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一様多面体の間には多くの関係性があります。ウィトホフ構成法は、鋭角および鈍角のシュワルツ三角形からほぼすべての一様多面体を構成することができます。二面体でない鋭角または鈍角のシュワルツ三角形の辺に使用できる数値で、必ずしも退化した一様多面体だけにつながるわけではないものは、2、3、3/2、4、4/3、5、5/2、5/3、および5/4です（ただし、分子が4の数値と分子が5の数値は同時に出現しない場合があります）。 (4/2 も使用できますが、4 と 2 は共通因数を持つため、退化した均一多面体しか生成されません。) このようなシュワルツ三角形は 44 個あり (正四面体対称で 5 個、正八面体対称で 7 個、正二十面体対称で 32 個)、これらと無限の二面体シュワルツ三角形の族を合わせると、ほとんどすべての非退化均一多面体を形成できます。頂点、辺、または面が完全に一致する多くの退化した均一多面体も、ウィトホフ構成によって生成できます。4/2 を使用しないシュワルツ三角形から生じるものも、非退化の対応物とともに以下の表に示されています。反射シュワルツ三角形は、単に複製または退化を作成するだけなので含まれていませんが、3 つのねじれ多面体への適用のため、表の外でいくつか言及されています。
ウィトホフの非一様多面体の中には、シュワルツ三角形では生成できないものがいくつか存在します。しかし、それらのほとんどは、ウィトホフ構成を用いて二重被覆（非ウィトホフ多面体が1回ではなく2回被覆される）として、または各辺に2面以下しか残らないように破棄しなければならない追加の一致面をいくつか用いて生成できます（全切頂多面体#その他の偶数面非凸多面体を参照）。このような多面体は、このリストではアスタリスクでマークされています。ウィトホフ構成で生成できない唯一の一様多面体は、大菱形十二面体と大ディスナブ菱形十二面体です。
球面上にシュワルツ三角形を敷き詰める場合、球面を一度だけ覆う場合もあれば、球面を整数回巻き付け、その過程で交差する場合もある。敷き詰めが球面を巻き付ける回数を敷き詰めの密度といい、μで表される。
スペースを節約するため、多面体の正式名称の代わりに、ジョナサン・バウワーズによる多面体の略称（バウワーズ頭字語として知られる）が使用されています。[ 1 ]メーダー指数も示されています。二面体シュワルツ三角形を除き、シュワルツ三角形は密度順に並べられています。
ユークリッドタイルの類似例も列挙されており、双曲タイルの類似例については簡潔かつ不完全な形で議論されている。
角度がπ/p、π/q、π/rである4つの球面三角形が存在する。ここで(pqr)は整数である。（Coxeter、「一様多面体」、1954年）
これらはメビウスの三角形と呼ばれています。
さらに、シュワルツ三角形は有理数である(pqr)を考慮します。これらはそれぞれ、上記の4つのセットのいずれかに分類できます。半対称に還元される正八面体対称三角形はイタリック体で示されています（そして、それらの密度は、当該半対称における同じ三角形の密度と必ずしも等しいとは限りません）。（これは、nとdが共通因数を持つ場合、角柱三角形(2 2 n / d )でも発生します。）
多面体は通常、生成元のシュワルツ三角形と同じ密度を持つが、常にそうとは限らない。まず、モデルの中心を通る面を持つ多面体（半多面体、大菱形十二面体、大二面菱形十二面体を含む）は、明確な密度を持たない。次に、偶数面を持つ非向き付け可能な均一多面体も、明確な密度を持たない。さらに、球面多面体を平面多面体に変換する際に均一性を回復するために必要な歪みによって、面が多面体の中心を通って反対側に押し出され、密度が変化することがある。これは、次のような場合に起こる。
p、q、rの各セット（およびいくつかの特殊な形式）には、7つの生成点があります。
4つの特別なケースがあります。
このウィトホフ記号から頂点配置への変換表は、上記に挙げた例外的な 5 つの多面体では機能しません。これらの多面体の密度は、生成元のシュワルツ三角形テセレーションの密度と一致しません。これらの場合、平面との均一性を得るために頂点図形が大きく歪められます。最初の 2 つのケースでは鋭角三角形ではなく鈍角三角形になり、最後の 3 つのケースでは五角形または六角形ではなく五芒星または六芒星になり、中心を 2 回巻きます。この結果、頂点図形の歪みがない位相的に等価な形状と比較すると、いくつかの面が多面体を貫通して反対側に逆向きに出てきます。[ 2 ]
