幾何化予想

数学において、サーストンの幾何化予想（現在は定理）は、特定の 3 次元位相空間のそれぞれには、それに関連付けられる固有の幾何構造があることを述べています。これは、単連結なリーマン面には 3 つの幾何学（ユークリッド、球面、双曲面） のいずれかを与えることができるという2 次元面の均一化定理に類似しています。

3 次元では、位相空間全体に単一のジオメトリを割り当てることが常に可能であるとは限りません。その代わりに、幾何学化予想は、すべての閉じた3 次元多様体は、それぞれが 8 種類の幾何学的構造のいずれかを持つ部分に標準的な方法で分解できると述べています。この予想は、ウィリアム サーストン(1982)によって提案され、ポアンカレ予想やサーストンの楕円化予想 など、他のいくつかの予想を暗示しています。

サーストンの 双曲化定理は、ハーケン多様体が幾何化予想を満たすことを示唆している。サーストンは 1980 年代に証明を発表し、それ以来、いくつかの完全な証明が印刷されている。

グリゴリー・ペレルマンは、 2003年に、 arxiv.orgのプレプリントサーバーに投稿された2つの論文で、リッチフローと手術を用いて完全な幾何化予想の証明を発表しました。ペレルマンの論文はいくつかの独立したグループによって研究され、彼の議論の詳細をすべて埋めた書籍やオンライン原稿が出版されました。検証は基本的に完了し、ペレルマンは2006年にその研究でフィールズ賞を受賞しました。また、2010年にはクレイ数学研究所からポアンカレ予想の解決に対して100万ドルの賞金を授与されましたが、ペレルマンは両方の賞を辞退しました。

ポアンカレ予想と球面空間形式予想は幾何化予想の系であるが、前者には幾何化予想につながらないより短い証明もある。

3次元多様体は、コンパクトで境界がない場合には閉じていると呼ばれます。

すべての閉じた 3 次元多様体には素分解があります。つまり、素 3 次元多様体の連結和です (この分解は、非有向多様体の場合の小さな問題を除いて本質的に一意です )。これにより、3 次元多様体の研究の多くは、非自明な連結和として記述できない素 3 次元多様体の場合に限定されます。

サーストンの推測を述べます。

すべての有向素数閉3 次元多様体はトーラスに沿って切断することができ、その結果得られる多様体のそれぞれの内部は有限の体積を持つ幾何学的構造を持ちます。

3 次元には 8 つの幾何学的構造があり、次のセクションで説明します。既約な有向 3 次元多様体をトーラスに沿ってザイフェルト多様体またはアトロイダルに分割する唯一の最小限の方法があり、 JSJ 分解 と呼ばれます。これは、幾何化予想の分解とはまったく同じではありません。JSJ 分解の一部の部分は有限体積の幾何学的構造を持たない可能性があるためです。(たとえば、トーラスのアノソフ写像のマッピング トーラスには有限体積のソルブ構造がありますが、その JSJ 分解では、1 つのトーラスに沿って切り開かれ、トーラスと単位間隔の積が生成され、この内部には有限体積の幾何学的構造がありません。)

非有向多様体の場合、幾何学化予想を述べる最も簡単な方法は、まず有向二重被覆を取ることです。非有向多様体を直接扱うことも可能ですが、これにはいくつかの追加の複雑さが伴います。球面やトーラスだけでなく、射影平面やクラインの壺に沿って切断する必要がある場合があり、射影平面境界要素を持つ多様体は通常、幾何学的構造を持ちません。

2次元では、すべての閉じた曲面は一定の曲率を持つ計量からなる幾何学的構造を持ちます。つまり、多様体を最初に分割する必要はないのです。具体的には、すべての閉じた曲面はS ²、E ²、またはH ²の商に微分同相です。^[1]

モデル幾何学は、単連結な滑らかな多様体Xと、コンパクト安定子を持つX上のリー群Gの推移的作用を組み合わせたものです。

モデル幾何学は、コンパクト安定子を持つXに対して滑らかかつ推移的に作用する群の中でGが最大である場合に最大と呼ばれます。この条件は、モデル幾何学の定義に含まれることがあります。

