幾何学シリーズ

数学において、等比級数は、連続する項の比が一定である無限等比数列の項を合計した級数です。たとえば、級数は⁠ ⁠の公比を持つ等比級数であり、 ⁠ ⁠の和に収束します。等比級数の各項は、その前の項と後の項の等比平均であり、等差級数の各項が隣接する項の 等差平均であるのと同じです。${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{8}}+\cdots }$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle 1}$

ギリシャの哲学者 ゼノンの時間と運動に関するパラドックス（紀元前5世紀）は等比級数に関係していると解釈されてきたが、そのような級数は1世紀か2世紀後にギリシャの数学者によって正式に研究され、応用された。例えば、アルキメデスは放物線の内側の面積を計算するために等比級数を使用した（紀元前3世紀）。今日、等比級数は数理ファイナンス、フラクタル面積の計算、およびさまざまなコンピューターサイエンスのトピック で使用されている。

等比級数には実数または複素数が最も一般的に関係しますが、行列値の等比級数、関数値の等比級数、進数等比級数、そして最も一般的には抽象代数体、環、半環の元の等比級数に関する重要な結果や応用もあります。 ${\displaystyle p}$

等比級数は、等比数列と呼ばれる特殊な数列から派生した無限級数である。つまり、等比数列の無限項の和である。最初の項から始まり、次の項は最初の項に公比と呼ばれる定数を掛けたものである。各項に公比を連続的に掛け合わせると、等比級数は数学的に次のように定義できる。^{[1]等比級数を複数の項に切り捨てることを}有限等比級数 と呼び、次のようになる。^[2]${\displaystyle a}$${\displaystyle r}$ $${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\dots =\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}.}$$ $${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\dots +ar^{n}=\sum _{k=0}^{n}ar^{k}.}$$

成長率や拡大率と呼ばれることが多い。減少率や縮小率と呼ばれることが多いが、その「率」という考え方は、一種の離散時間変数として解釈することから来ている。応用分野に特定の種類の成長、拡大、縮小、減少を表す専門用語がある場合、その用語は等比級数のパラメータにもよく使用される。例えば経済学では、物価水準の増加率と減少率はインフレ率とデフレ率と呼ばれ、投資価値の増加率には収益率と金利が含まれる。^[3]${\displaystyle r>1}$${\displaystyle 0<r<1}$${\displaystyle k}$${\displaystyle r}$

無限に多くの項を足し合わせると、等比級数は収束するか発散するかのどちらかになります。収束とは、無限に多くの項を足し合わせた後に値が存在することを意味し、発散とは、足し合わせた後に値がないことを意味します。等比級数の収束は、公比の値に応じて説明できます。§ 級数の収束とその証明を参照してください。グランディ級数は、と表現できる発散級数の例です。ここで、最初の項は で、公比は です。これは、3 つの異なる値を持つためです。 ${\displaystyle 1-1+1-1+\dots }$${\displaystyle 1}$${\displaystyle -1}$

永遠に続く繰り返しパターンを持つ小数は、等比級数として解釈することができ、それによって2つの整数の比の式に変換することができます。^[4]たとえば、循環小数は、最初の項がで公比がである等比級数として表すことができます。 ${\displaystyle 0.7777\ldots }$$${\displaystyle 0.7777\ldots ={\frac {7}{10}}+{\frac {7}{10}}\left({\frac {1}{10}}\right)+{\frac {7}{10}}\left({\frac {1}{10^{2}}}\right)+{\frac {7}{10}}\left({\frac {1}{10^{3}}}\right)+\cdots ,}$$${\displaystyle a=7/10}$${\displaystyle r=1/10}$