以下の表において、赤色の背景は退化多面体を示し、緑色の背景は凸一様多面体を示します。
二面体シュワルツ三角形では、2つの数字は2であり、3つ目の数字は1より大きい任意の有理数である。
二面体対称性を持つ多面体の多くは、二角形の面を持つため、退化した多面体になります (例:二面体とホソヘドラ)。退化した一様多面体のみを与える表の列は含まれていません。特別な退化ケース ((2 2 2) シュワルツ三角形のみ) には大きな十字が付けられています。底面 { p }でp < 3/2 の一様交差反角柱は、頂点の図形が三角不等式に違反するため存在できません。これらにも大きな十字が付けられています。3/2 交差反角柱 (trirp) は、ユークリッド空間で平面であるため退化しており、大きな十字が付けられています。シュワルツ三角形 (2 2 n / d ) は、gcd( n , d ) = 1の場合にのみここに記載されています。それ以外の場合は、退化した一様多面体のみになります。
以下のリストは、n ≤ 6 となるすべての可能なケースを示しています。
正四面体シュワルツ三角形では、分子の最大値は3です。
正八面体シュワルツ三角形では、分子の最大許容値は4です。4/2を数として使用する正八面体シュワルツ三角形も存在しますが、4と2は共通因数を持つため、これらは退化した均一多面体につながるだけです。
正二十面体シュワルツ三角形では、分子の最大値は5です。また、正二十面体シュワルツ三角形では、分子4は一切使用できませんが、分子2と3は使用できます。（もし4と5がシュワルツ三角形で同時に出現できるとしたら、メビウス三角形でも同時に出現するはずですが、(2 4 5)は双曲三角形であって球面三角形ではないため、これは不可能です。）
これらの多面体は、ウィトホフ構成法によって余分な面を持つように生成される。
四半六面体(thah、U4) は、{3/2}-クーポラ(逆行三角形クーポラ、ratricu)を {6/2} だけ縮小したバージョンでもあります。そのため、交差三角形クーポラとも呼ばれます。
上記の多くのケースは、退化した全切頂多面体pqr |から派生しています。これらのケースでは、同じ p と q から 2 つの異なる退化したケース pqr |と pqs |を生成できます。結果として得られる面は、それぞれ {2p}、{2q}、および一致する {2r} または {2s} です。一致する面を破棄すると、両方とも同じ非退化一様多面体が得られます。これは、コクセターが pq r s |と表記したものです。これらのケースを以下に示します。
小菱形六面体と大菱形六面体では、4/2 は既約分数ではないにもかかわらず使用されています。2 4 2 |と 2 4/3 2 |はそれぞれ単一の八角柱または八芒星柱を表しますが、2 4 4/2 |と 2 4/3 4/2 |は、いくつかの正方形の面（正確には {8/2} を生成するために二重になった面）を共有する 3 つのそのような柱を表します。これらの {8/2} は、2 回ではなく 4 回の回転対称性を持って現れるため、2 の代わりに 4/2 を使用することが正当化されます。[ 2 ]（実際には、小菱形六面体と大菱形六面体は、それぞれ3 つの八角柱と 3 つの八芒星柱の排他的または排他的または排他的または排他的または排他的）
これら2つの均一多面体は、ウィソフ構成法では全く生成できません。これらは、一般的に「非ウィソフ型」と呼ばれる均一多面体の集合です。ウィソフ型均一多面体の基本領域が三角形であるのに対し、これら2つの多面体の基本領域は正方晶系です。
スキリングの図形は、稜線（3D の場合は辺）が完全に一致する特殊な均一多面体であるため、メーダーのリストにはインデックスが付けられていません。これは、上記のリストに含まれる退化多面体の一部、例えば小さな複雑な二十十二面体にも当てはまります。辺が一致するというこの解釈により、これらの図形は辺ごとに 2 つの面を持つことができます。辺を 2 倍にしないと、辺で 4、6、8、10、または 12 面が交わることになり、これらは通常均一多面体として除外されます。スキリングの図形は、いくつかの辺で 4 つの面が交わっています。
