ラグランジュ点

天体力学において、ラグランジュ点（/ l ə ˈ ɡ r ɑː n dʒ /、ラグランジュ点または秤動点とも呼ばれる）は、2つの巨大な軌道を回る天体の重力の影響下にある小質量物体の平衡点である。数学的には、これは制限三体問題の解を伴います。^[1]

通常、2つの巨大な物体は一点に不均衡な重力を及ぼし、その点にあるものの軌道を変えます。ラグランジュ点では、2つの大きな物体の重力と遠心力が互いにバランスを取ります。^[2]これにより、ラグランジュ点は衛星にとって最適な場所になります。望ましい軌道を維持するために必要な軌道修正、したがって燃料要件が最小限に抑えられるためです。

2 つの軌道天体の任意の組み合わせには、 5 つのラグランジュ点 L ₁から L ₅があり、すべて 2 つの大きな天体の軌道面内にあります。太陽 - 地球系には 5 つのラグランジュ点があり、地球 - 月系には5 つの異なるラグランジュ点があります。L ₁、 L ₂、および L _{3 は}2 つの大きな天体の中心を通る線上にあり、L ₄と L _{5 は}それぞれ2 つの大きな天体の中心で形成される 正三角形の3 番目の頂点として機能します。

2 つの天体の質量比が十分に大きい場合、L _{4 点}と L ₅点は安定点となり、物体がそれらの周りを周回でき、物体を引き寄せる傾向があります。いくつかの惑星には、太陽に対するL _{4 点}と L _{5点の近くに}トロヤ群小惑星があり、木星には 100 万を超えるトロヤ群小惑星があります。

いくつかのラグランジュ点は宇宙探査に使用されています。太陽地球系における2つの重要なラグランジュ点は、太陽と地球の間にあるL ₁と、地球の反対側の同じ線上にあるL _{2です。どちらも月の軌道からかなり外れています。現在、}深宇宙気候観測衛星（DSCOVR）と呼ばれる人工衛星がL ₁に配置されており、太陽から地球に向かってくる太陽風を調査し、画像を撮影して送信することで地球の気候を監視しています。^{[3]強力な赤外線宇宙観測所で}あるジェイムズ・ウェッブ宇宙望遠鏡は、L ₂に配置されています。^[4]これにより、衛星の大きなサンシールドが太陽、地球、月の光と熱から望遠鏡を保護することができます。L ₁とL _2のラグランジュ点は、地球から約1,500,000 km（930,000マイル）の位置にあります。

欧州宇宙機関の以前のガイア望遠鏡と、新たに打ち上げられたユークリッド望遠鏡も、L ₂の周りの軌道を占めています。ガイアは L _{2 の}周りでより狭いリサージュ軌道を維持し、ユークリッドはJWST に似たハロー軌道をたどります。各宇宙観測所は、太陽電池パネルを電力として利用できるほど地球の影から遠く離れていること、ステーションキーピングに多くの電力や推進剤を必要としないこと、地球の磁気圏の影響を受けないこと、データ転送のために地球に直接視線を向けていることなどの利点があります。

3つの共線的なラグランジュ点（L ₁、L ₂、L _{3 ）は、イタリア生まれの}ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュが残りの2点を発見する10年前の1750年頃にスイスの数学者レオンハルト・オイラーによって発見された。^{[5] [6]}

1772年、ラグランジュは「三体問題に関する論文」を出版した。第一章では、一般的な三体問題を考察した。第二章では、円軌道を持つ任意の3つの質量に対して、共線的解と正三角形的解という2つの特殊な定数パターン解を示した。^[7]

5 つのラグランジュ点は次のようにラベル付けされ、定義されます。

L _{1点は、2 つの大きな質量}M ₁とM ₂の間にある線上にあります。これは、 M ₂の重力とM ₁の重力が組み合わさって平衡状態になる点です。地球よりも太陽に近い軌道を回る物体は、通常、地球よりも短い軌道周期を持ちますが、これは地球の重力の影響を無視したものです。物体が地球と太陽の間にある場合、地球の重力が物体に対する太陽の引力の一部を打ち消し、物体の軌道周期を長くします。物体が地球に近いほど、この影響は大きくなります。L ₁点では、物体の軌道周期は地球の軌道周期と正確に等しくなります。L ₁は、地球から太陽の方向に約 150 万キロメートル、つまり 0.01 au の距離にあります。 ^[1]

