Loading article…
ティアン・ガン | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
 2005年オーバーヴォルフアッハのティアン | |||||||
| 生まれる | 1958年11月24日 | ||||||
| 国籍 | 中国語 | ||||||
| 母校 | 南京大学( BS ) 北京大学( MS ) ハーバード大学( PhD ) | ||||||
| 知られている | ヤウ・ティアン・ドナルドソン予想 K-安定性 ファノ多様体の K-安定性 | ||||||
| 受賞歴 | ヴェブレン賞(1996) アラン・T・ウォーターマン賞(1994) | ||||||
| 科学者としてのキャリア | |||||||
| フィールド | 数学 | ||||||
| 機関 | プリンストン大学 北京大学 | ||||||
| 論文 | 代数多様体上のケーラー計量 (1988) | ||||||
| 博士課程の指導教員 | シン・トン・ヤウ | ||||||
| 博士課程の学生 | アーロン・ネイバー ナタシャ・シェシュム ウェイ ・ドンイ | ||||||
| 中国語名 | |||||||
| 繁体字中国語 | 田剛 | ||||||
| 中国語（簡体字） | 田刚 | ||||||
| |||||||
田剛（中国語：田刚、1958年11月24日生まれ）[1]は中国の数学者。北京大学の数学教授であり、プリンストン大学のヒギンズ名誉教授でもある。ケーラー幾何学、グロモフ・ヴィッテン理論、幾何解析などの数学分野への貢献で知られている。
2020年現在、中国民主同盟副議長、中国数学学会会長を務めている。2017年から2019年まで北京大学副学長を務めた。
バイオグラフィー
ティエン氏は中国江蘇省南京市生まれ。1978年、文化大革命後の第2次大学入試に合格。 1982年に南京大学を卒業し、 1984年に北京大学で修士号を取得。1988年にハーバード大学でシン・トン・ヤウ氏の指導の下、数学の博士号を取得。
1998年、北京大学のCheung Kong Scholar教授に任命され、後にCheung Kong Scholar教授職に変更された。 1995年から2006年までマサチューセッツ工科大学の数学教授を務めた（1996年からはSimons数学教授職に就く）。2003年からプリンストン大学に勤務し、後にヒギンズ数学教授に任命された。2005年からは北京国際数学研究センター（BICMR）の所長を務めている。[2] 2013年から2017年までは北京大学数学科学学院の学部長を務めた。[3]ジョン・ミルナーと共にクレイ数学研究所（CMI）の上級研究員である。 2011年、田氏はパリの国立科学研究センター（CNRS）の中仏数学研究プログラムのディレクターに就任した。2010年にはイタリアのトリエステにある国際理論物理学センターの科学顧問に就任した。[4]
ティアンは、アーベル賞やリロイ・P・スティール賞など、多くの委員会で委員を務めてきました。[5]彼は、 Advances in MathematicsやJournal of Geometric Analysisなど、多くの雑誌の編集委員を務めています。過去には、 Annals of MathematicsやJournal of the American Mathematical Societyの編集委員を務めていました。
彼が受賞した賞や栄誉には以下のようなものがあります。
- スローン研究フェローシップ（1991-1993）
- アラン・T・ウォーターマン賞（1994年）
- オズワルド・ヴェブレン幾何学賞（1996年）
- 中国科学院会員に選出（2001年）
- アメリカ芸術科学アカデミー会員に選出（2004年）
少なくとも2013年以来、彼は中国政治に深く関わっており、中国で2番目に人口の多い政党である中国民主同盟の副主席を務めている。
数学的貢献
ケーラー・アインシュタイン問題
ティアン氏はケーラー幾何学、特にケーラー＝アインシュタイン計量に関する研究でよく知られている。シン＝トン・ヤウ氏は、有名なカラビ予想の解決において、非正値第一チャーン類を持つ閉じたケーラー多様体のケースを解決した。連続法の適用における彼の研究は、ケーラーポテンシャルのC 0制御が、正値第一チャーン類を持つ閉じたケーラー多様体（別名「ファノ多様体」）上のケーラー＝アインシュタイン計量の存在を証明するのに十分であることを示した。ティアン氏とヤウ氏は、ヤウ氏のカラビ予想の分析を非コンパクトな設定に拡張し、部分的な結果を得た。[TY90]また、彼らは軌道特異点を許容するように研究を拡張した。[TY91]