これら2つの特殊な多面体は、大きなねじれ十二二十十二面体、| 3 5/3 5/2 (U64) から派生する可能性があります。これはキラルねじれ多面体ですが、その五芒星は同一平面上のペアで現れます。この多面体の1つのコピーをその鏡像と組み合わせると、五芒星が一致し、取り除くことができます。この多面体の頂点図形の辺には正方形の3辺が含まれており、4番目の辺はその鏡像によって提供されるため、結果として得られる多面体は実際には20個の八面体の複合体であることがわかります。これらの八面体のそれぞれには、 | 3 5/3 5/2の完全対称三角形から生じる平行な面のペアが1つ含まれており、残りの3つは元の| 3 5/3 5/2 のねじれ三角形から来ています。さらに、各正八面体は、同じ辺と頂点を持つ正四半六面体に置き換えることができます。正八面体の完全対称三角形、大ねじれ十二二十十二面体の元の一致する五芒星、および正四半六面体の赤道正方形を一緒に取ると、大菱形二十十二面体（ミラーの怪物）が得られます。 [ 2 ] 正八面体の完全対称三角形の代わりにねじれ三角形を取ると（他の種類の面はそのままにして）、大ねじれ菱形二十十二面体（スキリングの図）が得られます。[ 4 ]
上記で特別な名称で挙げられているその他の退化した均一多面体は以下のとおりです。
平面を一度だけ敷き詰めることができる平面三角形は、(3 3 3)、(4 2 4)、(3 2 6) のみです。これらはそれぞれ、正三角形、45-45-90 直角二等辺三角形、30-60-90 直角三角形です。したがって、平面を複数回敷き詰めることができる平面三角形は、これらのいずれかを複数コピーして構成されている必要があります。唯一考えられるのは、平面を 2 回敷き詰めることができる 30-30-120 鈍角二等辺三角形 (3/2 6 6) = (6 2 3) + (2 6 3) です。各三角形は反対の向きで 2 回カウントされ、120° の頂点に分岐点があります。[ 5 ]
2つのアペイロゴンから構成されるタイリング{∞,2}は、その面が複数の辺で接するため、受け入れられません。ここで、∞'は∞の逆向きの対応物を表します。
退化した名前付き形式は次のとおりです。
タイリング 6 6/5 | ∞ は、ウィトホフの構成法によって二重被覆として生成される。
また、pq r s |:という混合記号を含むタイル張りもいくつかあります。
ウィソフ流ではないタイリングもいくつか存在する。
平面の一様タイリングの集合は、一様多面体の集合とは異なり、完全であることが証明されていません。上記のタイリングは、コクセター、ロンゲ＝ヒギンズ、ミラーが 1954 年の一様多面体に関する論文で発見したすべてのタイリングを表しています。彼らはリストが完全であると推測しました。これは、1970 年にソポフによって一様多面体については証明されましたが、一様タイリングについては誤りであることが判明しました。ブランコ・グリュンバウム、JCP ミラー、GC シェパードは、『中空タイルによる一様タイリング』 （1981 年）で、ウィソフ型ではない一様タイリングをさらに 15 個リストアップしています。（2 つのケースでは、同じ頂点図形が 2 つの異なるタイリングをもたらします。）[ 6 ]
頂点図形 4.8.4/3.8.4/3.∞ と 4.8/3.4.8/3.4/3.∞ にはそれぞれ 2 つのタイリングがあります。これらは同じ頂点と辺のセットを使用しますが、正方形のセットが異なります。また、これら 2 つの頂点図形には、擬似的に均一な(すべての頂点が同じように見えますが、2 つの対称軌道にあります) 3 番目のタイリングも存在します。したがって、ユークリッド タイリングの場合、頂点の配置はタイリングを一意に決定しません。[ 6 ] 下の図では、水平方向と垂直方向の辺を持つ正方形が中央の点でマークされています。1 つの正方形の辺が強調表示されています。[ 6 ]
グリュンバウム、ミラー、シェパードは、面としてジグザグ（歪んだアペイロゴン）を使用した33種類の均一なタイル張りも挙げており、そのうち10種類は自由パラメータ（ジグザグの角度）を持つ族である。8種類ではこのパラメータは連続的であり、2種類では離散的である。[ 6 ]
グリュンバウム、ミラー、シェパードが提示した拡張リストが完全なものかどうかは不明である。
双曲平面を敷き詰める三角形の集合は無限である。さらに、双曲空間では基本領域は単体である必要はない。したがって、双曲平面の一様敷き詰めの完全なリストを示すことはできない。
凸タイルに限定した場合でも、同じ頂点構成を持つ複数のタイリングを見つけることができます。たとえば、スナブ次数6の正方形タイリング#関連する多面体とタイリングを参照してください。[ 7 ]
以下に、いくつかの小さな凸型の場合（理想的な面や頂点を含まない場合）を示します。
リチャード・クリッツィング：多面体
これらの表は、クリッツィング氏が自身のウェブサイトで公開しているものに基づいています。
ベンジャミン・クライン：