無効定理

零点定理は、分割された行列の逆行列に関する数学的な定理であり、行列内のブロックの零点は、その逆行列内の相補ブロックの零点に等しいことを述べています。ここで、零点はカーネルの次元です。この定理は、抽象的な設定では Gustafson (1984) によって証明され、行列では (Fiedler & Markham 1986) によって証明されました。

行列とその逆行列を 4 つの部分行列に分割します。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}E&F\\G&H\end{bmatrix}}.}$

右側のパーティションは、左側のパーティションの転置である必要があります。つまり、Aがm行n列のブロックである場合、E はn行m列のブロックである必要があります。

無効性定理の記述は、右側のブロックの無効性が左側のブロックの無効性と等しいというものです (Strang & Nguyen 2004)。

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {nullity} \,A&=\operatorname {nullity} \,H,\\\operatorname {nullity} \,B&=\operatorname {nullity} \,F,\\\operatorname {nullity} \,C&=\operatorname {nullity} \,G,\\\operatorname {nullity} \,D&=\operatorname {nullity} \,E.\end{aligned}}}$

より一般的には、サブマトリックスがインデックス { i ₁ , i ₂ , …, i _m } の行とインデックス { j ₁ , j ₂ , …, j _n } の列から形成される場合、補完サブマトリックスはインデックス {1, 2, …, N } \ { j ₁ , j ₂ , …, j _n } の行とインデックス {1, 2, …, N } \ { i ₁ , i ₂ , …, i _m } の列から形成されます。ここで、Nはマトリックス全体の大きさです。 無効性定理は、任意のサブマトリックスの無効性は、逆行列の補完サブマトリックスの無効性と等しいことを述べています。

• グスタフソン、ウィリアム H. (1984)、「行列反転に関する注記」、線形代数とその応用、57 :71–73、doi : 10.1016/0024-3795(84)90177-0、ISSN  0024-3795。
• フィードラー、ミロスラフ; マーカム、トーマス L. (1986)、「逆行列の特定の要素が指定されている場合の行列の完成」、線形代数とその応用、74 (1–3): 225–237、doi : 10.1016/0024-3795(86)90125-4、ISSN  0024-3795。
• Strang, Gilbert ; Nguyen, Tri (2004)、「サブマトリックスのランクの相互作用」(PDF)、SIAM Review、46 (4): 637–646、doi :10.1137/S0036144503434381、hdl : 1721.1/3885、ISSN  1095-7200。