ティアンは「α不変量」を導入した。これは本質的に、モーザー・トルーディンガー不等式をケーラーポテンシャルに適用した場合の最適定数であり、その上限値は0である。ティアンは、α不変量が十分に大きい場合（つまり、十分に強いモーザー・トルーディンガー不等式が成り立つ場合）、ヤウの連続法におけるC 0制御が達成できることを示した。 [T87b]これはケーラー・アインシュタイン面の新しい例を示すために適用された。ケーラー面の場合は1990年にティアンによって再検討され、その文脈におけるケーラー・アインシュタイン問題が完全に解決された。[T90b]主な手法は、グロモフ・ハウスドルフ収束によって検出可能な、ケーラー・アインシュタイン計量のシーケンスの可能な幾何学的退化を研究することであった。ティアンは、ヤン＝ミルズ接続のために開発されたカレン・ウーレンベックの技術革新の多くをケーラー計量の設定に応用した。リーマン計量の設定における同様の影響力のある研究は、1989年と1990年にマイケル・アンダーソン、坂東成俊、桝江篤、中島啓らによって行われた。[6] [7] [8]
ティアンによるケーラー・アインシュタイン問題への最も有名な貢献は1997年になされた。ヤウは1980年代にドナルドソン・ウーレンベック・ヤウの定理に部分的に基づいて、ケーラー・アインシュタイン計量の存在は、幾何学的不変理論のある意味では、基礎となるケーラー多様体の安定性に対応するはずであると予想していた。特に二木明人[9]の研究以降、正則ベクトル場の存在はケーラー・アインシュタイン計量の存在に対する障害として働くはずであると一般に理解されていた。ティアンとウェイ・ユエ・ディンは、この障害はケーラー・オービフォールドのクラス内では十分ではないことを確立した。[DT92]ティアンは1997年の論文で、正則ベクトル場もケーラー・アインシュタイン計量も持たないケーラー多様体（オービフォールドではなく）の具体例を挙げ、望ましい基準はより深いところにあることを示した。[T97]ヤウは、多様体自体の正則ベクトル場よりも、射影空間上の正則ベクトル場の下でのケーラー多様体の射影埋め込みの変形を研究する方が重要であると提案した。この考えはティアンによって修正され、 K安定性の概念が導入され、任意のケーラー・アインシュタイン多様体はK安定でなければならないことが示された。[T97]
サイモン・ドナルドソンは2002年にティアンのK安定性の定義を修正し拡張した。[10] K安定性がケーラー・アインシュタイン計量の存在を保証するのに十分であるという予想は、ヤウ・ティアン・ドナルドソン予想として知られるようになった。2015年に、シウシオン・チェン、ドナルドソン、ソン・サンは予想の証明を発表し、その仕事によりオズワルド・ヴェブレン幾何学賞を受賞した。[11] [12] [13]ティアンは同年に予想の証明を発表したが、チェン、ドナルドソン、サンはティアンの論文に関して学術的および数学的な不正行為を非難した。[T15] [14] [15]
ケーラー幾何学
ティアンは初期の論文の一つで、ケーラー多様体上のカラビ・ヤウ計量の空間を研究した。[T87a]彼はカラビ・ヤウ構造の任意の微小変形がカラビ・ヤウ計量の1パラメータ族に「積分」できることを示した。これは、与えられた多様体上のカラビ・ヤウ計量の「モジュライ空間」が滑らかな多様体の構造を持つことを証明している。これは以前にアンドレイ・トドロフによっても研究されており、その結果はティアン・トドロフ定理として知られている。[16]応用として、ティアンは周期写像の観点からカラビ・ヤウ計量のモジュライ空間上のワイル・ペーターソン計量の公式を発見した。[T87a] [17]
ケーラー-アインシュタイン問題とベルクマン計量に関するヤウ予想に動機づけられて、ティアンは次のような問題を研究した。ケーラー多様体M上の線束Lとし、曲率形式がM上のケーラー形式であるエルミート束計量を固定する。十分に大きいmに対して、線束L ⊗ mの正則切断の正規直交集合がMの射影埋め込みを定義すると仮定する。Fubini -Study 計量を元に戻して、m が増加するにつれてM上の計量の列を定義することができる。ティアンは、この列をある大きさで再スケーリングすると、 C 2位相で元のケーラー計量に必ず収束することを示した。[T90a]この列の洗練された漸近挙動は、その後の他の著者による多くの影響力のある論文で取り上げられ、特にサイモン・ドナルドソンの極限計量に関するプログラムで重要である。 [18] [19] [20] [21] [22]射影埋め込みから誘導されるケーラー計量によるケーラー計量の近似可能性は、上で示したように、ヤウのヤウ・ティアン・ドナルドソン予想の描像にも関連している。