無限等比級数の部分和の無限列の収束は、公比の大きさのみに依存します。 ${\displaystyle r}$

• の場合、級数の項はゼロに近づき（大きさがどんどん小さくなり）、部分和の列は極限値に収束します。^[1]${\displaystyle \vert r\vert <1}$${\displaystyle S_{n}}$${\textstyle {\frac {a}{1-r}}}$
• の場合には、級数の項はどんどん大きくなり、項の部分和もどんどん大きくなるので、級数は発散します。^[1]${\displaystyle \vert r\vert >1}$
• の場合、級数の項の大きさは大きくも小さくもならず、級数の部分和の列は収束しません。 のとき、級数のすべての項は同じで、 は無限大に大きくなります。 のとき、項はとの 2 つの値を交互に取るため、項の部分和の列は2 つの値と 0 の間を振動します。1 つの例はグランディの級数に見ることができます。 および のとき、部分和は値 の間を周期的に循環し、極限に収束することはありません。一般に、任意の整数 に対して のとき、および任意の のとき、級数の部分和は の周期で無限に循環し、極限に収束することはありません。^[5]${\displaystyle \vert r\vert =1}$${\displaystyle r=1}$${\displaystyle |S_{n}|}$${\displaystyle r=-1}$${\displaystyle a}$${\displaystyle -a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle r=i}$${\displaystyle a=1}$${\displaystyle 1,1+i,i,0,1,1+i,i,0,\ldots }$${\displaystyle r=e^{2\pi i/\tau }}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle a\neq 0}$${\displaystyle \tau }$

収束率は、数列が極限に急速に近づく様子を示します。等比級数の場合（関連する数列はで、極限は）、率と次数は で求められます 。 ここで は収束の次数を表します。 を使用し、収束次数を選択すると、次の式が得られます。^[6]級数が収束する場合、が に近づく につれて収束率は遅くなります。^[6]収束のパターンは、公比の符号または複素引数によっても異なります。およびの場合、項はすべて同じ符号を共有し、項の部分和は最終的な極限に単調に近づきます。 および の場合、等比級数の隣接する項は正と負を交互に繰り返し、項の部分和は最終的な極限 より上と下で振動します。 および が複素数の場合、は螺旋状に収束します。 ${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle S}$$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\left|S_{n+1}-S\right|}{\left|S_{n}-S\right|^{q}}},}$$${\displaystyle q}$${\textstyle |S_{n}-S|=\left|{\frac {ar^{n+1}}{1-r}}\right|}$${\displaystyle q=1}$ $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\left|{\frac {ar^{n+2}}{1-r}}\right|}{\left|{\frac {ar^{n+1}}{1-r}}\right|^{1}}}=|r|.}$$${\displaystyle |r|}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle |r|<1}$${\displaystyle r<0}$${\displaystyle |r|<1}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle r}$${\displaystyle |r|<1,}$${\displaystyle S_{n}}$

収束は次のように証明される。等比級数の最初の項の部分和は、 が公比で ある 閉形式 で与えられる 。 この場合は単なる加算であり、等差級数の場合である。 の部分和の公式は、については次のように導出できる: ^{[7] [8] [9]} 。が 1 に近づくにつれて、多項式除算またはロピタルの法則によっての場合が回復される。^[10]${\displaystyle n+1}$${\displaystyle r^{n}}$$${\displaystyle S_{n}=ar^{0}+ar^{1}+\cdots +ar^{n}=\sum _{k=0}^{n}ar^{k},}$$$${\displaystyle S_{n}={\begin{cases}a(n+1)&r=1\\a\left({\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}\right)&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$${\displaystyle r}$${\displaystyle r=1}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle r\neq 1}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=ar^{0}+ar^{1}+\cdots +ar^{n},\\rS_{n}&=ar^{1}+ar^{2}+\cdots +ar^{n+1},\\S_{n}-rS_{n}&=ar^{0}-ar^{n+1},\\S_{n}\left(1-r\right)&=a\left(1-r^{n+1}\right),\\S_{n}&=a\left({\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}\right),\end{aligned}}}$$${\displaystyle r\neq 1}$${\displaystyle r}$${\displaystyle S_{n}=a(n+1)}$

が無限大に近づくにつれて、この部分和の列が極限に収束するためには、 rの絶対値が1 未満でなければなりません。そうなると、級数は絶対的に収束します。すると、無限級数は に対して になります。^[7]${\displaystyle n}$$${\displaystyle {\begin{aligned}S&=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\cdots \\&=\lim _{n\rightarrow \infty }S_{n}\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}\\&={\frac {a}{1-r}}-{\frac {a}{1-r}}\lim _{n\rightarrow \infty }r^{n+1}\\&={\frac {a}{1-r}},\end{aligned}}}$$${\displaystyle |r|<1}$