多様体 M上の幾何学的構造は、何らかのモデル幾何学Xに対するMからX /Γへの 微分同相写像であり、ここで Γ はXに自由に作用するGの離散部分群である。これは、完全な( G , X )-構造 の特別な場合である。与えられた多様体が幾何学的構造を許容する場合、その多様体はモデルが最大である幾何学的構造を許容する。

3 次元モデル幾何学X は、それが最大であり、 X上にモデル化された幾何学的構造を持つコンパクト多様体が少なくとも 1 つ存在する場合、幾何化予想に関連します。サーストンは、これらの条件を満たす 8 つのモデル幾何学を分類しました。これらは以下にリストされており、サーストン幾何学と呼ばれることもあります。(コンパクト商を持たないモデル幾何学も無数に存在します。)

ビアンキ群、つまり 3 次元リー群 との関連があります。ほとんどのサーストン幾何学は、ビアンキ群上の左不変計量として実現できます。ただし、 S ² × R は実現できません。ユークリッド空間は 2 つの異なるビアンキ群に対応し、解ける 非ユニモジュラビアンキ群は無数に存在し、そのほとんどはコンパクトな代表を持たないモデル幾何学を与えます。

点安定群は O(3, R ) であり、群Gは2 つの成分を持つ6 次元リー群 O(4, R ) です。対応する多様体は、有限基本群を持つ閉じた 3 次元多様体とまったく同じです。例としては、3 次元球面、ポアンカレホモロジー球、レンズ空間などがあります。この幾何学は、タイプ IX のビアンキ群上の左不変計量としてモデル化できます。この幾何学を持つ多様体はすべてコンパクトで、向き付け可能であり、ザイフェルトファイバー空間の構造を持ちます (多くの場合、複数の方法で)。このような多様体の完全なリストは、球状 3 次元多様体に関する記事に記載されています。リッチフローでは、この幾何学を持つ多様体は有限時間内に点に収縮します。

点安定群は O(3, R ) であり、群G は2 つの成分を持つ6 次元リー群R ³ × O(3, R ) である。例としては3 次元トーラス、より一般的には2 次元トーラスの 有限次数自己同型の写像トーラスがある。トーラスバンドルを参照。この幾何学を持つ有限閉 3 次元多様体はちょうど 10 個あり、そのうち 6 個は向き付け可能で 4 個は向き付け不可能である。この幾何学は、タイプ I または VII ₀のビアンキ群上の左不変計量としてモデル化できる。この幾何学を持つ有限体積多様体はすべてコンパクトで、ザイフェルト ファイバー空間の構造を持つ(場合によっては双方向で)。そのような多様体の完全なリストは、ザイフェルト ファイバー空間の記事に示されている。リッチ フローの下では、ユークリッド幾何学を持つ多様体は不変のままである。

点安定群は O(3, R ) であり、群Gは 2 つの成分を持つ6 次元リー群 O ⁺ (1, 3, R ) です。これらの例は膨大にあり、その分類は完全には理解されていません。体積が最も小さい例はWeeks 多様体です。他の例としては、Seifert–Weber 空間、リンク上の「十分に複雑な」Dehn 手術、またはほとんどのHaken 多様体があります。幾何化予想は、閉じた 3 次元多様体が双曲的であるための必要十分条件は、それが既約、アトロイド状、および無限基本群を持つ場合であることを意味します。この幾何学は、タイプ V または VII _h≠0のビアンキ群上の左不変計量としてモデル化できます。Ricci フローの下では、双曲幾何学を持つ多様体は拡大します。

