行の等価性

線型代数では、2 つの行列は、一連の基本的な行演算によって一方を他方に変換できる場合、行同等です。あるいは、2 つのm  ×  n行列は、同じ行空間を持つ場合に限り、行同等です。この概念は、線形方程式のシステムを表す行列に最も一般的に適用され、この場合、同じサイズの 2 つの行列は、対応する同次システムが同じ解の集合を持つ場合、または同等に、行列が同じヌル空間を持つ場合に限り、行同等です。

基本的な行演算は可逆であるため、行同値は同値関係である。これは通常、チルダ（~）で表される。 ^[1]

列の等価性という同様の概念があり、これは基本的な列演算によって定義されます。2 つの行列が列等価であるのは、それらの転置行列が行等価である場合に限ります。基本的な行演算と列演算の両方を許可して相互に変換できる 2 つの長方形行列は、単に等価であると呼ばれます。

基本的な行操作は、次のいずれかの操作です。

1. スワップ:行列の 2 つの行を交換します。
2. スケール:行列の行にゼロ以外の定数を掛けます。
3. ピボット:行列の 1 つの行の倍数を別の行に追加します。

一連の基本的な行演算によって A をBに変換できる場合、2 つの行列AとB は行同等です。

行列の行空間は、その行ベクトルのすべての可能な線形結合の集合です。行列の行が線形方程式のシステムを表す場合、行空間はシステム内の線形方程式から代数的に演繹できるすべての線形方程式で構成されます。2 つのm  ×  n行列は、同じ行空間を持つ場合にのみ行同等です。

例えば、行列

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\end{pmatrix}}\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;{\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&1\end{pmatrix}}}$

は行と同値であり、行空間は形式 のすべてのベクトルです。対応する同次方程式系は同じ情報を伝えます。 ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b&b\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}x=0\\y+z=0\end{matrix}}\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;{\begin{matrix}x=0\\x+y+z=0.\end{matrix}}}$

特に、これらのシステムの両方は、次の形式のすべての方程式を意味します。${\displaystyle ax+by+bz=0.\,}$

2 つの行列が同じ行空間を持つ場合にのみ、それらの行が同等であるという事実は、線形代数の重要な定理です。証明は次の観察に基づいています。

1. 基本的な行演算は行列の行空間に影響を与えません。特に、任意の 2 つの行が等しい行列の行空間は同じです。
2. 任意の行列は、基本的な行演算によって、簡約された行階段形式の行列に簡約できます。
3. 簡約された行階段形式の 2 つの行列は、それらが等しい場合にのみ、同じ行空間を持ちます。

この論理的流れは、すべての行列が、簡約された行階段形式を持つ一意の行列と行同等であることも証明します。

• 行列のヌル空間は行空間の直交補行列であるため、2 つの行列が同じヌル空間を持つ場合にのみ、それらの行は同等になります。
• 行列の階数は行空間の次元に等しいため、行と同等の行列は同じ階数を持つ必要があります。これは、縮小された行階段形式のピボットの数に等しくなります。
• 行列が逆行列であるのは、その行列が単位行列と行が等しい場合のみです。
• 行列AとBが行同値であるためには、A=PBとなる逆行列Pが存在する必要がある。^[2]

• 基本的な行演算
• 行スペース
• 基底（線形代数）
• 行の削減
• （縮小）列階段形式

• アクラー、シェルドン・ジェイ（1997年）、線形代数を正しく行う（第2版）、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 0-387-98259-0
• レイ、デイビッド C. (2005 年 8 月 22 日)、線形代数とその応用(第 3 版)、アディソン ウェスレー、ISBN 978-0-321-28713-7
• マイヤー、カール D. (2001 年 2 月 15 日)、「行列解析と応用線形代数」、工業応用数学協会 (SIAM)、ISBN 978-0-89871-454-8、2001年3月1日時点のオリジナルよりアーカイブ
• プール、デイビッド（2006）、線形代数：現代入門（第2版）、ブルックス/コール、ISBN 0-534-99845-3
• アントン・ハワード（2005年）、初等線形代数（応用版）（第9版）、ワイリー・インターナショナル
• レオン、スティーブン J. (2006)、線形代数の応用(第 7 版)、ピアソン プレンティス ホール
• ローマン、スティーブン（2008）。上級線形代数。数学大学院テキスト。第135巻（第3版）。Springer Science+Business Media、LLC。ISBN 978-0-387-72828-5。

ウィキブック線形代数には、行の同値性に関するページがあります。