L ₂点は、2つの大きな質量を通る線上にあり、小さい方の質量を越えたところにあります。ここでは、2つの大きな質量の合成重力が、L ₂にある物体にかかる遠心力をバランスさせます。地球の太陽の反対側では、物体の公転周期は通常、地球よりも長くなります。地球の重力の余分な引力により、物体の公転周期が減少し、L ₂点では、その公転周期は地球の公転周期と等しくなります。L ₁と同様に、L _{2 は}地球から約150万キロメートルまたは0.01 au（太陽から遠い）離れています。地球-太陽L _{2付近で動作するように設計された宇宙船の例としては、}ジェイムズ・ウェッブ宇宙望遠鏡があります。^[8]以前の例としては、ウィルキンソンマイクロ波異方性探査機とその後継機であるプランクがあります。

L ₃点は、2 つの大きな質量によって定義される線上にあり、2 つのうち大きい方の質量の先にあります。太陽地球システム内では、L ₃点は太陽の反対側、地球の軌道の少し外側、地球よりも太陽の中心からわずかに離れています。この配置は、太陽も地球の重力の影響を受け、太陽本体のかなり内側にある 2 つの天体の重心の周りを公転するためです。太陽から地球までの距離にある物体は、太陽の重力のみを考慮すると、公転周期が 1 年になります。しかし、地球から太陽の反対側にあり、両方と一直線上にある物体は、地球の重力が太陽の重力にわずかに加わることを「感じる」ため、同じ 1 年の周期を持つためには、地球と太陽の重心から少し離れた軌道を公転する必要があります。 L ₃点では、地球と太陽の複合引力により、物体は地球と同じ周期で軌道を回り、事実上、地球と太陽の重心が軌道の 1 つの焦点にある状態で、地球 + 太陽の質量を周回します。

L _{4 点}と L ₅点は、2 つの質量の中心を結ぶ線を共通底とする軌道平面内の2 つの正三角形の 3 番目の頂点に位置し、大きい質量の周りの軌道に関して小さい質量の 60° 前方 (L ₄ ) または後方 (L ₅ ) に位置します。

三角形の点（L ₄と L ₅）は、⁠₁メートル/Ｍ２_​⁠は 24.96 より大きい。^{[注 1]}これは、太陽–地球系、太陽–木星系、そしてより小さい差で地球–月系の場合に当てはまります。これらの点にある物体が摂動を受けると、その点から離れていきますが、摂動によって増加または減少する係数 (重力または角運動量による速度) の反対の係数も増加または減少し、物体の軌道は、その点の周りの安定したインゲン豆形の軌道に曲がります (共回転参照フレームで見られるように)。^[9]

点 L ₁、 L ₂、および L _{3 は}不安定な平衡の位置です。L ₁、 L ₂、または L ₃を周回する物体は、軌道から外れがちです。そのため、これらの場所に自然物体が存在することはまれであり、これらの領域に存在する宇宙船は、位置を維持するために 、わずかながらも重要な位置維持を行う必要があります。

_{L 4}と L ₅は自然に安定しているため、惑星系のこれらのラグランジュ点を周回する自然物体が見つかることはよくあります。これらの点にある物体は、一般的に「トロヤ群」または「トロヤ小惑星」と呼ばれます。この名前は、太陽と木星の間のL ₄と L ₅点を周回する小惑星に付けられた名前に由来しており、これらの名前は、トロイ戦争を舞台にした叙事詩であるホメロスの『イリアス』に登場する神話の登場人物に由来しています。木星の前方にある L ₄点の小惑星は、『イリアス』のギリシャの登場人物にちなんで名付けられ、「ギリシャ陣営」と呼ばれています。L 5_{点の小惑星はトロイの登場人物にちなんで名付けられ、「}トロイ陣営」と呼ばれています。どちらの陣営も、トロイの天体の一種であると考えられています。