点安定子は O(2, R ) × Z /2 Zであり、群G は4 つの成分を持つO(3, R ) × R × Z /2 Zである。この幾何学的形状を持つ 4 つの有限体積多様体は、S ² × S ^{1 、} S ²の反対称写像の写像トーラス、3 次元射影空間の 2 つのコピーの接続和、およびS ¹と 2 次元射影空間の積である。最初の 2 つは、2 次元球面の恒等写像と反対称写像の写像トーラスであり、素数だが既約ではない 3 次元多様体の唯一の例である。3 番目は、幾何学的構造を持つ非自明な接続和の唯一の例である。これは、3 次元リー群上の左不変計量として実現できない唯一のモデル幾何学である。この幾何学的形状を持つ有限体積多様体はすべてコンパクトで、ザイフェルト ファイバー空間の構造を持つ(多くの場合、複数の方法で)。正規化されたリッチフロー多様体では、この形状は 1 次元多様体に収束します。

点安定子は O(2, R ) × Z /2 Zであり、群G は4 つの成分を持つO ⁺ (1, 2, R ) × R × Z /2 Zである。例としては、円と双曲面の積、またはより一般的には双曲面の等長写像のトーラスが挙げられる。この幾何学的形状を持つ有限体積多様体は、向き付け可能であれば、ザイフェルト ファイバー空間の構造を持つ。(向き付け可能でない場合、円による自然なファイバー化は必ずしもザイフェルト ファイバー化ではない。問題は、一部のファイバーが「向きが逆」になる可能性があることである。言い換えると、その近傍は、固体トーラスではなく、ファイバー化された固体クラインの壺のように見える。^{[2] ) このような(向き付けされた)多様体の分類は、}ザイフェルト ファイバー空間に関する記事に示されている。この幾何学的形状は、タイプ III のビアンキ群上の左不変計量としてモデル化できる。正規化されたリッチフロー多様体では、この形状は 2 次元多様体に収束します。

SL(2, R )の普遍被覆はと表記される。これはH ²上のファイバーであり、空間は「ねじれた H ² × R」と呼ばれることもある。群Gには 2 つの成分がある。その恒等成分は構造 を持つ。点安定子は O(2, R ) である。 ${\displaystyle {\widetilde {\rm {SL}}}(2,\mathbf {R} )}$${\displaystyle (\mathbf {R} \times {\widetilde {\rm {SL}}}_{2}(\mathbf {R} ))/\mathbf {Z} }$

これらの多様体の例としては、双曲面の接線束の単位ベクトルの多様体、より一般的にはブリースコーンホモロジー球面（3次元球面とポアンカレ十二面体空間を除く）などがある。この幾何学は、タイプ VIII または III のビアンキ群上の左不変計量としてモデル化できる。この幾何学を持つ有限体積多様体は向き付け可能であり、ザイフェルトファイバー空間の構造を持つ。このような多様体の分類については、ザイフェルトファイバー空間に関する記事で説明されている。正規化されたリッチフロー多様体では、この幾何学を持つ多様体は 2 次元多様体に収束する。

これはE ²上のファイバーなので、「ねじれたE ² × R」と呼ばれることもあります。これはハイゼンベルク群の幾何学です。点安定子は O(2, R ) です。群G は2 つの成分を持ち、3 次元ハイゼンベルク群と円の等長変換群 O(2, R ) との半直積です。この幾何学を持つコンパクト多様体には、2 次元トーラスのデーンねじれの写像トーラス、またはハイゼンベルク群を「積分ハイゼンベルク群」で割った商が含まれます。この幾何学は、タイプ II のビアンキ群上の左不変計量としてモデル化できます。この幾何学を持つ有限体積多様体はコンパクトで向き付け可能であり、ザイフェルト ファイバー空間の構造を持ちます。このような多様体の分類については、ザイフェルト ファイバー空間に関する記事で説明しています。正規化されたリッチフローでは、この形状を持つコンパクト多様体は、平坦な計量を持つ R ^{2に収束します。}

