逆二乗法則

物理科学において、逆二乗法則とは、特定の物理量の観測される「強度」 （すなわち、その物理量の値そのもの）が、その物理量の発生源からの距離の二乗に反比例するという科学法則のことである。この法則の根本的な原因は、点光源からの放射が三次元空間に拡散する際の幾何学的希釈として理解できる。

レーダーのエネルギーは信号送信時と反射帰還時の両方で膨張するため、両経路における逆二乗則は、レーダーが受信するエネルギーが距離の逆四乗に比例することを意味する。

信号を伝搬する際にエネルギーが希釈されるのを防ぐために、導波管を用いる方法や、銃身が高温ガスの膨張を一次元に制限して弾丸へのエネルギー伝達の損失を防ぐ方法など、いくつかの方法が用いられる。

数学的表記では、逆二乗法則は、ある中心からの距離 (d) の関数として変化する強度 (I) として表すことができます。強度は距離の二乗の逆数に 比例します ( ∝ を参照)。$$強度 \propto \{\frac{1}{距離^2}}}$$

数学的に表現すると次のようになります 。 $${\displaystyle {\frac {{\text{intensity}}_{1}}{{\text{intensity}}_{2}}}={\frac {{\text{distance}}_{2}^{2}}{{\text{distance}}_{1}^{2}}}}$$

または定数量の定式化として： $${\displaystyle {\text{intensity}}_{1}\times {\text{distance}}_{1}^{2}={\text{intensity}}_{2}\times {\text{distance}}_{2}^{2}}$$

1つまたは複数の発生源に関する放射状逆二乗法則場の合成であるベクトル場の発散は、局所的な発生源の強度に比例し、したがって外部の発生源に対してはゼロとなる。

ニュートンの万有引力の法則は逆二乗法則に従い、電気、光、音、放射線現象の影響も同様である。

逆二乗法則は、一般的に、ある力、エネルギー、またはその他の保存量が三次元空間内の点源から均一に放射される場合に適用されます。球の表面積（4πr² ）は^半径の二乗に比例するため、放射される放射線が光源から遠ざかるにつれて、光源からの距離の二乗に比例して増加する面積に広がります。したがって、任意の単位面積（点源に直接面している部分）を通過する放射線の強度は、点源からの距離の二乗に反比例します。重力に関するガウスの法則も同様に適用でき、逆二乗の関係に従って作用するあらゆる物理量に適用できます。 

3次元空間における非回転ベクトル場の場合、逆二乗法則は、ソースの外側で発散がゼロになるという性質に対応します。これはより高次元にも一般化できます。一般に、 n次元ユークリッド空間における非回転ベクトル場の場合、ベクトル場の強度「I」は距離「r」とともに逆( n  -  1)^乗法則に従って減少します。

$${\displaystyle I\propto {\frac {1}{r^{n-1}}},}$$

光源の外側の空間は発散がないと仮定する。

ユークリッド空間の基本法則である逆二乗法則は、双曲空間を含む非ユークリッド幾何学にも適用されます。これらの空間に存在する曲率は物理法則を変化させ、宇宙論、一般相対性理論、弦理論などのさまざまな分野に影響を与えます。^{[ 12 ]}

ジョン・D・バロウは、2020年の論文「非ユークリッド・ニュートン宇宙論」の中で、双曲3次元空間（H3）における力（F）とポテンシャル（Φ）の挙動について詳しく説明している。彼は、FとΦがF ∝ 1 / R² sinh²(r/R)およびΦ ∝ coth(r/R)の関係に従うと説明している。ここで、Rは曲率半径、rは焦点からの距離を表す。

イマヌエル・カントが最初に提唱した空間次元の概念は、逆二乗法則に関する議論の的となっている。^{[ 13 ]}ディミトリア・エレクトラ・ガツィアとレックス・D・ラムシエは、2021年の論文で、逆二乗法則は空間の次元よりも力の分布の対称性とより密接に関係していると主張している。

非ユークリッド幾何学と一般相対性理論の文脈では、逆二乗法則からの逸脱は法則自体から生じるのではなく、2つの物体間の力が瞬間的であるという仮定から生じ、これは特殊相対性理論と矛盾する。一般相対性理論は重力を時空の曲率として再解釈し、粒子はこの曲がった時空の中で測地線に沿って運動する。^{[ 14 ]}

14世紀のオックスフォード計算機協会のジョン・ダンブルトンは、関数関係をグラフ形式で表現した最初の一人である。彼は「均一に変形する運動の緯度は中点の角度に対応する」という平均速度定理の証明を与え、この方法を用いて『 Summa logicæ et philosophiæ naturalis』（1349年頃）で照明の強度の定量的減少を研究し、それが距離に線形的に比例しないと述べたが、逆二乗法則を明らかにすることはできなかった。^{[ 15 ]}

天文学者ヨハネス・ケプラーは、著書『Ad Vitellionem paralipomena, quibus astronomiae pars optica traditur』 （1604年）の第1巻の命題9で、点光源からの光の広がりは逆二乗法則に従うと主張した。^{[ 16 ] [ 17 ]}

1645年、フランスの天文学者イスマエル・ブリアルドゥス（1605-1694） は著書『Astronomia Philolaica ...』の中で、ヨハネス・ケプラーの「重力」 ^{[ 18 ]}が距離の逆数に反駁し、代わりに「重力」は距離の二乗の逆数に反駁すると主張した。^{[ 19 ] [ 20 ]}

イギリスでは、英国国教会の司教セス・ウォード（1617年 - 1689年）が、批評『In Ismaelis Bullialdi astronomiae philolaicae fundamenta inquisitio brevis』 （1653年）でブリアルドゥスの考えを公表し、著書『Astronomia geometaica 』（1656年）でケプラーの惑星天文学を公表した。

1663年から1664年にかけて、イギリスの科学者ロバート・フックは著書『ミクログラフィア』（1666年）を執筆し、その中でとりわけ、大気の高さと地表の気圧の関係について論じた。地球は球体であり、大気は地球を取り囲んでいるため、地球表面の単位面積にかかる大気の体積は切頭円錐である（これは地球の中心から宇宙の真空まで伸びており、明らかに地球表面から宇宙までの円錐の部分だけが地球表面にかかっている）。円錐の体積は高さの3乗に比例するが、フックは、重力は高度とともに減少するため、地表の気圧は代わりに大気の高さに比例すると主張した。フックは明示的に述べてはいないが、彼が提案した関係は、重力が地球の中心からの距離の2乗に反比例して減少する場合にのみ成り立つ。^{[ 21 ] [ 22 ]}

ニュートンは独自に重力の逆二乗法則を『プリンキピア』（1686年）で発展させ、導出した。これが後にニュートンとフックの間で書簡による優先権論争につながった。^{[ 23 ]}

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 この記事は、連邦規格1037C（一般調達局）からのパブリックドメイン資料を組み込んでいます。 2022年1月22日にオリジナルからアーカイブされました。

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