスを使って、 △ ABC ~ △ DEFとなる点Fを見つけることができます。この条件を満たす点Fが存在するという記述はウォリスの公準^{[ 11 ]}であり、論理的にはユークリッドの平行線公準^{[ 12 ]}と同等です。双曲幾何学(ウォリスの公準が偽となる)では、相似な三角形は合同です。

ジョージ・デイヴィッド・バーコフによるユークリッド幾何学の公理的扱い（バーコフの公理を参照）では、上記のSAS相似条件がユークリッドの平行線公準とSAS公理の両方を置き換えるために使用され、ヒルベルトの公理を大幅に短縮することが可能になった。^{[ 7 ]}

相似三角形は、ユークリッド幾何学における多くの総合的（座標を用いない）証明の基礎となる。このようにして証明できる基本的な結果には、角の二等分線定理、幾何平均定理、チェバの定理、メネラウスの定理、ピタゴラスの定理などがある。相似三角形は、直角三角形の三角法の基礎も提供する。^{[ 13 ]}

相似の概念は、3辺以上の多角形にも適用されます。相似な2つの多角形が与えられた場合、同じ順序で対応する辺を取ると（一方の多角形が時計回り、もう一方の多角形が反時計回りであっても）、その辺の比は等しくなり、同じ順序で対応する角の大きさは等しくなります。しかし、対応する辺の比だけでは、三角形以外の多角形の相似を証明するには不十分です（そうでなければ、例えば、すべてのひし形が相似になってしまいます）。同様に、すべての角の大きさが等しいだけでは、相似を保証するには不十分です（そうでなければ、すべての長方形が相似になってしまいます）。多角形の相似の十分条件は、対応する辺と対角線が比例することです。

与えられたnに対して、すべての正n角形は相似である。

いくつかの種類の曲線には、その種類のすべての例が互いに類似しているという性質があります。これらには以下が含まれます。

• 直線（任意の2つの直線は合同である）
• 線分
• 円
• 放物線^{[ 14 ]}
• 特定の離心率の双曲線^{[ 15 ]}
• 特定の離心率の楕円^{[ 15 ]}
• カテナリー
• 異なる底における対数関数のグラフ
• 異なる底に対する指数関数のグラフ
• 対数螺旋は自己相似である

ユークリッド空間の相似（相似変換または相似とも呼ばれる）とは、空間から空間自身への全単射fであり、すべての距離を同じ正の実数rで乗算するもので、任意の 2 点xとyに対して次のようになる。

${\displaystyle d(f(x),f(y))=r\,d(x,y),}$

ここで、d ( x , y )はxからyまでのユークリッド距離です。^{[ 16 ]}スカラーrは文献で類似度比、伸縮係数、類似度係数など多くの名前で呼ばれています。r = 1の場合、類似性は等長変換（剛体変換）と呼ばれます。2つの集合は、一方が類似性による他方の像である場合に類似していると呼ばれます。

地図として${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},}$比rの相似性は次の形をとる。

${\displaystyle f(x)=rAx+t,}$

どこで${\displaystyle A\in O^{n}(\mathbb {R} )}$はn × n の直交行列であり、$t ∈ ℝⁿ$は翻訳ベクトルです。

相似は平面、直線、垂直性、平行性、中点、距離と線分間の不等式を保持する。^{[ 17 ]}相似は角度を保持するが、必ずしも向きを保持するとは限らない。直接相似は向きを保持し、反対相似は向きを変える。^{[ 18 ]}

ユークリッド空間の相似は、合成演算の下で相似群Sと呼ばれる群を形成します。^{[ 19 ]}直接相似はSの正規部分群を形成し、等長変換のユークリッド群E ( n )も正規部分群を形成します。^{[ 20 ]}相似群Sはそれ自体がアフィン群の部分群であるため、すべての相似はアフィン変換です。

ユークリッド平面は複素平面^{[ b ]}、すなわち実数上の2次元空間と見なすことができる。2次元相似変換は複素数演算を用いて表現でき、次式で表される。

• ${\displaystyle f(z)=az+b}$（直接的な類似点）そして
• ${\displaystyle f(z)=a{\overline {z}}+b}$（反対の類似点）

