リビッキ・プレスアルゴリズム

Rybicki –Pressアルゴリズムは、次の要素を持つ行列を反転するための高速アルゴリズムです。${\displaystyle A(i,j)=\exp(-a\vert t_{i}-t_{j}\vert )}$、 どこ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$^{[ 1 ]}そして$t_i$順序に従ってソートされます。^{[ 2 ]} Rybicki-Press 観測の背後にある重要な観測は、そのような行列の行列の逆行列は常に三重対角行列(主対角と隣接する 2 つの対角にのみ非ゼロの要素を持つ行列) であり、三重対角方程式系は効率的に (より正確には、線形時間で) 解くことができるということです。^{[ 1 ]}これは、ノイズの多い不規則にサンプリングされた 2 つのデータセットが、実際には同じ基礎関数の次元シフト表現であるかどうかを判断するために開発された一般的な統計的手法の計算最適化です。^{[ 3 ] [ 4 ]}このアルゴリズムの最も一般的な用途は、クエーサーの検出など、天文観測における周期性の検出です。^{[ 4 ]}

この方法は、次の形式のエントリを持つ行列を反転するための一般化Rybicki-Pressアルゴリズムに拡張されています。${\displaystyle A(i,j)=\sum _{k=1}^{p}a_{k}\exp(-\beta _{k}\vert t_{i}-t_{j}\vert )}$[ ^{2 ]一般化リビッキ・プレス（GRP）アルゴリズムの重要な観察は、}行列が${\displaystyle A}$はランクが半分離可能な行列である${\displaystyle p}$（つまり、主対角線を含まない上半分が、行列ランクを持つ何らかの行列のそれである行列）${\displaystyle p}$そしてその下半身は、おそらく別の階級のもの${\displaystyle p}$行列^{[ 2 ]}）は、より大きなバンド行列（右図参照）に埋め込むことができ、その疎構造を利用して計算の複雑さを軽減できます。$\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$半分離ランクを持つ${\displaystyle p}$線形システムを解く際の計算複雑度${\displaystyle Ax=b}$または行列の行列式を計算する${\displaystyle A}$スケールする${\displaystyle {\mathcal {O}}\left(p^{2}n\right)}$そのため、大規模行列にも適している。^{[ 2 ]}

マトリックスという事実${\displaystyle A}$は半分離行列であり、C++、Python、Julia で実装された、1 次元の高速かつスケーラブルなガウス過程回帰のためのライブラリである celerite [ 5 ] ライブラリの基礎を形成します[ 6 ] 。celeriteメソッド[ 6 ]は、高^{次元分布からサンプルを生成}する^{アルゴリズムも提供}します。このメソッドは、特に天文学データ解析など、幅広い分野で魅力的な応用が見出されています。 ^{[ 7 ] [ 8 ]}

• 可逆行列
• 行列分解
• 多次元信号処理
• 線形方程式系

• 一般化Rybicki Pressアルゴリズムの実装
• GitHub上のceleriteライブラリ