この収束結果は、他の級数の項が適切な幾何級数によって上から制限される場合には、他の級数の収束を証明するためにも広く適用されます。この証明戦略は、無限級数の収束に対する比テストと根テストの基礎となります。 ^[11]

等比級数と同様に、 べき級数には 、等比級数の に対応する連続するべき乗に上げられた共通変数に対する 1 つのパラメータがあります が、 等比 級数の各項の共通係数というすべての項に対する 単一の追加パラメータではなく、 各 の異なる係数 に対して、級数の各項に 1 つずつ追加のパラメータがあります。したがって、等比級数は、 すべての  および  に対して係数のシーケンスが を満たすべき級数のクラスと考えることができます 。^[12]${\displaystyle r}$${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,}$${\displaystyle x^{0},x^{1},x^{2},\ldots }$${\displaystyle a}$${\displaystyle r^{k}}$${\displaystyle a_{k}=a}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x=r}$

この特別な種類のべき級数は数学において重要な役割を果たしており、例えば  組合せ論における 通常の生成関数の研究や解析学における発散級数の和など において重要な役割を果たしている。他の多くのべき級数は幾何級数の変換や組み合わせとして記述できるため、幾何級数の公式はそれらのべき級数の公式を計算するのにも便利なツールとなっている。^{[13] [14]}

冪級数として、幾何級数の収束半径は 1 です。^{[15]これは、}コーシー・アダマールの定理と、任意の に対してが成り立つという事実の帰結と見ることができます。また、無限級数の収束の比テストの結果として、 に対してのみ収束することを意味します。ただし、比テストとコーシー・アダマールの定理はどちらも幾何級数の公式を論理的に事前の結果として証明されているため、このような推論は微妙に循環的になります。^[16]${\textstyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{a}}=1}$${\displaystyle a}$${\textstyle \lim _{n\rightarrow \infty }|ar^{n+1}|/|ar^{n}|=|r|}$${\displaystyle |r|<1.}$

2,500年前、ギリシャの数学者たちは、無限に長い正の数のリストは必ず合計すると無限になると信じていました。そのため、エレアのゼノンはパラドックスを作り出し、次のように証明しました。ある場所から別の場所まで歩くには、まずそこまでの距離の半分を歩き、次に残りの距離の半分を歩き、さらにその残りの距離の半分を歩き、というように、到着するまでに無限に多くの区間を歩かなければなりません。そうすることで、彼は固定距離を、それぞれの長さがゼロより大きい半分にされた残りの距離の無限に長いリストに分割しました。ゼノンのパラドックスは、ギリシャ人に、無限に長い正の数のリストは必ず合計すると無限になるという彼らの仮定が間違っていることを明らかにしました。^[17]

ユークリッドの『原論』は世界で最も古くから継続して使用されている数学の教科書という特徴があり、その第9巻命題35には有限幾何級数の和の証明が含まれており、隣の図に示されています。^[18]

アルキメデスは『放物線の求積法』の中で、等比級数の和を使って放物線と直線で囲まれた面積を計算した。アルキメデスの定理によれば、放物線の下の面積は青い三角形の面積の 4/3 である。彼の方法は、隣の図に示すように、面積を無限の三角形に分割することだった。^[19]彼は、緑の三角形はそれぞれ青い三角形の面積の 1/8、黄色の三角形はそれぞれ緑の三角形の面積の 1/8 などであると判定した。青い三角形の面積が 1 であると仮定すると、総面積は無限級数の和となる。 ここで、最初の項は青い三角形の面積、2 番目の項は 2 つの緑の三角形の面積、3 番目の項は 4 つの黄色の三角形の面積、などである。分数を簡略化すると、 公比の等比級数が得られ、その和は次のようになる。^[19]$${\displaystyle 1+2\left({\frac {1}{8}}\right)+4\left({\frac {1}{8}}\right)^{2}+8\left({\frac {1}{8}}\right)^{3}+\cdots .}$$$${\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}+\cdots ,}$$${\displaystyle r=1/4}$