ここで、aとbは複素数であり、a ≠0である。| a | =1の場合、これらの相似は等長変換である。

相似な図形の面積比は、それらの図形の対応する辺の長さの比の二乗に等しくなります（たとえば、正方形の一辺または円の半径を3倍すると、面積は9倍、つまり3の2乗になります）。相似な三角形の高さは、対応する辺と同じ比になります。三角形の辺の長さがbで、その辺に引かれた高さがhである場合、対応する辺の長さがkbの相似な三角形の、その辺に引かれた高さはkhになります。最初の三角形の面積は${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}bh,}$相似三角形の面積は $${\displaystyle A'={\frac {1}{2}}\cdot kb\cdot kh=k^{2}A.}$$ 相似な三角形に分解できる図形は、面積の関係も同じように表されます。この関係は、直角三角形に分解できない図形にも当てはまります。

相似な図形の体積比は、それらの図形の対応する長さの比の3乗に等しい（例えば、立方体の辺の長さや球の半径を3倍すると、体積は27倍、つまり3の3乗になる）。

ガリレオの平方立方法則は相似な立体に関するものです。立体間の相似比（対応する辺の比）がkである場合、立体の表面積の比はk ²となり、体積の比はk ³となります。

複数の類似点が連続して自身と合成された例において、それぞれの類似点の中心が、縮小する正多角形の中心に位置する。

中心Sの直接相似の例は、135°の回転と面積を半分にする相似変換に分解されます。

それぞれに中心点を持つ直接的な類似点の例。

類似性に不変点（類似性が変化しない点）がちょうど1つだけ存在する場合、その唯一の点を類似性の「中心」と呼びます。

タイトルの下の最初の画像では、左側で、何らかの相似によって正多角形が同心円状の多角形に縮小され、その頂点はそれぞれ前の多角形の辺上にあり​​ます。この回転縮小が繰り返されるため、最初の多角形は正多角形の深淵へと拡張されます。相似の中心は、連続する多角形の共通の中心です。赤い線分が最初の多角形の頂点を相似によるその像に結び、続いて赤い線分が次の頂点の像へと伸び、これを繰り返して螺旋を形成します。実際には、この最初の画像では 3 つ以上の直接相似を見ることができます。なぜなら、すべての正多角形は特定の直接相似、より正確には、その中心が多角形の中心である特定の回転の下で不変であり、直接相似の合成もまた直接相似だからです。たとえば、負の比率−kの相似による最初の正五角形の像を見ることができます。これは、±180° の角度と正の比率がkに等しい相似です。

右側のタイトルの下にある2番目の画像は、相似を回転と相似に分解したものです。相似と回転は、360度を法とする+135度の同じ角度を持ちます。相似と相似は同じ比率を持ちます。${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {2}}{2}},}$ 比率の乗法逆数$\displaystyle {\sqrt {2}}}$逆相似の2 の平方根。点S は、回転、相似変換、相似変換の 3 つの変換の共通中心です。例えば、点Wは回転によるFの像であり、点Tは相似変換による Wの像です$${\displaystyle T=H(W)=(R(F))=(H\circ R)(F)=D(F),}$$R、H、D をそれぞれ回転、相似、類似と 名付け、「 D」は「直接」を意味します。

三角形△ EFAを三角形△ ATBに変換するこの直接的な相似性は、いくつかの方法で同じ中心Sの回転と相似変換に分解できます。たとえば、D = R ○ H = H ○ Rとなりますが、最後の分解は画像にのみ表されています。Dを得るには、−45 °の回転と比率の相似変換を任意の順序で組み合わせることもできます。${\displaystyle {\tfrac {-{\sqrt {2}}}{2}}.}$⁠

「M」は「鏡」、そして「I」は「間接」を表す。Mが直線CWに関する反射である場合、M ○ D = Iは間接相似であり、線分BFをDのように線分CTに変換するが、点EをBに、点AをA自身に変換する 。正方形ACBTは 、比の 相似IによるABEFの像である。${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}.}$点Aはこの相似の中心であり、点K は点 Aの下で不変である${\displaystyle AK={\tfrac {AK}{\sqrt {2}}},}$AK = 0の場合のみ可能で、それ以外の場合はA = Kと表記されます。

正方形 ABEFから直接相似の中心Sを構築する方法、光線を変換する +135° の回転の中心点Sを見つける方法${\displaystyle {\overset {}{\overrightarrow {SE}}}}$光線の中へ${\displaystyle {\overset {}{\overrightarrow {SA}}}}$これは内接角の問題と向きの問題ですを満たす点Pの集合は${\displaystyle {\overset {}{{\overrightarrow {PE}},{\overrightarrow {PA}}=+135^{\circ }}}}$点EAは、点Eと 点 Aを結ぶ 円弧であり、 Eと Aに通じる 2 つの半径は 、2(180° − 135°) = 2 × 45° = 90°の中心角を形成します。この点の集合は、正方形ABEF内の中心Fの青い 4 分の 1 円です。同様に、点Sは、正方形BCAT内の中心Tの青い 4 分の 1 円の要素です。したがって、点Sは、これら 2 つの 4 分の1 円の交点です。

