3次元多様体の素分解

数学において、3 次元多様体の素数分解定理は、コンパクトで向き付け可能なすべての 3 次元多様体は、 （同相を除いて）唯一の素数3 次元多様体の有限集合の連結和であると述べます。

多様体は、多様体の連結和に同相でない場合、素多様体である。ただし、多様体と同次元の球面との連結和は自明である。 が素3次元多様体である場合、 または上の向き付け不可能なバンドルである か、 が既約 であるかのいずれかである。つまり、埋め込まれた2次元球面はいずれも球を囲む。したがって、定理は、上の既約3次元多様体とファイバーバンドルへの連結和分解が一意に存在すると言い換えることができる。${\textstyle M\cong M\#S^{n}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle S^{2}\times S^{1}}$${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle S^{1},}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle S^{1}.}$

素分解は非向き付け3次元多様体にも当てはまりますが、一意性の記述は少し修正する必要があります。すべてのコンパクトな非向き付け3次元多様体は、既約3次元多様体と非向き付けバンドルの連結和です。この和は、各加数が既約または非向き付けバンドルのいずれかで あると指定する限り、一意です。${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle S^{1}.}$${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle S^{1}.}$

この証明は、ヘルムート・クネザーが考案した法線面法に基づいています。存在はクネザーによって証明されましたが、正確な定式化と一意性の証明は、30年以上後にジョン・ミルナーによって行われました。

• ヘンペル、ジョン (1976)。3次元多様体。数学研究年報。第86巻。プリンストン、ニュージャージー州：プリンストン大学出版局。doi :10.1090/chel/349。ISBN 0-8218-3695-1. MR  0415619. Zbl  0345.57001.
• ジャコ、ウィリアム(1980)。3次元多様体位相幾何学に関する講義。CBMS 数学地域会議シリーズ。第 43 巻。プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会。doi :10.1090 / cbms/043。ISBN 0-8218-1693-4. MR  0565450. Zbl  0433.57001.
• クネーザー、ヘルムート(1929)。 「Geschlossene Flächen in dreiDimensionen Mannigfaltigkeiten」。Jahresbericht der Deutschen Mathematikar-Vereinigung。38 : 248–259。土井：10.1515/9783110894516.147。JFM  55.0311.03。
• Milnor, J. (1962). 「3次元多様体の一意分解定理」. American Journal of Mathematics . 84 (1): 1–7. doi :10.2307/2372800. MR  0142125. S2CID  122595895. Zbl  0108.36501.