太陽と木星は太陽系で最も質量の大きい天体であるため、太陽と木星のトロヤ群は他のどの天体よりも多く知られています。ただし、他の軌道系のラグランジュ点にある天体の数はそれより少ないです。

• 太陽-地球L4_点とL5_点には惑星間塵と少なくとも2つの小惑星2010 TK 7と2020 XL 5が存在する。^{[10] [11] [12]}
• 地球-月間のL4_点とL5_点には、コルディレフスキー雲として知られる惑星間塵が集中している。^{[13] [14]}これらの特定の地点の安定性は、太陽の重力の影響によって大きく複雑になっている。^[15]
• 太陽-海王星のL4_点と_L5点には、数十個の既知の天体、海王星トロヤ群が含まれています。^[16]
• 火星には、 5261ユーレカ、1999 UJ 7、1998 VF 31、2007 NS 2という 4 つの火星トロヤ群小惑星が認められています。
• 土星の衛星テティスには、L ₄点と L ₅点に、土星の 2 つの小さな衛星、テレストとカリプソがあります。土星の別の衛星ディオネにも、2 つのラグランジュ共軌道があり、L _4点にヘレーネ、 L _{5 点}にポリデウケスがあります。これらの衛星はラグランジュ点の周りを方位角で移動しており、ポリデウケスが最も大きくずれ、土星とディオネの L ₅点から最大 32° 離れています。
• 巨大衝突仮説の一つのバージョンでは、テイアと呼ばれる物体が太陽と地球のL4_点またはL5_点で形成され、軌道が不安定になった後に地球に衝突して月が形成されたと仮定しています。^[17]
• 連星では、ロッシュローブの頂点は_L1にあります。もし一方の恒星がロッシュローブを超えて膨張すると、伴星に物質を失うことになり、ロッシュローブオーバーフローと呼ばれます。^[18]

馬蹄形の軌道上にある天体は、誤ってトロヤ群と説明されることがあります。しかし、これらの天体はラグランジュ点を占めません。馬蹄形の軌道上にある既知の天体には、地球を含む3753 クルイトネ、および土星の衛星エピメテウスとヤヌスがあります。

ラグランジュ点は、制限された三体問題の定数パターンの解です。たとえば、共通の重心の周りを軌道上に周回する 2 つの質量の大きい物体がある場合、比較的無視できる質量を持つ 3 番目の物体を 2 つの質量の大きい物体に対して相対的に位置を維持するために配置できる空間内の位置は 5 つあります。これは、2 つの質量の大きい物体の合成重力が、それらの軌道運動と一致する円運動を維持するために必要な正確な求心力を提供するためです。

あるいは、 2 つの共軌道物体の角速度と一致する回転基準フレームで見ると、ラグランジュ点において、 2 つの巨大な物体の複合重力場が遠心力擬似力をバランスさせ、より小さな 3 番目の物体が最初の 2 つの物体に対して (このフレーム内で) 静止したままになります。

_{L 1}の位置は、重力が向心力を与える次の式の解です。 ここで、rは L ₁点から小さい方の物体までの距離、 Rは 2 つの主な物体間の距離、M ₁とM _{2 は}それぞれ大きい物体と小さい物体の質量です。右側の括弧内の量は、質量中心からの L _{1の距離です}。rの解は、次の5 次関数の唯一の実根です。$${\displaystyle {\frac {M_{1}}{(Rr)^{2}}}-{\frac {M_{2}}{r^{2}}}=\left({\frac {M_{1}}{M_{1}+M_{2}}}Rr\right){\frac {M_{1}+M_{2}}{R^{3}}}}$$

$${\displaystyle x^{5}+(\mu -3)x^{4}+(3-2\mu )x^{3}-(\mu )x^{2}+(2\mu )x-\mu =0}$$ ここで、はM ₂ の質量分率、 は正規化された距離です。小さい方の物体 ( M ₂ ) の質量が大きい方の物体 ( M ₁ )の質量よりもはるかに小さい場合、 L ₁と L _{2 は}小さい方の物体からほぼ等しい距離rにあります。これはヒル球の半径に等しく、次のように表されます。 $${\displaystyle \mu ={\frac {M_{2}}{M_{1}+M_{2}}}}$$$${\displaystyle x={\frac {r}{R}}}$$$${\displaystyle r\approx R{\sqrt[{3}]{\frac {\mu }{3}}}}$$