この幾何学 (ソルブ幾何学とも呼ばれる) は直線上に繊維があり、その直線上に繊維があり、群Gの恒等成分の幾何学である。点安定子は位数 8 の二面体群である。群 G は8 つの成分を持ち、2 次元ミンコフスキー空間からそれ自身への写像の群であり、等長写像であるか、計量を -1 倍したものである。恒等成分には商Rを持つ正規部分群R ²があり、ここでR はR ²に対して 2 つの (実) 固有空間 で作用し、積が 1 の異なる実固有値を持つ。これはVI ₀型のビアンキ群であり、幾何学はこの群上の左不変計量としてモデル化できる。ソルブ幾何学を持つ有限体積多様体はすべてコンパクトである。ソルブ幾何学を持つコンパクト多様体は、2-トーラスのアノソフ写像の写像トーラス（このような写像は、 のように固有値が実数で異なる可逆な 2 x 2 行列によって与えられる 2-トーラスの自己同型である）、またはこれらを最大 8 の位数を持つ群で割った商である。トーラスの自己同型の固有値は実二次体の位数を生成し、ソルブ多様体はこの位数の単位とイデアル類によって分類できる。^[3] 正規化されたリッチフローの下では、この幾何学を持つコンパクト多様体は（かなりゆっくりと）R ¹に収束する。 ${\displaystyle \left({\begin{array}{*{20}c}2&1\\1&1\\\end{array}}\right)}$

閉じた 3 次元多様体は、最大で上記の 8 種類のうちの 1 つの幾何学的構造を持ちますが、有限体積の非コンパクトな 3 次元多様体は、時折、複数の種類の幾何学的構造を持つことがあります。(ただし、多様体は同じ種類の異なる幾何学的構造を多数持つことができます。たとえば、種数が 2 以上の曲面は、異なる双曲計量の連続体を持ちます。) より正確には、M が有限体積の幾何学的構造を持つ多様体である場合、幾何学的構造の種類は、基本群 π ₁ ( M )に関して、次のようにほぼ決定されます。

• π ₁ ( M ) が有限であれば、 M上の幾何学的構造は球状になり、M はコンパクトになります。
• π ₁ ( M ) が事実上巡回的だが有限でない場合、 M上の幾何学的構造はS ² × Rであり、Mはコンパクトです。
• π ₁ ( M ) が実質的にアーベル的だが実質的に巡回的でない場合、 M上の幾何学的構造はユークリッド的であり、Mはコンパクトである。
• π ₁ ( M ) が実質的に冪零であるが実質的にアーベルでない場合、 M上の幾何学的構造は零幾何学であり、Mはコンパクトです。
• π ₁ ( M ) が事実上可解だが事実上冪零でない場合、M上の幾何学的構造はソルブ幾何学であり、Mはコンパクトです。
• π ₁ ( M ) が無限の正規巡回部分群を持つが、実質的に解けない場合は、M上の幾何学的構造はH ² × Rまたは SL(2, R )の普遍被覆のいずれかになります。多様体M はコンパクトでも非コンパクトでもかまいません。コンパクトである場合、2 つの幾何学は、 π ₁ ( M ) が正規巡回部分群と他の何かとの半直積として分割する有限インデックス部分群を持つかどうかによって区別できます。多様体が非コンパクトである場合、基本群は 2 つの幾何学を区別できず、多様体がどちらかのタイプの有限体積幾何学的構造を持つことができる例 (三つ葉結び目の補集合など) があります。
• π ₁ ( M ) に無限正規巡回部分群がなく、事実上解けない場合、M上の幾何学的構造は双曲型であり、M はコンパクトでも非コンパクトでもかまいません。

無限体積多様体は、さまざまなタイプの幾何学的構造を持つことができます。たとえば、R ^{3 は}、8 つのモデル幾何学のうち 6 つがそれに同相であるため、上記の 6 つの異なる幾何学的構造を持つことができます。さらに、体積が有限である必要がない場合は、コンパクト モデルを持たない新しい幾何学的構造が無数に存在します。たとえば、ほぼすべての非ユニモジュラー 3 次元リー群の幾何学です。

閉じた 3 次元多様体を幾何学的構造を持つ部分に分解する方法は複数あります。たとえば、次のようになります。

• S ³の複数のコピーで連結された和を取っても多様体は変化しません。
• 2 つの射影 3 次元空間の連結和はS ² × R幾何学を持ち、また 2 つの部分の連結和もS ³幾何学を持ちます。
• 負の曲率を持つ表面と円の積は幾何学的構造を持ちますが、トーラスに沿って切断して、やはり幾何学的構造を持つ小さな断片を生成することもできます。ザイフェルト ファイバー空間にも同様の例は多数あります。

