一般逆

数学、特に代数学において、元xの一般化逆行列(またはg 逆行列) とは、逆元の特性のいくつかは備えているが、必ずしもすべての特性を備えているとは限らない元y のことです。行列の一般化逆行列を構築する目的は、可逆行列よりも広いクラスの行列に対して、ある意味で逆行列として機能する行列を取得することです。一般化逆行列は、結合乗算を含む任意の数学的構造、つまり半群で定義できます。この記事では、行列の一般化逆行列について説明します。 ${\displaystyle A}$

ある行列が一般化逆行列であるとは、^{[1] [2] [3]}任意の行列に対して一般化逆行列が存在し、行列に正則逆行列がある場合、この逆行列はその行列の唯一の一般化逆行列である。^[1]${\displaystyle A^{\mathrm {g} }\in \mathbb {R} ^{n\times m}}$${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$${\displaystyle AA^{\mathrm {g} }A=A.}$

線形システムを考える

${\displaystyle Ax=y}$

ここで は行列であり、の列空間である。が非特異であれば、 は系の解となる。 が非特異であれば、 ${\displaystyle A}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle y\in {\mathcal {C}}(A),}$${\displaystyle A}$${\displaystyle m=n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x=A^{-1}y}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle AA^{-1}A=A.}$

ここで、が長方形（）、または正方形で特異であると仮定します。すると、すべての に対して となる正しい候補が必要になります。${\displaystyle A}$${\displaystyle m\neq n}$${\displaystyle G}$${\displaystyle n\times m}$${\displaystyle y\in {\mathcal {C}}(A),}$

${\displaystyle AGy=y.}$^[4]

つまり、は線形システム の解である。同様に、次の の 位数の行列が必要である。${\displaystyle x=Gy}$${\displaystyle Ax=y}$${\displaystyle G}$${\displaystyle n\times m}$

${\displaystyle AGA=A.}$

したがって、一般化逆行列を次のように定義することができます。行列 が与えられたとき、次の場合、行列はの一般化逆行列であるといわれます‍ [ ^{1] [2] [3]}行列は、一部の著者によっての正則逆行列と呼ばれています。 ^[5]${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle n\times m}$${\displaystyle G}$${\displaystyle A}$${\displaystyle AGA=A.}$${\displaystyle A^{-1}}$${\displaystyle A}$

一般化逆逆の重要なタイプは次のとおりです。

• 片側逆（右逆または左逆）
  • 右逆行列: 行列の次元がおよび である場合、の右逆行列と呼ばれる行列が存在し、 となります。ここで は単位行列です。${\displaystyle A}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle {\textrm {rank}}(A)=m}$${\displaystyle n\times m}$${\displaystyle A_{\mathrm {R} }^{-1}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle AA_{\mathrm {R} }^{-1}=I_{m}}$${\displaystyle I_{m}}$${\displaystyle m\times m}$
  • 左逆行列: 行列の次元がとの場合、の左逆行列と呼ばれる行列が存在し、 となる。ここでは単位行列である。^[6]${\displaystyle A}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle {\textrm {rank}}(A)=n}$${\displaystyle n\times m}$${\displaystyle A_{\mathrm {L} }^{-1}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A_{\mathrm {L} }^{-1}A=I_{n}}$${\displaystyle I_{n}}$${\displaystyle n\times n}$
• ボット・ダフィン逆行列
• ドラジン逆
• ムーア・ペンローズ逆関数

いくつかの一般化逆関数は、ペンローズ条件に基づいて定義され、分類されます。

1. ${\displaystyle AA^{\mathrm {g} }A=A}$
2. ${\displaystyle A^{\mathrm {g} }AA^{\mathrm {g} }=A^{\mathrm {g} }}$
3. ${\displaystyle (AA^{\mathrm {g} })^{*}=AA^{\mathrm {g} }}$
4. ${\displaystyle (A^{\mathrm {g} }A)^{*}=A^{\mathrm {g} }A,}$

ここで、 は共役転置を表す。 が最初の条件を満たす場合、 はの一般逆である。 が最初の 2 つの条件を満たす場合、 は の反射的一般逆である。 が 4 つの条件すべてを満たす場合、 はの擬似逆であり、 と表記され、 EH ムーアとロジャー・ペンローズによる先駆的な研究にちなんで、ムーア・ペンローズ逆とも呼ばれる。^{[2] [7] [8] [9] [10] [11]}の-逆を、上記のペンローズ条件のサブセットを満たす逆として定義すると便利である。 などの関係は、これらの異なる -逆のクラス間で確立できる。^[1]${\displaystyle {}^{*}}$${\displaystyle A^{\mathrm {g} }}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{+}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle A}$${\displaystyle I\subset \{1,2,3,4\}}$${\displaystyle A^{(1,4)}AA^{(1,3)}=A^{+}}$${\displaystyle I}$

