シトニコフ問題

シトニコフ問題は、ロシアの数学者キリル・アレクサンドロヴィチ・シトニコフにちなんで名付けられた三体問題の限定版であり、3つの天体が相互の重力によってどのように運動するかを記述しようとする問題である。シトニコフ問題の特殊なケースは、1911年にアメリカの科学者ウィリアム・ダンカン・マクミランによって初めて発見されたが、現在の形での問題が発見されたのは1961年にシトニコフ自身によるものである。

このシステムは、同じ質量を持つ2つの主要な物体から構成されている。${\displaystyle \left(m_{1}=m_{2}={\tfrac {m}{2}}\right)}$それらは、重心の周りを円軌道または楕円軌道で運動する。3番目の天体は、主天体よりもかなり小さく、質量はゼロに設定できる。${\displaystyle (m_{3}=0)}$は、主天体の軌道面に垂直な平面内で主天体の影響を受けて運動する（図1参照）。系の原点は主天体の焦点にある。主天体の質量の合計は${\displaystyle m=1}$天体の公転周期$2π$、そして天体の軌道の半径${\displaystyle a=1}$このシステムでは、 が使用されます。さらに、重力定数は 1 です。このようなシステムでは、第 3 の物体は 1 次元のみで運動します。つまり、z 軸に沿ってのみ運動します。

主天体の円軌道の場合の運動方程式を導出するには、全エネルギーが${\displaystyle \,E}$は：

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}-{\frac {1}{r}}}$

時間に関して微分すると、方程式は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=-{\frac {z}{r^{3}}}}$

図1によれば、これもまた真実である。

${\displaystyle r^{2}=a^{2}+z^{2}=1+z^{2}}$

したがって、運動方程式は次のようになる。

${\displaystyle {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=-{\frac {z}{\left({\sqrt {1+z^{2}}}\right)^{3}}}}$

これは自由度が1つであるため、積分可能なシステムを表しています。

一方、主天体が楕円軌道で運動する場合、運動方程式は次のようになる。

${\displaystyle {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=-{\frac {z}{\left({\sqrt {\rho (t)^{2}+z^{2}}}\right)^{3}}}}$

どこ${\displaystyle \rho (t)=\rho (t+2\pi )}$は、それぞれの主粒子とそれらの共通重心からの距離です。これで、このシステムは1.5自由度を持ち、カオス的であることが知られています。

現実世界では、シトニコフ問題のように3つの天体を正確に見つけたり配置したりすることはほぼ不可能ですが、この問題は何十年にもわたって広く集中的に研究されてきました。これはより一般的な3体問題の単純なケースではありますが、カオスシステムのあらゆる特性がこの問題の中に見出されるため、シトニコフ問題はカオス力学系における効果に関する一般的な研究に理想的なものとなっています。

• 天体力学
• カオス理論
• 二体問題

• K.A.シトニコフ：三体問題における振動運動の存在。『ソ連科学アカデミー紀要』 133/1960、303-306頁 、ISSN 0002-3264（英語訳：『ソ連物理学紀要』 5/1960、647-650頁） 
• K. ウォドナー：オリジナルのシトニコフ論文 ― 新たな知見。『天体力学と動的天文学』 56/1993、pp.  99–101、ISSN 0923-2958、pdf 
• D. Hevia、F. Rañada:三体問題におけるカオス：シトニコフのケース。European Journal of Physics、17/1996、pp.  295–302、ISSN 0143-0807、pdf 
• ルドルフ・ドヴォルザーク、フロリアン・フライシュテッター、J・クルツ、『惑星系におけるカオスと安定性』、シュプリンガー、2005年、ISBN 3540282084
• J. モーザー著「安定運動とランダム運動」プリンストン大学出版局、1973年、ISBN 978-0691089102

• シトニコフ問題 – Scholarpedia