たとえば、最初に多様体を最小限の方法で素数に分割し、次に可能な限り最小の数のトーラスを使用してこれらを分割するなど、幾何学的構造を持つ断片への「標準的な」分解を選択できます。ただし、この最小限の分解は、必ずしもリッチフローによって生成されるものではありません。実際、リッチフローは、初期メトリックの選択に応じて、多様体を多くの同等でない方法で幾何学的断片に分割できます。

サーストンは、ハーケン多様体の幾何化予想の証明により、1982年にフィールズ賞を受賞しました。

1982年、リチャード・S・ハミルトンは、正のリッチ曲率の計量を持つ閉じた3次元多様体がある場合、リッチフローは有限時間内に多様体をある点に崩壊させることを示し、崩壊直前に計量が「ほぼ円形」になるため、この場合の幾何化予想が証明されました。彼は後に、手術によるリッチフローによって幾何化予想を証明するプログラムを開発しました。その考え方は、リッチフローは一般に特異点を生成するが、手術を使用して多様体の位相を変更することで、特異点を超えてリッチフローを継続できる可能性があるというものです。大まかに言えば、リッチフローは正の曲率領域を縮小し、負の曲率領域を拡大するため、多様体の「正の曲率」ジオメトリS ³およびS ² × Rの部分を除去し、残った部分は、双曲ジオメトリの「厚い」部分と「薄い」グラフ多様体への厚い-薄い分解を持つはずです。

2003 年、グリゴリー・ペレルマンは、リッチフローが特異点を超えて継続できること、および上記のような動作を示すことを示して、幾何化予想の証明を発表しました。

ペレルマンの証明の要素の1つは、リーマン幾何学における新しい崩壊定理であった。ペレルマンはこの結果の証明について詳細を公表しなかった（プレプリント「3次元多様体上の手術を伴うリッチフロー」の定理7.4）。塩谷と山口に始まり、ペレルマンの崩壊定理、またはその変種の証明は、現在ではいくつか存在する。^{[4] [5] [6] [7]}塩谷と山口の定式化は、ペレルマンの研究の最初の完全に詳細な定式化に使用された。^[8]

ペレルマンの幾何学化の証明の最後の部分に至る2番目の方法は、ローラン・ベシエールと共著者らの方法である。 ^{[9] [10]}この方法は、ハーケン多様体に対してサーストンの双曲定理を、3次元多様体に対してグロモフのノルムを使用する。 ^{[11] [12]}同じ著者らによる、証明の完全な詳細を記載した本が、欧州数学会から出版されている。^[13]

4次元では、閉じた4次元多様体の限られたクラスのみが幾何学的分解を許容する。^[14]しかし、最大モデル幾何学のリストは依然として与えられる。^[15]

4次元最大モデル幾何学は、1983年にリチャード・フィリップキエヴィッチによって分類されました。その数は18で、さらに1つの可算無限族があります。^[15]それらの通常の名前は、 E ⁴、Nil ⁴、Nil ³ × E ¹、Solです。⁴
_{メートル、n}(可算無限族)、ソル⁴
₀、ソル⁴
₁、H ³ × E ¹、× E ¹、H ² × E ²、H ² × H ²、H ⁴、H ² ( C ) (複素双曲空間)、F ⁴ (双曲平面の接束)、 S ² × E ²、S ² × H ²、S ³ × E ¹、S ⁴、CP ² (複素射影平面)、およびS ² × S ²。^[14]閉じた多様体は幾何学F ^{4を許容しませんが、} F ⁴ピースを含む適切な分解を持つ多様体は存在します。^[14]${\displaystyle {\widetilde {\rm {SL}}}}$

5次元最大モデル幾何学は、2016年にアンドリュー・ゲンによって分類されました。53の個別の幾何学と6つの無限族があります。2つの無数幾何学族やコンパクト商のない幾何学など、低次元では観察されないいくつかの新しい現象が発生します。^[1]

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