これを次のように書くこともできます。 物体の潮汐力の影響はその質量を距離の3 乗 で割ったものに比例する ため、L ₁点または L ₂点における小さい方の物体の潮汐力の影響はその物体の約 3 倍であることを意味します。また、次のように書くこともできます。 ここで、ρ ₁とρ _{2 は}2 つの物体の平均密度、d ₁とd ₂は直径です。直径と距離の比は物体が張る角度を与え、これら 2 つのラグランジュ点から見ると 2 つの物体の見かけの大きさが同じであることがわかります。特に、地球と太陽の場合のように、小さい方の密度が大きい方の密度の約 3 倍の場合は同じになります。 $${\displaystyle {\frac {M_{2}}{r^{3}}}\approx 3{\frac {M_{1}}{R^{3}}}}$$$${\displaystyle \rho _{2}\left({\frac {d_{2}}{r}}\right)^{3}\approx 3\rho _{1}\left({\frac {d_{1}}{R}}\right)^{3}}$$

この距離は、M ₁が存在しない場合にこの距離を半径としてM _{2 の}周りを回る円軌道に対応する軌道周期が、M _2がM ₁の周りを回る周期を√ 3 ≈ 1.73で割った値になるように記述できます。 $${\displaystyle T_{s,M_{2}}(r)={\frac {T_{M_{2},M_{1}}(R)}{\sqrt {3}}}.}$$

_{L 2}の位置は、次の方程式の解であり、重力は向心力を与える。 パラメータはL _{1 の}場合と同様に定義される。対応する五次方程式は、 $${\displaystyle {\frac {M_{1}}{(R+r)^{2}}}+{\frac {M_{2}}{r^{2}}}=\left({\frac {M_{1}}{M_{1}+M_{2}}}R+r\right){\frac {M_{1}+M_{2}}{R^{3}}}}$$$${\displaystyle x^{5}+x^{4}(3-\mu )+x^{3}(3-2\mu )-x^{2}(\mu )-x(2\mu )-\mu =0}$$

また、小さい方の物体の質量 ( M ₂ ) が大きい方の物体の質量 ( M ₁ ) よりもはるかに小さい場合、 L _{2 は}ヒル球の半径とほぼ同じになり、次のように表されます。 $${\displaystyle r\approx R{\sqrt[{3}]{\frac {\mu }{3}}}}$$

_{潮汐の影響と見かけの大きさについては、L 1}点の場合と同じことが当てはまります。たとえば、L ₂から見た太陽の角度半径は arcsin( ⁠695.5 × 10 ³/151.1 × 10 ⁶⁠ ) ≈ 0.264°であるのに対し、地球のそれはarcsin( ⁠6371/1.5 × 10 ⁶⁠ ) ≈ 0.242°。L ₂から太陽を見ると、金環日食が見られます。ガイアのような宇宙船が、太陽電池パネルに十分な太陽光が当たるようにするには、 L _{2の周りの}リサージュ軌道またはハロー軌道をたどる必要があります。

_{L 3}の位置は、重力が向心力を与える次の式の解である。 パラメータM ₁、M ₂、R はL ₁および L _{2 の}場合と同様に定義され、r はL ₃から大きい方の物体の中心までの距離がR  −  rとなるように定義される。小さい方の物体の質量 ( M ₂ ) が大きい方の物体の質量 ( M ₁ ) よりもはるかに小さい場合、次の式が成り立つ。^[20]$${\displaystyle {\frac {M_{1}}{\left(R-r\right)^{2}}}+{\frac {M_{2}}{\left(2R-r\right)^{2}}}=\left({\frac {M_{2}}{M_{1}+M_{2}}}R+R-r\right){\frac {M_{1}+M_{2}}{R^{3}}}}$$

$${\displaystyle r\approx R{\tfrac {7}{12}}\mu .}$$

_{したがって、L 3}から大きい方の物体までの距離は、2 つの物体間の距離よりも小さくなります (ただし、L ₃と重心の間の距離は、小さい方の物体と重心の間の距離よりも大きくなります)。

