マーギュリスの補題

微分幾何学において、マルギュリスの補題（グリゴリー・マルギュリスにちなんで名付けられた）は、非正曲面リーマン多様体（例えば、双曲的n次元空間）の等長変換の離散部分群に関する結果である。大まかに言えば、これは、通常マルギュリス定数と呼ばれる固定半径内では、そのような群の軌道の構造はあまり複雑にならないことを述べている。より正確には、ある点の周りのこの半径内では、その軌道上のすべての点は、実際には冪零部分群（実際にはそのような部分の有限個の有界な数）の軌道内にある。

マーギュリスの補題は次のように定式化できる。^[1]

を非正の有界断面曲率の単連結多様体とします。次の特性を持つ定数が存在します。および任意の の等長変換群の任意の離散部分群について、 が集合である場合: ${\displaystyle X}$${\displaystyle C,\varepsilon >0}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle F_{x}}$

${\displaystyle F_{x}=\{g\in \Gamma :d(x,gx)<\varepsilon \}}$

によって生成される部分群には、未満の指数の冪零部分群が含まれます。ここでは、リーマン計量によって誘導される 距離を示します。${\displaystyle F_{x}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle d}$

直ちに同等のステートメントは次のように与えられます:等長群の任意の部分集合について、それが以下を満たす場合: ${\displaystyle F}$

• となるようなが存在する。${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \forall g\in F:d(x,gx)<\varepsilon }$
• によって生成されるグループは離散的である${\displaystyle \langle F\rangle }$${\displaystyle F}$

インデックスの冪零部分群が含まれます。 ${\displaystyle \langle F\rangle }$${\displaystyle \leq C}$

ステートメント内の最適な定数は、次元と曲率の下限のみに依存するようにすることができます。通常、曲率が -1 から 0 の間になるように正規化されます。これは通常、次元の Margulis 定数と呼ばれます。 ${\displaystyle \varepsilon }$

特定の空間に対する Margulis 定数を考慮することもできます。たとえば、双曲空間 (定曲率 -1) の Margulis 定数を決定する重要な取り組みが行われてきました。たとえば、

• 双曲面の最適定数は に等しい。^[2]${\displaystyle 2\operatorname {arsinh} \left({\sqrt {\frac {2\cos(2\pi /7)-1}{8\cos(\pi /7)+7}}}\right)\simeq 0.2629}$
• 一般に、双曲型 -空間のマルグリス定数は、ある に対して次の境界を満たすことが知られています。^[3]${\displaystyle \varepsilon _{n}}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle c^{-n^{2}}<\varepsilon _{n}<K/{\sqrt {n}}}$$${\displaystyle 0<c<1,K>0}$

負に曲がった多様体の例として特に研究されているのは、半単純リー群に関連付けられた対称空間である。この場合、マルグリスの補題は、ハンス・ザッセンハウスに遡る次のようなより代数的な定式化で与えられる。^[4]

が半単純リー群である場合、およびにおける恒等群の近傍が存在し、によって生成される任意の離散部分群はインデックス の冪零部分群を含みます。${\displaystyle G}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle G}$${\displaystyle C>0}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma \cap \Omega }$${\displaystyle \leq C}$

このような近傍は、におけるザッセンハウス近傍と呼ばれます。がコンパクトな場合、この定理は有限線型群に関するジョルダンの定理に相当します。 ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

をリーマン多様体、 とします。の薄い部分はにおけるの単射半径がより小さい点の部分集合であり、通常と表記されます。 の厚い部分はの補集合であり、通常 と表記されます。 は、互いに素な和集合 への同語的分解が存在します。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle M_{<\varepsilon }}$${\displaystyle M_{\geq \varepsilon }}$${\displaystyle M=M_{<\varepsilon }\cup M_{\geq \varepsilon }}$

が負の曲率を持ち、普遍被覆 のマルグリス定数 より小さい場合、薄い部分の成分の構造は非常に単純です。有限体積の双曲多様体の場合に限定しましょう。 が のマルグリス定数 より小さく、 が有限体積の双曲多様体であるとします。すると、その薄い部分には2種類の成分があります: ^[5]${\displaystyle M}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle {\widetilde {M}}}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle n}$

• カスプ: これらは非有界成分であり、平坦な-多様${\displaystyle (n-1)}$体と直線の積に微分同相である。
• マーギュリス管:上の長さの閉じた測地線の近傍です。これらは有界であり、( が向き付け可能であれば) 円と -円板の積に微分同相です。${\displaystyle <\varepsilon }$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (n-1)}$

特に、完全な有限体積双曲多様体は、常にコンパクト多様体（空の境界を持つ可能性もある）の内部と微分同相である。

マーギュリスの補題は、負の曲率を持つ多様体の研究において重要なツールです。太い-細い分解以外にも、次のような応用があります。

• カラー補題: これは、薄い部分のコンパクト成分の記述のより正確なバージョンです。これは、双曲面上の長さの任意の閉じた測地線が、直径のオーダーの埋め込まれた円筒内に含まれていることを述べています。${\displaystyle \ell <\varepsilon }$${\displaystyle \ell ^{-1}}$
• マーギュリスの補題は、双曲多様体間の最小共体積の問題に即した定性的な解決を与える。マーギュリス管の体積は次元のみに依存する定数によって下界が定められていることが分かるので、任意のnに対して双曲n多様体の体積には正の下限値が存在することになる。^[6]
• ザッセンハウス近傍の存在は、カジダン・マルギュリス定理の証明における重要な要素です。
• ザッセンハウス近傍の存在の帰結として、ジョーダン・シューア定理を再現することができます。

• ジョルゲンセンの不等式は、 3 次元双曲空間の等長群の離散部分群に対する定量的な記述を与えます。${\displaystyle \mathrm {PGL} _{2}(\mathbb {C} )}$

• Ballmann, Werner; Gromov, Mikhail; Schroeder, Viktor (1985).非正曲率の多様体. Birkhâuser.
• ミシシッピ州ラグナサン（1972年）。リー群の離散サブグループ。 Ergebnisse de Mathematik および ihrer Grenzgebiete。スプリンガー・フェルラーグ。MR0507234  。
• ラトクリフ、ジョン (2006)。双曲多様体の基礎、第 2 版。シュプリンガー。pp. xii+779。ISBN 978-0387-33197-3。
• サーストン、ウィリアム (1997)。3次元幾何学とトポロジー。第1巻。プリンストン大学出版局。