が特異でない場合、任意の一般逆関数およびは一意です。 が特異な場合、Drazin 逆関数や Moore–Penrose 逆関数などの一部の一般逆関数は一意ですが、他の一般逆関数は一意に定義されるとは限りません。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{\mathrm {g} }=A^{-1}}$${\displaystyle A}$

させて

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}},\quad G={\begin{bmatrix}-{\frac {5}{3}}&{\frac {2}{3}}&0\\[4pt]{\frac {4}{3}}&-{\frac {1}{3}}&0\\[4pt]0&0&0\end{bmatrix}}.}$

は特異であり、正則逆関数は存在しないため、と はペンローズ条件 (1) と (2) を満たしますが、(3) と (4) は満たしません。したがって、は の反射的一般逆関数です。 ${\displaystyle \det(A)=0}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle A}$

させて

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}},\quad A_{\mathrm {R} }^{-1}={\begin{bmatrix}-{\frac {17}{18}}&{\frac {8}{18}}\\[4pt]-{\frac {2}{18}}&{\frac {2}{18}}\\[4pt]{\frac {13}{18}}&-{\frac {4}{18}}\end{bmatrix}}.}$

は正方行列ではないので、 には正規の逆行列はありません。しかし、は の右逆行列です。この行列には左逆行列はありません。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A_{\mathrm {R} }^{-1}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

任意の半群（または環。任意の環内の乗法関数は半群である ため）において、元bが元aの一般逆となるのは、次の場合のみである。${\displaystyle a\cdot b\cdot a=a}$

環の元 3 の一般逆元は3、7、11 です。これは、環 では次のようになるためです。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$

${\displaystyle 3\cdot 3\cdot 3=3}$

${\displaystyle 3\cdot 7\cdot 3=3}$

${\displaystyle 3\cdot 11\cdot 3=3}$

環の元 4 の一般逆元は1、4、7、10 です。これは、環 では次のようになるためです。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$

${\displaystyle 4\cdot 1\cdot 4=4}$

${\displaystyle 4\cdot 4\cdot 4=4}$

${\displaystyle 4\cdot 7\cdot 4=4}$

${\displaystyle 4\cdot 10\cdot 4=4}$

半群 (または環) 内の要素aに逆元がある場合、その逆元は、環 内の要素 1、5、7、および 11 のように、この要素の唯一の一般化逆元でなければなりません。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$

環 では、任意の元が 0 の一般逆元ですが、となるようなb が存在しないため、 2には一般逆元がありません。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$${\displaystyle 2\cdot b\cdot 2=2}$

以下の特徴は簡単に確認できます。

• 非正方行列 の右逆行列は、行のフルランクを持つ場合、で与えられる。 ^[6]${\displaystyle A}$${\displaystyle A_{\mathrm {R} }^{-1}=A^{\intercal }\left(AA^{\intercal }\right)^{-1}}$${\displaystyle A}$
• 非正方行列の左逆行列は、列フルランクを持つ場合、で与えられる。 ^[6]${\displaystyle A}$${\displaystyle A_{\mathrm {L} }^{-1}=\left(A^{\intercal }A\right)^{-1}A^{\intercal }}$${\displaystyle A}$
• が階数分解である場合、 はの g 逆数です。ここで、 はの右逆数であり、 はの左逆数です。${\displaystyle A=BC}$${\displaystyle G=C_{\mathrm {R} }^{-1}B_{\mathrm {L} }^{-1}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C_{\mathrm {R} }^{-1}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle B_{\mathrm {L} }^{-1}}$${\displaystyle B}$
• 任意の非特異行列およびに対して である場合、 は任意のおよび に対しての一般化逆行列です。${\displaystyle A=P{\begin{bmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{bmatrix}}Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle G=Q^{-1}{\begin{bmatrix}I_{r}&U\\W&V\end{bmatrix}}P^{-1}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle U,V}$${\displaystyle W}$
• が階数 であるとします。一般性を失うことなく、が の非特異部分行列であるとします。すると、 が の一般化逆行列となるのは、 の場合のみとなります。${\displaystyle A}$${\displaystyle r}$$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}B&C\\D&E\end{bmatrix}},}$$${\displaystyle B_{r\times r}}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle G={\begin{bmatrix}B^{-1}&0\\0&0\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle E=DB^{-1}C}$

