アノソフ微分同相写像

まず最初に、${\displaystyle T^{1}H}$はリー群PSL(2, R )と同型である。この群は上半平面の向き保存等長変換の群である。PSL (2, R ) のリー代数はsl(2, R ) であり、行列によって張られる。

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}1/2&0\\0&-1/2\\\end{pmatrix}},\qquad X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\\\end{pmatrix}},\qquad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}}$

ライブラケット付き

${\displaystyle [J,X]=X,\qquad [J,Y]=-Y,\qquad [X,Y]=2J.}$

指数マップ

${\displaystyle g_{t}=\exp(tJ)={\begin{pmatrix}e^{t/2}&0\\0&e^{-t/2}\\\end{pmatrix}}\qquad h_{t}^{*}=\exp(tX)={\begin{pmatrix}1&t\\0&1\\\end{pmatrix}}\qquad h_{t}=\exp(tY)={\begin{pmatrix}1&0\\t&1\\\end{pmatrix}}}$

多様体上の右不変フローを定義する${\displaystyle T^{1}H=\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$、同様に${\displaystyle T^{1}M}$定義する${\displaystyle P=T^{1}H}$そして${\displaystyle Q=T^{1}M}$これらの流れは、 PとQ上のベクトル場を定義し、そのベクトルはTPとTQに属します。これらは、リー群の多様体上の標準的な通常のリーベクトル場であり、上記の説明はリーベクトル場の標準的な解説です。

アノソフの流れとの関連性は、${\displaystyle g_{t}}$PとQ上の測地線流である。リーベクトル場は（定義により）群要素の作用の下で不変であるため、これらの場は特定の要素の下で不変である。${\displaystyle g_{t}}$測地線フローのことです。言い換えれば、空間TPとTQは3つの1次元空間、つまりサブバンドルに分割され、それぞれのサブバンドルは測地線フローの下で不変です。最後のステップは、1つのサブバンドル内のベクトル場は拡大し（指数関数的に拡大し）、別のサブバンドル内のベクトル場は変化せず、3つ目のサブバンドル内のベクトル場は縮小する（指数関数的に縮小する）ことに気づくことです。

より正確には、接束TQ は直和として表すことができる。

${\displaystyle TQ=E^{+}\oplus E^{0}\oplus E^{-}}$

あるいは、ある時点で${\displaystyle g\cdot e=q\in Q}$直接合計

${\displaystyle T_{q}Q=E_{q}^{+}\oplus E_{q}^{0}\oplus E_{q}^{-}}$

それぞれリー代数生成子Y、J、Xに対応し、群要素gの左作用によって原点eから点qへ運ばれる。つまり、${\displaystyle E_{e}^{+}=Y,E_{e}^{0}=J}$そして${\displaystyle E_{e}^{-}=X}$これらの空間はそれぞれ部分束であり、測地線の流れの作用、すなわち群要素の作用の下で保存される（不変である） 。${\displaystyle g=g_{t}}$。

ベクトルの長さを比較するには${\displaystyle T_{q}Q}$異なる点qでは、計量が必要です。${\displaystyle T_{e}P=sl(2,\mathbb {R} )}$P上の左不変リーマン計量に拡張され、したがってQ上のリーマン計量にも拡張される。ベクトルの長さ${\displaystyle v\in E_{q}^{+}}$の作用により、指数関数的に exp(t) のように拡大する${\displaystyle g_{t}}$ベクトルの長さ${\displaystyle v\in E_{q}^{-}}$の作用により、exp(-t) のように指数関数的に縮小する${\displaystyle g_{t}}$. ベクトル${\displaystyle E_{q}^{0}}$変化しない。これは、群の要素がどのように可換であるかを調べることでわかる。測地線フローは不変であり、

${\displaystyle g_{s}g_{t}=g_{t}g_{s}=g_{s+t}}$

しかし、他の2つは縮小と拡大する。

${\displaystyle g_{s}h_{t}^{*}=h_{t\exp(-s)}^{*}g_{s}}$

そして

${\displaystyle g_{s}h_{t}=h_{t\exp(s)}g_{s}}$

ここで、接線ベクトルは${\displaystyle E_{q}^{+}}$は、曲線のtに関する導関数によって与えられる。${\displaystyle h_{t}}$設定${\displaystyle t=0}$。

その点に基づいて行動する場合${\displaystyle z=i}$上半平面の、${\displaystyle g_{t}}$上半平面上の測地線に対応し、点を通る。${\displaystyle z=i}$作用はSL(2, R )の上半平面上の標準的なメビウス変換作用であり、

${\displaystyle g_{t}\cdot i={\begin{pmatrix}\exp(t/2)&0\\0&\exp(-t/2)\end{pmatrix}}\cdot i=i\exp(t)}$

一般的な測地線は次のように与えられる。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot i\exp(t)={\frac {ai\exp(t)+b}{ci\exp(t)+d}}}$

a 、b、c、dは実数で、${\displaystyle ad-bc=1}$曲線${\displaystyle h_{t}^{*}}$そして${\displaystyle h_{t}}$これらはホロサイクルと呼ばれます。ホロサイクルは、ホロ球の上半平面における法線ベクトルの動きに対応します。