非常に技術的な論文で、Xiuxiong ChenとTianは、特定の複雑なモンジュ・アンペール方程式の正則性理論を研究し、極限ケーラー計量の幾何学の研究に応用しました。[CT08]彼らの論文は非常に広く引用されていますが、Julius RossとDavid Witt Nyströmは2015年にChenとTianの正則性の結果に対する反例を見つけました。[23] ChenとTianの論文のどの結果が今でも有効であるかは明らかではありません。
グロモフ・ウィッテン理論
擬正則曲線は、 1985年にミハイル・グロモフによってシンプレクティック幾何学の強力なツールとして示されました。[24] 1991年にエドワード・ウィッテンは、グロモフの理論を使用して列挙不変量を定義するという予想を立てました。[25]ティアンとヨンビン・ルアンは、そのような構成の詳細を発見し、擬正則曲線の像のさまざまな交差が多くの選択から独立していることを証明し、特に、特定のシンプレクティック多様体のホモロジー上の結合的な多重線型マッピングを与えました。 [RT95]この構造は量子コホモロジーとして知られています。同時期に同様の影響力のあるアプローチは、ドゥサ・マクダフとディートマー・サラモンによるものです。[26]ルアンとティアンの結果は、いくぶん一般的な設定に基づいています。
ティエンはジュン・リーとともに、これらの結果を代数多様体の設定に純粋に代数的に適応させた。[LT98b]これはカイ・ベーレンドとバーバラ・ファンテキと同時に、異なるアプローチで行われた。[27]
その後、Li と Tian は、Ruan と Tian の以前の研究を拡張して、代数幾何学の研究をシンプレクティック多様体の解析的設定に戻しました。[LT98a] Tian と Gang Liu はこの研究を利用して、ハミルトン微分同相写像の不動点の数に関する有名なアーノルド予想を証明しました。[LT98c]しかし、シンプレクティック グロモフ-ウィッテン理論に関する Li-Tian と Liu-Tian のこれらの論文は、 Dusa McDuffとKatrin Wehrheimによって不完全または不正確であると批判され、Li と Tian の論文[LT98a]は特定の点について「ほとんどすべての詳細が欠如している」と述べ、Li と Tian の論文[LT98c]には「重大な解析的誤り」があると述べています。[28]
幾何学的分析
1995 年、 Tian と Weiyue Ding は、2 次元の閉リーマン多様体から閉リーマン多様体Nへの調和写像熱流を研究しました。[DT95] 1982 年の Jonathan Sacks とKaren Uhlenbeckの画期的な発見に続く 1985 年の独創的な研究で、Michael Struwe はこの問題を研究し、すべての正の時間に対して存在する弱解があることを示しました。さらに、 Struwe は、解u が有限個の時空点から離れて滑らかであることを示しました。解が滑らかで、与えられた特異点( p、T )に収束する時空点のシーケンスが与えられた場合、いくつかの再スケーリングを実行して、円形の 2 次元球からNへの有限数の調和写像を(順次) 定義できます。これは「バブル」と呼ばれます。丁と田は、ある種の「エネルギー量子化」を証明した。これは、tがTに近づくにつれてu ( T )のディリクレエネルギーとu ( t )のディリクレエネルギーの極限との間の差が、バブルのディリクレエネルギーの合計によって正確に測定されることを意味する。このような結果は、フランケル予想の証明におけるユム・トン・シウとシン・トン・ヤウの元のエネルギー量子化結果に続いて、幾何学的解析において重要である。 [29]丁と田の調和写像フローの考察とは対照的に、調和写像に関する類似の問題は、ほぼ同時期にチャンユー・ワンによって考察された。[30]
ティアンの主要論文はヤン＝ミルズ方程式を扱った。[T00a]カレン・ウーレンベックの解析の多くを高次元に拡張することに加えて、彼はヤン＝ミルズ理論と較正幾何学との相互作用を研究した。ウーレンベックは1980年代に、一様境界エネルギーのヤン＝ミルズ接続のシーケンスが与えられた場合、それらは「特異集合」の補集合として知られる、少なくとも4つの余次元の部分集合の補集合に滑らかに収束することを示した。ティアンは、特異集合が修正可能集合であることを示した。多様体に較正が備わっている場合、較正に対して自己双対であるヤン＝ミルズ接続に関心を限定することができる。この場合、ティアンは特異集合が較正されていることを示した。たとえば、一様境界エネルギーのエルミートヤン＝ミルズ接続のシーケンスの特異集合は、正則閉路になる。これは、ヤン・ミルズ接続の解析における重要な幾何学的特徴です。