これらの点が釣り合っている理由は、L ₄と L ₅で2 つの質量までの距離が等しいためです。したがって、2 つの質量のある物体からの重力は、2 つの物体の質量と同じ比率になり、その結果生じる力はシステムの重心を通して作用します。さらに、三角形の形状により、結果として生じる加速度は、2 つの質量のある物体の場合と同じ比率で重心からの距離に対して生じます。重心は3 体系の質量中心と回転中心の両方であるため、この結果生じる力は、ラグランジュ点にある小さい方の物体を、体系の他の 2 つの大きい物体と軌道平衡に保つために必要な力とまったく同じです(実際、3 番目の物体の質量は無視できるほど小さい必要があります)。一般的な三角形の構成は、3 体問題に取り組むラグランジュによって発見されました。

両方の天体を通る線に沿った点における軌道上の物体の 半径方向加速度aは、次のように与えられます。 ここで、 rは大きな天体M ₁からの距離、Rは 2 つの主な天体間の距離、 sgn( x ) はxの符号関数です。この関数の項はそれぞれ、M _{1からの力、} M ₂からの力、および向心力を表します。点 L ₃、 L ₁、 L _{2 は}加速度がゼロの場所です (右のグラフを参照)。正の加速度はグラフの右側に向かう加速度で、負の加速度は左側に向かう加速度です。これが、重力井戸の反対側で加速度の符号が逆になる理由です。 $${\displaystyle a=-{\frac {GM_{1}}{r^{2}}}\operatorname {sgn}(r)+{\frac {GM_{2}}{(R-r)^{2}}}\operatorname {sgn}(R-r)+{\frac {G{\bigl (}(M_{1}+M_{2})r-M_{2}R{\bigr )}}{R^{3}}}}$$

L ₁、 L ₂、および L ₃点は名目上不安定ですが、 3 体系ではこれらの点の周囲にハロー軌道と呼ばれる準安定周期軌道が存在します。太陽系などの完全なn体系力学系にはこれらの周期軌道はありませんが、リサジュー曲線の軌道に従う準周期軌道 (つまり、境界があるが正確に繰り返されない軌道) は存在します。これらの準周期リサジュー軌道は、これまでほとんどのラグランジュ点宇宙ミッションで使用されてきたものです。完全に安定しているわけではありませんが、適度な位置維持の努力により、宇宙船を望ましいリサジュー軌道に長時間維持することができます。

太陽-地球-L ₁ミッションの場合、太陽と地球を結ぶ線によって地球と宇宙船の通信に対する太陽からの干渉が増加するため、宇宙船は L ₁に留まるよりも、L _{1の周りの大振幅 (100,000～200,000 km、または 62,000～124,000 マイル) のリサージュ軌道に乗ることが望ましい。同様に、L 2}の周りの大振幅のリサージュ軌道は探査機を地球の影から遠ざけ、太陽電池パネルの継続的な照明を確保する。

L4 点と L5 点は、主天体 (例えば地球) の質量が副天体 (例えば月) の質量の少なくとも25 ^{[注 1]倍である場合に安定します[21] [22]。}地球の質量は月の 81 倍を超えます (月の質量は地球の 1.23% です^[23] )。L _{4 点}と L ₅点は、上記の有効ポテンシャル等高線図のように「丘」の頂上にありますが、それでも安定しています。安定している理由は、二次効果です。物体が正確なラグランジュ位置から離れると、コリオリの加速度(軌道を周回する物体の速度に依存し、等高線図としてモデル化することはできません) ^[22]によって、軌道が点の周りを回る (点から離れるのではなく) 経路に曲げられます。^{[22] [24]}安定性の源はコリオリの力であるため、結果として得られる軌道は安定しているが、一般的には平面ではなく「3次元」である。つまり、それらは黄道面と交差する歪んだ表面上に存在する。典型的にはL4とL5の周囲にネストされて示される腎臓形の軌道は、_平面（_例えば黄道）上の軌道の投影であり、完全な3次元軌道ではない。