全単射写像${\displaystyle f:M\to N}$距離空間間の類似性は、${\displaystyle d(f(x),f(y))=c\cdot d(x,y)}$すべての人々のために${\displaystyle x,y\in M}$どこ${\displaystyle c>0}$[ ^{21 ]​}

類似性の弱いバージョンでは、例えば、fが双リプシッツ関数であり、スカラーr が極限となる。

$${\displaystyle \lim {\frac {d(f(x),f(y))}{d(x,y)}}=r.}$$

このより弱いバージョンは、距離尺度が位相的に自己相似な集合に対する有効な抵抗である場合に適用されます。

距離空間( X , d )の自己相似部分集合は、縮小係数0 ≤ r _s < 1を持つ相似集合{ f _s } _{s ∈} Sが存在し、 KがXの唯一のコンパクト部分集合であるような集合 Kである_。

$$\displaystyle \bigcup _{s\in S}f_{s}(K)=K.}$$

これらの自己相似集合は、次の式で与えられる次元Dを持つ自己相似測度μ ^{Dを持つ。}

$$\displaystyle \sum _{s\in S}(r_{s})^{D}=1}$$

_{これは多くの場合（常にではないが）}、集合のハウスドルフ次元およびパッキング次元と等しくなります。f ( K )間の重なりが「小さい」場合、尺度については次の単純な式が得られます。

$${\displaystyle \mu ^{D}(f_{s_{1}}\circ f_{s_{2}}\circ \cdots \circ f_{s_{n}}(K))=(r_{s_{1}}\cdot r_{s_{2}}\cdots r_{s_{n}})^{D}.\,}$$

位相幾何学において、距離の代わりに類似度を定義することで、距離空間を構築することができる。類似度は、2点が近いほど値が大きくなるような関数である（距離は非類似度の尺度であり、点が近いほど距離は小さくなる）。

類似性の定義は、求められる特性によって著者によって異なる場合がある。基本的な共通特性は以下のとおりである。

1. ポジティブの定義：

$${\displaystyle \forall (a,b),S(a,b)\geq 0}$$

1. 要素同士の類似性（自己相似性）を主軸とする。

$${\displaystyle S(a,b)\leq S(a,a)\quad {\text{and}}\quad \forall (a,b),S(a,b)=S(a,a)\Leftrightarrow a=b}$$

他にも以下のようなプロパティを呼び出すことができます。

• 反射率：${\displaystyle \forall (a,b)\ S(a,b)=S(b,a),}$または
• 有限性：${\displaystyle \forall (a,b)\ S(a,b)<\infty .}$

上限値はしばしば1に設定される（これにより、類似性の確率的解釈が可能になる）。

ここで用いる位相幾何学的な意味では、類似性は一種の尺度であることに注意してください。この用法は、本稿の「ユークリッド空間において」および「一般の距離空間において」の項で説明する類似性変換とは異なります。  

幾何学的類似性の概念に対する直観は、人間の子供にもすでに現れており、彼らの絵からも見て取れる。^{[ 22 ]}心理学における特定の知覚的分類モデルは幾何学的類似性に基づいており、学習には特定の事例（つまり、一般的な対象仕様）を記憶に保存することが含まれると仮定している。別の対象物の分類は、その後、その対象物と記憶内の事例との類似性に基づいて行われる。^{[ 23 ]}

• 基本的な比例定理
• ヘルマート変換
• 螺旋の類似性

• ヘンダーソン、デイビッド・W.、タイミナ、ダイナ（2005）。『歴史とともに学ぶ幾何学／ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学』（第3 版）。ピアソン・プレンティス・ホール。ISBN 978-0-13-143748-7。
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• スマート、ジェームズ・R. (1998).現代幾何学（第5 版）. ブルックス/コール. ISBN 0-534-35188-3。
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• ヴェネマ、ジェラール A. (2006).幾何学の基礎. ピアソン・プレンティス・ホール. ISBN 978-0-13-143700-5。
• イェール、ポール・B. (1968).幾何学と対称性. ホールデン・デイ.

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• 相似三角形のアニメーションによるデモンストレーション
• 相似の基本定理- 動的幾何学の図解