リッチフロー
2006 年、Tian と Zhou Zhang は、閉じたケーラー多様体という特殊な設定におけるリッチフローについて研究しました。[TZ06]彼らの主な業績は、最大存在時間が純粋にコホモロジー的な用語で特徴付けられることを示したことです。これは、ケーラー リッチフローが、与えられた幾何学的コンテキストから最大存在時間を計算する方法が (知られていない) 通常のリッチフローよりも大幅に単純であるという 1 つの意味を表しています。Tian と Zhang の証明は、ケーラー リッチフロー自体とコホモロジーのある形式の線形変形によってパラメータ化されたケーラーポテンシャルに関して、さまざまな幾何学的発展方程式に適用されるスカラー最大値原理の使用で構成されています。Jian Song との注目すべき研究で、Tian は特定の 2 次元複素多様体上のケーラー リッチフローを分析しました。[ST07]
2002年と2003年に、グリゴリー・ペレルマンは、 3次元幾何位相幾何学の分野におけるポアンカレ予想と幾何化予想を証明するとする3本の論文をarXivに投稿した。[31] [32] [33]ペレルマンの論文は、多くの斬新なアイデアと結果ですぐに称賛されたが、彼の議論の多くの技術的な詳細は検証が困難であると見なされた。ジョン・モーガンと共同で、ティアンは2007年にペレルマンの論文の解説を出版し、多くの詳細を補った。[MT07]広く研究されている他の解説は、ホアイ・ドン・カオとシピン・チュー、ブルース・クライナーとジョン・ロットによって書かれたものである。[34] [35]モルガンとティアンの解説は、3つの中で唯一ペレルマンの3番目の論文[33]を扱っている。この論文は幾何化予想の分析には無関係だが、曲線短縮フローを用いてポアンカレ予想の特殊なケースをより簡単に論じている。モルガンとティアンの本の出版から8年後、アバス・バハリは、この論文の解説の一部に誤りがあり、進化方程式の計算が間違っていると指摘した。[36]ペレルマンの論文にはない詳細を扱っていたこの誤りは、その後すぐにモルガンとティアンによって修正された。[37]
ティアンはナターシャ・シェシュムと共同で、ケーラー多様体のリッチフローに関するペレルマンの研究の解説書も出版したが、ペレルマンはそれをいかなる形でも出版しなかった。[38]
主な出版物
研究論文。
本。
参考文献
- ^ 「1996年オズワルド・ヴェブレン賞」(PDF) AMS. 1996年。
- ^ 北京国際数学研究センター理事会、http://www.bicmr.org/content/page/27.html
- ^ 北京大学数学科学学院の歴史、http://www.math.pku.edu.cn/static/lishiyange.html
- ^ 「ICTP - ガバナンス」www.ictp.it . 2018年5月28日閲覧。
- ^ 「2013 Steele Prizes」（PDF）アメリカ数学会報60（4）：480-483。2013年4月。
- ^ アンダーソン、マイケル・T. コンパクト多様体上のリッチ曲率境界とアインシュタイン計量。J. Amer. Math. Soc. 2 (1989)、第3号、455–490。
- ^ 坂東 茂俊; 加須江 篤; 中島 啓. 急速な曲率減少と最大体積増加を伴う多様体上の無限大座標の構築について. Invent. Math. 97 (1989), no. 2, 313–349.
- ^ アンダーソン、マイケルT. リッチ曲率境界下での多様体の収束と剛性。Invent. Math. 102 (1990)、第2号、429–445。
- ^ 二木 明. アインシュタイン・ケーラー計量の存在に対する障害。発明数学73（1983）、第3号、437-443。
- ^ Donaldson, SK トーリック多様体のスカラー曲率と安定性。J. Differential Geom. 62 (2002), no. 2, 289–349。
- ^ Chen, Xiuxiong; Donaldson, Simon; Sun, Song. ファノ多様体上のケーラー・アインシュタイン計量。I: 円錐特異点を持つ計量の近似。J. Amer. Math. Soc. 28 (2015), no. 1, 183–197.
- ^ Chen, Xiuxiong; Donaldson, Simon; Sun, Song. ファノ多様体上のケーラー・アインシュタイン計量。II: 円錐角が 2π 未満の極限。J. Amer. Math. Soc. 28 (2015), no. 1, 199–234.