一般逆行列は、線形方程式系に解が存在するかどうか、存在する場合はその全てを判定するために使用できます。n × m線形方程式系 に解が存在する場合、

${\displaystyle Ax=b}$、

未知数のベクトルと定数のベクトルを用いると、すべての解は次のように与えられる。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle x=A^{\mathrm {g} }b+\left[I-A^{\mathrm {g} }A\right]w}$、

は任意のベクトル 上のパラメトリックであり、 は の任意の一般逆である。が解である場合に限り、つまり である場合に限り、解が存在する。Aがフル列ランクである場合、この式の括弧内の式はゼロ行列であるため、解は一意である。^[12]${\displaystyle w}$${\displaystyle A^{\mathrm {g} }}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{\mathrm {g} }b}$${\displaystyle AA^{\mathrm {g} }b=b}$

行列の一般逆行列は次のように特徴付けられる。、および ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$

$${\displaystyle A=U{\begin{bmatrix}\Sigma _{1}&0\\0&0\end{bmatrix}}V^{\operatorname {T} }}$$

をその特異値分解とする。すると、任意の一般逆行列 に対して、 ^[1]行列、、 が存在し、 ${\displaystyle A^{g}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$

$${\displaystyle A^{g}=V{\begin{bmatrix}\Sigma _{1}^{-1}&X\\Y&Z\end{bmatrix}}U^{\operatorname {T} }.}$$

逆に、この形式の行列に対する、、 の任意の選択は の一般逆行列です。^[1] -逆行列はに対するものとまったく同じであり、-逆行列は に対するものとまったく同じであり、-逆行列は に対するものとまったく同じです。特に、擬似逆行列は によって与えられます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \{1,2\}}$${\displaystyle Z=Y\Sigma _{1}X}$${\displaystyle \{1,3\}}$${\displaystyle X=0}$${\displaystyle \{1,4\}}$${\displaystyle Y=0}$${\displaystyle X=Y=Z=0}$

$${\displaystyle A^{+}=V{\begin{bmatrix}\Sigma _{1}^{-1}&0\\0&0\end{bmatrix}}U^{\operatorname {T} }.}$$

実際のアプリケーションでは、一般化された逆行列によって保存される必要がある行列変換のクラスを識別する必要があります。たとえば、ムーア-ペンローズ逆行列は、ユニタリ行列UとV を含む変換に関して次の一貫性の定義を満たします。 ${\displaystyle A^{+},}$

${\displaystyle (UAV)^{+}=V^{*}A^{+}U^{*}}$。

ドラジン逆行列は、特異でない行列Sを含む相似変換に関して、次の一貫性の定義を満たします。 ${\displaystyle A^{\mathrm {D} }}$

${\displaystyle \left(SAS^{-1}\right)^{\mathrm {D} }=SA^{\mathrm {D} }S^{-1}}$。

単位無矛盾（UC）逆行列^{[13]は、非特異対角行列} DとEを含む変換に関して次の無矛盾性の定義を満たす。 ${\displaystyle A^{\mathrm {U} },}$

${\displaystyle (DAE)^{\mathrm {U} }=E^{-1}A^{\mathrm {U} }D^{-1}}$。

ムーア・ペンローズ逆変換は回転（正規直交変換）に関して一貫性を提供するため、物理学やユークリッド距離を維持する必要があるその他のアプリケーションで広く使用されています。対照的に、UC 逆変換は、システムの動作が、マイルとキロメートルなど、異なる状態変数の単位の選択に関して不変であると予想される場合に適用できます。

• ブロック行列擬似逆行列
• 通常のセミグループ

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• キャンベル、スティーブン L.; マイヤー、カール D. (1991)。一般化された線形変換の逆。ドーバー。ISBN 978-0-486-66693-8。
• ホーン、ロジャー・アラン、ジョンソン、チャールズ・ロイヤル（1985）。マトリックス分析。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-38632-6。
• 中村 善彦 (1991)。『アドバンスト・ロボティクス：冗長性と最適化』アディソン・ウェスレー。ISBN 978-0201151985。
• ラオ、C. ラダクリシュナ; ミトラ、スジット クマール (1971)。一般化逆行列とその応用。ニューヨーク: ジョン ワイリー アンド サンズ。pp. 240。ISBN 978-0-471-70821-6。

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• Zheng, Bing; Bapat, Ravindra (2004). 「一般化逆行列 A(2)T,S とランク方程式」.応用数学と計算. 155 (2): 407–415. doi :10.1016/S0096-3003(03)00786-0.