${\displaystyle {\frac {1}{1-r}}\ ={\frac {1}{1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {4}{3}}.}$

調和級数の発散の簡潔な証明に加えて、ニコル・オレーム^[20]は、ガブリエルの階段^{[21]として知られる}算術幾何級数が、 であることを証明しました 。彼の幾何学的証明の図は、隣接する図と同様に、2 次元の幾何級数を示しています。最初の次元は水平で、一番下の行は、初期値 と公比 を持つ幾何級数を表します。2 番目の次元は垂直で、一番下の行は新しい初期項で、それより上の後続の各行は同じ公比 に従って縮小し、合計 を持つ別の幾何級数を作成します。 このアプローチは、より高次元に一般化することができ、その一般化については、以下の § べき級数への接続で説明します。 $${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {2}{4}}+{\frac {3}{8}}+{\frac {4}{16}}+{\frac {5}{32}}+{\frac {6}{64}}+{\frac {7}{128}}+\dots =2.}$$${\displaystyle a=1/2}$${\displaystyle r=1/2}$ $${\displaystyle S={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{32}}+\dots ={\frac {\frac {1}{2}}{1-{\frac {1}{2}}}}=1.}$$${\displaystyle a=S}$${\displaystyle r=1/2}$${\displaystyle T}$$${\displaystyle {\begin{aligned}T&=S\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\dots \right)\\&={\frac {S}{1-r}}={\frac {1}{1-{\frac {1}{2}}}}=2.\end{aligned}}}$$

上で述べたように、等比級数は経済学の分野で応用することができます。これは、物価水準の上昇率と下降率を指すことができる等比級数の公比につながり、これらはインフレ率とデフレ率と呼ばれます。対照的に、投資価値の増加率には収益率と金利が含まれます。より具体的には、数理ファイナンスでは、等比級数は貨幣の時間価値にも適用できます。つまり、永久年金、つまり将来にわたって無期限に毎年支払われる金額の現在価値を表します。この種の計算は、住宅ローンなどのローンの年率を計算するために使用されます。また、予想される株式配当の現在価値、または安定した成長率を前提とした金融資産の最終価値を見積もるためにも使用できます。しかし、金利が一定であるという仮定は一般的に誤りであり、永久年金の発行者が継続的な支払いを行う能力を失ったり、その義務を終了したりする可能性があるため、支払いが永久に続く可能性は低いため、このような推定は、実際の現在の価値の科学的な予測ではなく、意思決定のための経験的ガイドラインにすぎません。^[3]

アルキメデスの『放物線の求積法』 ^[19]で放物線と直線で囲まれた面積を求めることに加えて、等比級数は、無数の正三角形の和集合として記述されるコッホの雪片の面積を求める際にも適用できる(図を参照)。緑色の三角形の各辺は、大きな青色の三角形の各辺のちょうど 1/3 の大きさであるため、面積はちょうど 1/9 である。同様に、黄色の三角形の各辺は緑色の三角形の面積の 1/9 であり、以下同様である。これらの三角形はすべて等比級数で表すことができ、青色の三角形の面積が第 1 項、3 つの緑色の三角形の面積が第 2 項、12 個の黄色の三角形の面積が第 3 項、以下同様である。最初の 1 を除いて、この級数は公比を持ち、青色の三角形を面積の単位とすると、雪片の総面積は次のようになる。^[22]${\textstyle r={\frac {4}{9}}}$ $${\displaystyle 1+3\left({\frac {1}{9}}\right)+12\left({\frac {1}{9}}\right)^{2}+48\left({\frac {1}{9}}\right)^{3}+\cdots ={\frac {1}{1-{\frac {4}{9}}}}={\frac {8}{5}}.}$$

