相同性球

代数位相幾何学において、ホモロジー球面とは、ある整数に対して、n次元球面のホモロジー群を持つn次元多様体 X のことである。つまり、 ${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle H_{0}(X,\mathbb{Z})=H_{n}(X,\mathbb{Z})=\mathbb{Z} }$

そして

${\displaystyle H_{i}(X,\mathbb {Z} )=\{0\}}$その他すべてのiについて。

したがって、X は連結空間であり、1 つの非ゼロのより高いベッティ数、つまり を持ちます。これは、Xが単連結であるということにはならず、その基本群が完全であることだけを意味します( Hurewicz の定理を参照)。 ${\displaystyle b_{n}=1}$

有理ホモロジー球面も同様に定義されますが、有理係数を持つホモロジーを使用します。

ポアンカレホモロジー球面（ポアンカレ十二面体空間とも呼ばれる）は、アンリ・ポアンカレによって初めて構築されたホモロジー球面の特別な例です。球面状の 3 次元多様体 であるため、有限の基本群を持つ唯一のホモロジー 3 次元球面（ 3 次元球面自体を除く）です。その基本群は二元二十面体群として知られ、位数は 120 です。3 次元球面の基本群は自明であるため、これは、3 次元球面と同じホモロジー群を持ち、3 次元球面と同相ではない 3 次元多様体が存在することを示しています。

この空間の簡単な構築は、正十二面体から始まります。正十二面体の各面は、その反対の面と同一視され、最小限の時計回りのねじれを使用して面が一列に並びます。この同一視を使用して、反対の面の各ペアを接着すると、閉じた 3 次元多様体が生成されます。(同様の構築については、ザイフェルト-ウェーバー空間を参照してください。ただし、より多くの「ねじれ」を使用して、結果として双曲型 3 次元多様体が生成されます。)

あるいは、ポアンカレホモロジー球面は、商空間 SO(3) /I として構築できます。ここで、I はイコサヘドロン群（つまり、交代群A ₅に同型な、正イコサヘドロンと正十二面体の回転対称群）です。より直感的に言えば、これは、ポアンカレホモロジー球面が、ユークリッド 3 次元空間におけるイコサヘドロン（固定された中心と直径を持つ）のすべての幾何学的に区別可能な位置の空間であることを意味します。代わりに、単位四元数の群として実現でき、 3 次元球面と同相である SO(3) の普遍被覆に進むこともできます。この場合、ポアンカレホモロジー球面は と同型です。ここで、はバイナリイコサヘドロン群であり、に埋め込まれたI の完全二重被覆です。 ${\displaystyle S^{3}/{\ワイドティルダ {I}}}$${\displaystyle {\widetilde {I}}}$${\displaystyle S^{3}}$

もう 1 つのアプローチは、デーン手術によるものです。ポアンカレホモロジー球面は、右手三葉結び目に対する +1 手術の結果です。

2003年、WMAP宇宙探査機が1年間観測した宇宙マイクロ波背景の最大スケール（60度以上）の構造の欠如から、パリ天文台のジャン＝ピエール・ルミネとその同僚は、宇宙の形状はポアンカレ球であると示唆した。^{[1] [2]} 2008年、天文学者はWMAP宇宙探査機による3年間の観測を使用して、このモデルに最適な天空の方向を見つけ、モデルの予測の一部を確認した。^[3]プランク宇宙探査機 のデータ解析は、宇宙には観測可能な非自明な位相が存在しないことを示唆している。^[4]

• 3次元球面S ³の結び目にフレーミング+1または-1を適用すると、ホモロジー球面が得られます。
• より一般的には、交差数 (対角線外) とフレーミング (対角線上) によって与えられる行列の行列式が +1 または -1 である場合はいつでも、リンク上の手術によりホモロジー球面が得られます。
• p、q、rが互いに素な正の整数である場合、特異点x ^p + y ^q + z ^r = 0 (言い換えると、 0 の周りの小さな 3 次元球面とこの複素面の交差)のリンクは、ホモロジー 3 次元球面であるBrieskorn 多様体であり、 Brieskorn 3 次元球面 Σ( p、q、r ) と呼ばれます。 p、q、rのいずれかが 1 で、 Σ(2、 3、 5) がポアンカレ球面である場合、これは標準の 3 次元球面に同相です。
• 2 つの有向ホモロジー 3 次元球面の連結和はホモロジー 3 次元球面です。2 つのホモロジー 3 次元球面の連結和として表すことができないホモロジー 3 次元球面は既約または素数と呼ばれ、すべてのホモロジー 3 次元球面は本質的に一意に素数ホモロジー 3 次元球面の連結和として表すことができます。( 「素数分解 (3 次元多様体) 」を参照してください。)
• が全て2以上の整数で、任意の2つが互いに素であると仮定する。すると、ザイフェルトファイバー空間は${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{r}}$

