( G , X )多様体

させて${\displaystyle X}$連結した微分可能多様体であり、${\displaystyle G}$微分同相写像群の部分群である${\displaystyle X}$これらは、以下の意味で分析的に作用する。

もし${\displaystyle g_{1},g_{2}\in G}$そして、空でない開集合が存在する${\displaystyle U\subset X}$そのため${\displaystyle g_{1},g_{2}}$制限された場合は等しい${\displaystyle U}$それから${\displaystyle g_{1}=g_{2}}$

（この定義は、解析多様体上の解析微分同相写像の解析接続性から着想を得ている。）

A${\displaystyle (G,X)}$位相空間上の構造${\displaystyle M}$は多様体構造である${\displaystyle M}$その地図帳のチャートには、${\displaystyle X}$遷移マップは${\displaystyle G}$これは、以下が存在することを意味します。

• 覆い${\displaystyle M}$オープンセットによる${\displaystyle U_{i},i\in I}$（つまり）${\displaystyle M=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$);
• オープン埋め込み${\displaystyle \varphi _{i}:U_{i}\to X}$チャートと呼ばれるもの。

すべての遷移マップ${\displaystyle \varphi _{i}\circ \varphi _{j}^{-1}:\varphi _{j}(U_{i}\cap U_{j})\to \varphi _{i}(U_{i}\cap U_{j})}$微分同相写像の制限は${\displaystyle G}$。

そのような構造物が2つ${\displaystyle (U_{i},\varphi _{i}),(V_{j},\psi _{j})}$それらは、極大なものに含まれる場合、同等であり、それらの和集合もまた${\displaystyle (G,X)}$構造（つまりマップ）${\displaystyle \varphi _{i}\circ \psi _{j}^{-1}}$そして${\displaystyle \psi _{j}\circ \varphi _{i}^{-1}}$微分同相写像の制限は${\displaystyle G}$)

もし${\displaystyle G}$嘘のグループであり、${\displaystyle X}$忠実な作用を持つリーマン多様体${\displaystyle G}$等長変換によって、作用は解析的になります。通常は、${\displaystyle G}$完全な等長変換群となる${\displaystyle X}$。次に、 ${\displaystyle (G,X)}$多様体は、局所的に等長なリーマン多様体のカテゴリーと同等である。${\displaystyle X}$（つまり、すべての点には、開部分集合に等長な近傍がある）${\displaystyle X}$)

多くの場合、${\displaystyle X}$均質である${\displaystyle G}$例えば、${\displaystyle X=G}$左不変な計量を持つ。特に単純な例は${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$そして${\displaystyle G}$ユークリッド等長変換の群。次に${\displaystyle (G,X)}$マニホールドとは、単に平面マニホールドのことです。

特に興味深い例は、${\displaystyle X}$はリーマン対称空間であり、例えば双曲空間である。最も単純な例は双曲平面であり、その等長変換群は と同型である。${\displaystyle G=\mathrm {PGL} _{2}(\mathbb {R} )}$。

いつ${\displaystyle X}$ミンコフスキー空間であり、${\displaystyle G}$ローレンツ群の概念${\displaystyle (G,X)}$-構造は平坦なローレンツ多様体と同じである。

いつ${\displaystyle X}$アフィン空間と${\displaystyle G}$アフィン変換の群を考えると、アフィン多様体の概念が得られます。

いつ${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {R} )}$は n 次元実射影空間であり、${\displaystyle G=\mathrm {PGL} _{n+1}(\mathbb {R} )}$射影構造の概念が得られる。^{[ 1 ]}

させて${\displaystyle M}$になる${\displaystyle (G,X)}$連結多様体（位相空間として）。展開マップは普遍被覆からのマップである。$\displaystyle {\tilde {M}}}$に${\displaystyle X}$これは、要素による合成までしか明確に定義されない。${\displaystyle G}$。

開発中の地図は次のように定義されます。^{[ 2 ]}固定${\displaystyle p\in {\tilde {M}}}$そして$\displaystyle q\in \tilde M}}$他の点でも、${\displaystyle \gamma }$から${\displaystyle p}$に${\displaystyle q}$、 そして${\displaystyle \varphi :U\to X}$（どこ${\displaystyle U}$十分に小さな近隣地域${\displaystyle p}$) チャートを作成することによって得られる地図${\displaystyle M}$投影と共に$\displaystyle {\tilde {M}}\to M}$分析接続を以下のように使用する場合があります。${\displaystyle \gamma }$延長する${\displaystyle \varphi }$そのため、そのドメインには${\displaystyle q}$。 以来$\displaystyle {\tilde {M}}}$単純に値とつながっている${\displaystyle \varphi (q)}$このようにして得られたものは、元の選択に依存しない${\displaystyle \gamma }$、そして我々は（明確に定義された）写像と呼ぶ。${\displaystyle \varphi$ :{\tilde {M}}\to X} 開発中のマップ${\displaystyle (G,X)}$-構造。それは基準点とチャートの選択に依存しますが、要素による構成までです。${\displaystyle G}$。

開発中の地図が与えられた場合${\displaystyle \varphi }$モノドロミーまたはホロノミー^{[ 3 ]}​​${\displaystyle (G,X)}$-構造は一意の射である${\displaystyle h:\pi _{1}(M)\to G}$これは以下を満たす

${\displaystyle \forall \gamma \in \pi _{1}(M),p\in {\tilde {M}}:\varphi (\gamma \cdot p)=h(\gamma )\cdot \varphi (p)}$。

それは展開マップの選択に依存するが、内部自己同型を除いて${\displaystyle G}$。

A${\displaystyle (G,X)}$構造は、展開写像が被覆写像でもある場合に完全であると言われます（これは、展開写像の選択に依存しません。なぜなら、両者は微分同相写像によって異なるからです）。例えば、${\displaystyle X}$単連結である場合、展開マップが微分同相写像である場合に限り、構造は完全である。