- ^ Chen, Xiuxiong; Donaldson, Simon; Sun, Song. ファノ多様体上のケーラー・アインシュタイン計量。III: 円錐角が 2π に近づくときの限界と主証明の完了。J. Amer. Math. Soc. 28 (2015), no. 1, 235–278。
- ^ Xiuxiong Chen、Simon、Donaldson、Song Sun。ケーラー幾何学の最近の発展について。
- ^ Gang Tian. CDSへの回答。
- ^ Todorov, Andrey N. SU(n ≥ 3) (Calabi-Yau) 多様体のモジュライ空間の Weil-Petersson 幾何学。I. Comm. Math. Phys. 126 (1989)、第 2 号、325–346 ページ。
- ^ ハイブレヒト、ダニエル.複雑な幾何学模様。紹介です。 [第 6 章] ユニバーシティテキスト。 Springer-Verlag、ベルリン、2005 年 xii+309 ページISBN 3-540-21290-6
- ^ ゼルディッチ、スティーブ。シェグー カーネルとティアンの定理。インターナショナル。数学。解像度1998 年の通知、no. 6、317–331。
- ^ Catlin, David. ベルグマン核とティアンの定理。複数の複素変数における解析と幾何学（Katata、1997）、1–23、Trends Math.、Birkhäuser Boston、ボストン、マサチューセッツ州、1999年。
- ^ Lu, Zhiqin. Tian-Yau-Zelditchの漸近展開の低次の項について. Amer. J. Math. 122 (2000), no. 2, 235–273.
- ^ Donaldson, SK スカラー曲率と射影的埋め込み IJ Differential Geom. 59 (2001), no. 3, 479–522.
- ^ Donaldson, SK Calabi汎関数の下限値。J. Differential Geom. 70 (2005), no. 3, 453–472。
- ^ ロス、ジュリアス;ニストローム、デヴィッド・ウィット。複雑な均質モンジュ アンペール方程式の解の調和ディスク。出版物。数学。研究所オート エチュード Sci. 122 (2015)、315–335。
- ^ Gromov, M. シンプレクティック多様体における擬似正則曲線。Invent. Math. 82 (1985), no. 2, 307–347。
- ^ ウィッテン、エドワード。2次元重力とモジュライ空間上の交差理論。微分幾何学の調査（ケンブリッジ、マサチューセッツ州、1990年）、243-310、リーハイ大学、ベスレヘム、ペンシルバニア州、1991年。
- ^ マクダフ、ドゥーサ;サラモン、ディートマール。 J 正則曲線と量子コホモロジー。大学講義シリーズ、6。アメリカ数学協会、プロビデンス、ロードアイランド州、1994。viii+207 pp. ISBN 0-8218-0332-8
- ^ Behrend, K.; Fantechi, B. 固有法線円錐。Invent. Math. 128 (1997), no. 1, 45–88。
- ^ McDuff, Dusa; Wehrheim, Katrin. 自明な等方性を持つ滑らかな Kuranishi アトラスの基本クラス。J. Topol. Anal. 10 (2018), no. 1, 71–243。
- ^ Siu, Yum Tong; Yau, Shing Tung. 非正曲率で2次崩壊より速い完全ケーラー多様体。Ann. of Math. (2) 105 (1977), no. 2, 225–264。
- ^ Wang, Changyou. 表面から一般ターゲットまでの特定の Palais-Smale シーケンスのバブル現象。Houston J. Math. 22 (1996)、第 3 号、559–590 ページ。
- ^ Grisha Perelman. リッチフロー のエントロピー公式とその幾何学的応用。arXiv :math/0211159
- ^ Grisha Perelman. 3次元多様体上の手術を伴うリッチフロー。arXiv : math/0303109
- ^ ab Grisha Perelman. 特定の 3 次元多様体上の リッチフローの解の有限消滅時間。arXiv :math/0307245
- ^ Cao, Huai-Dong; Zhu, Xi-Ping. ポアンカレ予想と幾何化予想の完全な証明—リッチフローのハミルトン-ペレルマン理論の応用。Asian J. Math. 10 (2006), no. 2, 165–492.
- ^ クライナー、ブルース、ロット、ジョン。ペレルマンの論文に関するメモ。地理学トポル。12（2008）、第5号、2587–2855。
- ^ バハリ、アバス。数学における5つのギャップ。Adv. Nonlinear Stud. 15 (2015)、第2号、289–319。
- ^ John Morgan と Gang Tian。Ricci Flow と Poincare Conjecture のセクション 19.2 の訂正。arXiv : 1512.00699 (2015)
- ^ Sesum, Natasa; Tian, Gang. Kähler Ricci フローに沿ったスカラー曲率と直径の境界設定 (Perelman による)。J. Inst. Math. Jussieu 7 (2008)、第 3 号、575–587 ページ。
外部リンク
- 数学系譜プロジェクトのTian Gang