この表は、太陽系内のL ₁、 L ₂、および L ₃のサンプル値を示しています。計算では、2 つの天体が半長軸に等しい距離で完全な円を描いて軌道を回っており、近くに他の天体がないものと仮定しています。距離は大きい方の天体の質量中心から測定されます (ただし、特に月と木星の場合は重心を参照)。L ₃は負の方向を示します。パーセンテージの列は、半長軸と比較した軌道からの距離を示しています。たとえば、月の場合、L ₁は地球の中心から326,400km離れており、これは地球と月の距離の84.9%、または月の「前方」（地球側）の15.1%に あたります_。L2は地球の中心から448,900km離れており、これは地球と月の距離の116.8%、つまり月から16.8%離れたところにあり ます。L3_は地球の中心から−381,700 km離れて おり、これは地球と月の距離の 99.3% または月の「負」の位置の内側 (地球方向) に 0.7084% あります。

太陽・地球L _1は、太陽・地球系の観測に適しています。ここにある物体は地球や月の影になることはなく、地球を観測する場合は常に太陽に照らされた半球を観測します。このタイプの最初のミッションは、1978年の国際太陽地球探検家3号（ISEE-3）ミッションであり、太陽擾乱の惑星間早期警報嵐モニターとして使用されました。^[25] 2015年6月以来、DSCOVRはL ₁ポイントを周回しています。逆に、このポイントは太陽の途切れることのない観察を提供し、宇宙天気（太陽風やコロナ質量放出を含む）が地球より最大1時間早くL _{1に到達するため、宇宙ベースの}太陽望遠鏡にも役立ちます。現在L _{1の周りに位置する太陽および太陽圏ミッションには、}太陽・太陽圏観測衛星、風、アディティアL1ミッション、高度構成探査機などがあります。計画されているミッションには、星間マッピングおよび加速探査機（IMAP）とNEOサーベイヤーが含まれます。

太陽・地球 L ₂は宇宙観測所にとって良い地点である。L ₂の周りの物体は太陽と地球に対して同じ相対位置を維持するため、遮蔽と較正がは​​るかに簡単である。しかし、地球の本影の届く範囲をわずかに超えているため[ ^26]、 L ₂では太陽放射が完全に遮断されるわけではない。宇宙船は通常、一定の温度を維持するために太陽の部分日食を避けながらL _{2 の周りを周回する。L 2}の近くの場所では、太陽、地球、月が空で比較的接近しているため、望遠鏡を暗い側にして大きな日よけを設置すると、望遠鏡を受動的に約 50 K まで冷却できる。これは、赤外線天文学や宇宙マイクロ波背景放射の観測に特に役立つ。ジェイムズ・ウェッブ宇宙望遠鏡は、 2022年1月24日に L _{2 の}ハロー軌道に配置された。

太陽と地球のL1_とL2_は鞍点であり、約23日の時定数で指数関数的に不安定です。これらの点にある衛星は、軌道修正が行われない限り、数か月以内に軌道から外れてしまいます。^[9]

太陽地球 L _{3 は、宇宙時代のはるか以前に}軌道力学と惑星同士の軌道摂動が理解されるようになってからは、この場所に惑星が存在することは不可能だと理解されていたにもかかわらず、パルプ サイエンス フィクションや漫画では「反地球」を置くのに人気の場所でした。地球サイズの天体が他の惑星に与える影響は検出されずに済んだはずであり、反地球の質量のために地球の軌道楕円の焦点が予想される場所にないという事実も検出されなかったはずです。ただし、太陽地球 L ₃は弱い鞍点であり、時定数が約 150 年で指数関数的に不安定です。^[9]さらに、他の惑星の重力は地球よりも強いため、大小を問わず自然物を長期間保持することはできません（たとえば、金星は20か月ごとにこのL3の_0.3 AU以内に近づきます ）。^[要出典]