${\displaystyle \{b,(o_{1},0);(a_{1},b_{1}),\dots ,(a_{r},b_{r})\}\,}$

次数a ₁ , ..., a _rの例外的な繊維を持つ球面上のホモロジー球面であり、bは次のように選ばれる。

${\displaystyle b+b_{1}/a_{1}+\cdots +b_{r}/a_{r}=1/(a_{1}\cdots a_{r}).}$

( b ′s を選択する方法は常に存在し、ホモロジー球面は (同型性を除いて) b ′s の選択に依存しません。) rが 2 以下であれば、これは通常の 3 次元球面です。それ以外の場合は、別個の非自明なホモロジー球面です。a ′ s が 2、3、5 であれば、ポアンカレ球面になります。a ′ s が 2、3、5 ではなく少なくとも 3 つある場合、これはSL ₂ ( R )の普遍被覆をモデルにしたサーストン幾何学を持つ、無限基本群を持つ非巡回ホモロジー 3 次元球面です。

• ロクリン不変量はホモロジー 3 球面の - 値不変量です。${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
• Casson不変量はホモロジー 3 球面の整数値不変量であり、その 2 を法とする縮小は Rokhlin 不変量です。

Aが標準の 3 次元球面に同相でないホモロジー 3 次元球面である場合、 Aの懸架は位相多様体ではない4 次元ホモロジー多様体の例です。 Aの二重懸架は標準の 5 次元球面に同相ですが、その三角形分割( Aの三角形分割によって誘導される) はPL 多様体ではありません。言い換えると、これは位相多様体ではあるが PL 多様体ではない有限単体複体の例を示しています。(点のリンクが常に 4 次元球面であるとは限らない ため、これは PL 多様体ではありません。 )

Galewski と Stern は、少なくとも 5 次元のコンパクト位相多様体 (境界なし) はすべて、単体複体に同相であるための必要十分条件は、Σ の連結和 Σ#Σ が滑らかな非巡回 4 次元多様体を境界付ける、ロクリン不変量1を持つホモロジー 3 球面 Σ が存在する場合であることを示した。Ciprian Manolescu は^{[5]、与えられた特性を持つそのようなホモロジー球は存在しないこと、したがって単体複体に同相でない 5 次元多様体が存在することを示した。特に、Galewski と Stern [6]}によって最初に示された例は三角形化できない。

• アイレンバーグ・マクレーン空間
• ムーア空間（代数的位相幾何学）

• ドロール、エマニュエル (1973)。「ホモロジー球」。 イスラエル数学ジャーナル。15 (2): 115–129。doi : 10.1007 /BF02764597。MR 0328926。S2CID 189796498  。
• Galewski, David; Stern, Ronald (1980). 「位相多様体の単体三角形分割の分類」Annals of Mathematics . 111 (1): 1–34. doi :10.2307/1971215. JSTOR  1971215. MR  0558395.
• Robion Kirby、Martin Scharlemann、「ポアンカレホモロジー3球面の8つの面」。幾何学的位相学（ジョージア位相学会議議事録、ジョージア州アセンズ、1977年）、pp. 113–146、Academic Press、ニューヨーク-ロンドン、1979年。
• Kervaire, Michel (1969). 「滑らかなホモロジー球面とその基本群」.アメリカ数学会誌. 144 : 67–72. doi : 10.1090/S0002-9947-1969-0253347-3 . JSTOR  1995269. MR  0253347. S2CID  54063849.
• ニコライ・サヴェリエフ、「ホモロジー 3 球面の不変量」 、数学百科事典、第 140 巻。低次元トポロジー、I. シュプリンガー出版、ベルリン、2002 年。MR 1941324 ISBN 3-540-43796-7 

• ポアンカレホモロジー 3 球面と頂点数が少ない非 PL 球面の 16 頂点三角形分割 ( Anders Björnerと Frank H. Lutz著)
• ポアンカレのホモロジー球面の最良の図に関するデイヴィッド・ギルマンの講義