均一多面体のリスト

幾何学 において、一様多面体とは、正多角形を面とし、頂点推移性（頂点に関して推移的であり、等角性、すなわち任意の頂点を他の任意の頂点に写像する等長変換が存在する）を持つ多面体のことである。したがって、すべての頂点は合同であり、多面体は高いレベルの鏡映対称性と回転対称性を持つ。

一様な多面体は、凸正多角形の面を持つ凸型と星型に分類できる。星型は、正星形の面、頂点図形、またはその両方を持つ。

このリストには以下のものが含まれます。

• 75個の非角柱状の均一多面体すべて。
• 無限に存在する角柱と反角柱の集合から、いくつかの代表的な例を挙げる。
• 1つの退化した多面体、重なり合う辺を持つスキリング図形。

ソポフ（1970）は、無限に存在する角柱と反角柱の族を除けば、均一な多面体は75種類しかないことを証明した。ジョン・スキリングは、2つの面だけが辺で交わるという条件を緩和することで、見落とされていた退化した例を発見した。これは、辺のペアが一致するため、均一な多面体ではなく、退化した均一な多面体である。

含まれていないもの：

• 均一な多面体化合物。
• 重なり合う辺を持つ退化した頂点図形を持つ潜在的な均一多面体 40個（コクセターでは数えられていない）。
• 均一なタイル張り（無限多面体）
  • 11 ユークリッド凸均一タイリング;
  • 28 ユークリッド非凸または非等角の均一タイリング。
  • 双曲平面における均一なタイル張りの無限の数。
• 任意の多角形または4次元多面体

一様な多面体には、文字で区別される4つの番号付け方式が一般的に用いられている。

• [ C ] Coxeter ら (1954) は、凸型を図 15 ～ 32、3 つの角柱型を図 33 ～ 35、非凸型を図 36 ～ 92 に示した。
• [ W ] Wenninger、1974 には 119 の図があります。1〜5 はプラトン立体、6〜18 はアルキメデス立体、19〜66 は 4 つの正非凸多面体を含む星型形状、そして 67〜119 は非凸一様多面体です。
• [ K ] Kaleido、1993年：80の図形は対称性によってグループ分けされた。1～5は二面体対称性を持つ無限の角柱形の代表、6～9は四面体対称性、10～26は八面体対称性、27～80は二十面体対称性を持つ。
• [ U ] Mathematica、1993 では、5 つのプリズム形式を最後に移動した Kaleido 系列に従っており、非プリズム形式は 1～75 になります。

最も一般的な多面体には、一般的な幾何学的名称があります。5つのプラトン立体は、それぞれ4、6、8、12、20面の正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体と呼ばれます。正六面体は立方体です。

凸形状は、頂点構成の次数（3面/頂点以上）と、面あたりの辺の数の増加順に並べられています。この順序付けにより、位相的な類似性を示すことができます。

正多角形ごとに1つずつ、無限に多くの角柱と反角柱が存在する。ここでは12角形までの場合を列挙する。

• 均一インデックス：U01～U80（正四面体から始まり、76番以降は角柱）
• Kaleidoソフトウェアのインデックス：K01～K80（K _n  =  U _{n –5 、} n  =  6  ～ 80の場合 ）（プリズム1～5、正四面体など6以上）
• マグヌス ウェニンガー多面体モデル: W001-W119
  • 1～18：凸正則5個、凸半正則13個
  • 20–22、41：4つの非凸正則
  • 19～66：特別な48の星座／複合星座（このリストには記載されていない非正規星座）
  • 67–109: 43 非凸非スナブ一様
  • 110–119: 10 非凸型スナブ一様
• カイ：オイラー標数、χ。平面上の均一なタイル張りは、オイラー標数がゼロのトーラストポロジーに対応します。
• 密度：密度（多面体）は、多面体の中心を周回する回数を表します。向き付け不可能な多面体や半多面体（中心を通る面を持つ多面体）の場合、密度が明確に定義されないため、この項目は空白になります。
• 頂点図の画像に関する注記：
  • 白い多角形の線は「頂点図形」の多角形を表しています。頂点図形の画像には、それらの関係性を把握しやすいように色付きの面が含まれています。交差する面の中には、どの部分が前面にあるかを視覚的に正しく示していないため、正しく描画されていないものがあります。

• 頂点図形による均一多面体のリスト
• ウィトフ記号による均一多面体のリスト
• シュワルツの三角形による一様多面体のリスト

• Coxeter, Harold Scott MacDonald ; Longuet-Higgins, MS; Miller, JCP (1954). "Uniform polyhedra". Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences . 246 (916). The Royal Society: 401– 450. Bibcode : 1954RSPTA.246..401C . doi : 10.1098/rsta.1954.0003 . ISSN 0080-4614 . JSTOR 91532 . MR 0062446 . S2CID 202575183 .    
• Skilling, J. (1975). 「均一多面体の完全な集合」。Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences . 278 (1278): 111– 135. Bibcode : 1975RSPTA.278..111S . doi : 10.1098/rsta.1975.0022 . ISSN 0080-4614 . JSTOR 74475 . MR 0365333 . S2CID 122634260 .    
• Sopov, SP (1970). 「基本同次多面体のリストの完全性の証明」Ukrainskiui Geometricheskiui Sbornik (8): 139– 156. MR 0326550 . 
• ウェニンガー、マグナス（1974）。多面体モデル。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-09859-9。
• ウェニンガー、マグナス（1983）。『デュアルモデル』ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-54325-8。

• Stella: Polyhedron Navigator – あらゆる均一多面体の展開図を生成・印刷できるソフトウェア。このページに掲載されている画像の大半は、このソフトウェアを使用して作成されています。
• 紙製模型
• 均一インデックス：U1～U80（四面体優先）
  • 一様多面体（80）、ポール・バーク
  • ワイススタイン、エリック W. 「一様多面体」 . MathWorld .
  • http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly
    • 回転群によるすべての均一多面体
  • https://web.archive.org/web/20171110075259/http://gratrix.net/polyhedra/uniform/summary/
  • http://www.it-c.dk/edu/documentation/mathworks/math/math/u/u034.htm
  • http://www.buddenbooks.com/jb/uniform/
• カレイドインデックス：K1～K80（五角柱から順に）
  • https://www.math.technion.ac.il/~rl/kaleido
    • https://web.archive.org/web/20110927223146/http://www.math.technion.ac.il/~rl/docs/uniform.pdf一様多面体の一様解
  • http://bulatov.org/polyhedra/uniform
  • http://www.orchidpalms.com/polyhedra/uniform/uniform.html
• また
  • http://www.polyedergarten.de/polyhedrix/e_klintro.htm