_{太陽-地球L3}付近を周回する宇宙船は、活発な黒点領域が地球効果位置に回転する前にその進化を綿密に監視することができるため、NOAA 宇宙天気予報センターから7日前の早期警報が発令される可能性がある。さらに、太陽-地球L3付近の衛星は、_地球予報だけでなく、深宇宙支援（火星予報や地球近傍小惑星への有人ミッション）にも非常に重要な観測結果を提供する。2010年には、太陽-地球L3への宇宙船の移行軌道_が研究され、いくつかの設計が検討された。^[27]

地球-月L1_は、速度変化を最小限に抑えて月と地球の軌道に比較的簡単にアクセスでき、これは貨物と人員を月まで輸送することを目的とした居住可能な宇宙ステーションを配置するのに有利です。SMART -1ミッション^{[28]は2004年11月11日に}_L1ラグランジュ点を通過し、月の重力の影響が支配的な領域に入りました。

地球-月L2_は、 2018年に打ち上げられた鵲橋など、月の裏側をカバーする通信衛星に使用されており、 ^{[29]提案されている貯蔵所ベースの宇宙輸送アーキテクチャの一部としての}燃料貯蔵所にとって「理想的な場所」となるだろう。^[30]

地球-月 L ₄と L _{5 は}、コルディレフスキーの塵雲の場所です。^[31] L5協会の名前は、地球-月系の L ₄と L ₅ラグランジュ点に由来しており、巨大な回転する宇宙居住地の位置として提案されています。両方の位置は、地球をカバーする静止軌道の通信衛星と同様に、月をカバーする通信衛星の位置としても提案されています。 ^{[32] [33]}

B612財団の科学者たちは^[34]、金星のL3_点を利用してセンチネル望遠鏡を設置する計画を立てていた。センチネル望遠鏡は地球の軌道を振り返り、地球近傍小惑星のカタログを作成することを目的としていた^[35]。

2017年、NASAの会議では、火星の人工磁気圏として使用するために太陽-火星L1点に磁気双極子シールド_を配置するというアイデアが議論されました。 ^[36]これは、火星の大気を太陽の放射線と太陽風から保護するというアイデアです。

ウィキメディア・コモンズには、ラグランジュ点に関連するメディアがあります。

• ジョセフ＝ルイ、ラグランジュ伯爵、『āuvres』第 6 巻、« Essai sur le Problème des Trois Corps »—Essai (PDF) より。ソース 書籍 6 (閲覧者)
  • J.-L. ラグランジュ著「三体問題に関するエッセイ」、上記からの翻訳、merlyn.demon.co.uk 2019-06-23 にWayback Machineでアーカイブ。
• motu corporum coelestium に関する考察— Leonhard Euler —転写および翻訳 at merlyn.demon.co.uk 2020 年 8 月 3 日にWayback Machineにアーカイブ。
• ZIPファイル - JRストックトン - ラグランジュのエッセイとオイラーの関連論文2本の翻訳が含まれています
• ラグランジュ点とは何か？—欧州宇宙機関のページ、わかりやすいアニメーション付き
• ラグランジュ点の説明—ニール・J・コーニッシュ
• NASAの説明（ニール・J・コーニッシュによるとも言われる）
• ラグランジュ点の説明—ジョン・バエズ
• ラグランジュ点の位置と近似値—デイビッド・ピーター・スターン
• 2 体系の 5 つのラグランジュ点の正確な位置を計算するオンライン計算機 - Tony Dunn
• 天文学キャスト - 第 76 回: 「ラグランジュ ポイント」 (フレイザー ケインとパメラ L. ゲイ著)
• ニール・ドグラース・タイソン著『ラグランジュの五原則』
• 地球、単独のトロイア人を発見
• NASA:宇宙飛行の基礎、第5章の静止トランスファー軌道のセクションのラグランジュ点とハロー軌道のサブセクションを参照してください。