コンピュータサイエンスのさまざまなトピックには、次のような等比級数の応用が含まれる場合があります。^{[引用が必要]}

• アルゴリズム分析:再帰アルゴリズム (分割統治法など)の時間計算量を分析し、動的配列のサイズ変更など、コストが変動する操作の償却分析を行います。
• データ構造:バランスのとれた二分探索木やヒープなどのデータ構造における操作の空間と時間の複雑さを分析します。
• コンピュータグラフィックス:アンチエイリアシング、ミップマッピング、および詳細のスケールが幾何学的に変化するフラクタル生成のレンダリングアルゴリズムに不可欠です。
• ネットワーキングと通信:指数バックオフアルゴリズムで再送信遅延をモデル化し、効率的な通信のためのデータ圧縮とエラー訂正コードに使用されます。
• 確率的およびランダム化アルゴリズム:確率的およびランダム化アルゴリズムに不可欠なランダムウォーク、マルコフ連鎖、および幾何分布を分析します。

実数と複素数をパラメータとする幾何級数が最も一般的であるが、関数、行列、-進数などのより一般的な用語の幾何級数も応用されている。^[23]パラメータが与えられた幾何級数を表現するために使用される数学的演算は、単に加算と反復乗算であるため、現代代数の文脈では、任意の環または体からのパラメータを持つ幾何級数を定義することは自然である。^[24]半環からのパラメータを持つ幾何級数へのさらなる一般化はさらに珍しいが、応用もある。たとえば、有理級数によるオートマトン変換のような、変換関数の固定小数点反復の研究など。^[25]${\displaystyle a}$${\displaystyle r}$${\displaystyle p}$

これらの一般的な幾何級数の収束を解析するには、加算と乗算に加えて、級数の部分和間の距離の測定基準も必要です。これにより、関数級数における一様収束と点ごとの収束の区別など、収束の問題に新たな微妙な点が導入される可能性があり、2進数の絶対値を収束測定基準として使用した1 + 2 + 4 + 8 + ...と の級数の収束など、実数からの直感との強い対照につながる可能性があります。その場合、共通係数の2進絶対値は であり、これは実数の絶対値の観点からは直感に反しますが（当然）、 p進解析のコンテキストでは十分に正当化されます。^[23]${\displaystyle a=1}$${\displaystyle r=2}$${\textstyle a/(1-r)=-1}$${\displaystyle |r|_{2}=|2|_{2}=1/2}$${\displaystyle |2|=2,}$

パラメータの乗算が可換でない場合（特に量子力学では行列や一般的な物理演算子では多くの場合そうではありませんが）、右から乗算する等比級数の標準的な表記法を、左から乗算する代替法や、両側に半分ずつ乗算する対称的な表記法と区別する必要がある場合があります。これらの選択は、アプリケーションにおいて長所と短所が異なる重要な選択肢に対応する場合があります。たとえば、確率計算における伊藤積分とストラトノビッチ積分で、ドリフトと拡散の相互干渉を微小時間スケールで異なる順序にする場合などです。 ${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+...}$${\displaystyle a+ra+r^{2}a+r^{3}a+...}$${\displaystyle a+r^{1/2}ar^{1/2}+rar+r^{3/2}ar^{3/2}+...}$

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• イーライ・マオール（1991年）。 『無限とその先へ：無限の文化史』プリンストン大学出版局。ISBN 978-0-691-02511-7 
• モーア・ラゼロウィッツ（2000年） 『形而上学の構造』（国際哲学図書館）ラウトレッジ。ISBN 978-0-415-22526-7 

• Carl P. Simon および Lawrence Blume ( 1994)。 経済学者のための数学、WW Norton & Company。ISBN 978-0-393-95733-4 
• マイク・ロッサー（2003年）。経済学者のための基礎数学、第2版、Routledge。ISBN 978-0-415-26784-7 

• エドワード・バチェレット（1992年）。 生命科学者のための数学入門、第3版、Springer。ISBN 978-0-387-09648-3 
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• 「幾何級数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Weisstein, Eric W.「幾何級数」。MathWorld。
• PlanetMathの幾何級数。
• Peppard, Kim. 「幾何級数と級数に関する大学向け代数チュートリアル」。ウェスト テキサス A&M 大学。
• Casselman, Bill. 「幾何学級数の幾何学的解釈」。2007 年 9 月 29 日にオリジナル(アプレット)からアーカイブされました。
• 「幾何学シリーズ」、Michael Schreiber 著、Wolfram Demonstrations Project、2007 年。