距離幾何学

位置が既知の3つの地上無線局A、B、Cを考えます。無線受信機は未知の場所にあります。無線信号が無線局から受信機に到達するまでにかかる時間は、${\displaystyle t_{A},t_{B},t_{C}}$は不明だが、時間差は、$t_A-tB$そして$t_A-tC$は既知である。それらから、距離の差がわかる。${\displaystyle c(t_{A}-t_{B})}$そして${\displaystyle c(t_{A}-t_{C})}$そこから受信機の位置を特定できる。

データ分析では、ベクトルとして表現されたデータのリストが与えられることが多い。$\displaystyle \mathbf {v} =(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$そして、それらが低次元のアフィン部分空間内にあるかどうかを調べる必要があります。データの低次元表現には、ストレージ容量や計算時間の節約、データに対するより深い洞察など、多くの利点があります。

ここで、我々が抱える問題を考察する中で自然に浮かび上がってくるいくつかの定義を形式化しよう。

半距離空間が与えられた場合${\displaystyle (S,d)}$、 と${\displaystyle S=\{P_{0},\ldots ,P_{n}\}}$、 そして ${\displaystyle d(P_{i},P_{j})=d_{ij}\geq 0}$、${\displaystyle 0\leq i<j\leq n}$等長埋め込み${\displaystyle (S,d)}$の中へ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$定義される${\textstyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n}\in \mathbb {R} ^{n}}$、したがって${\displaystyle d(A_{i},A_{j})=d_{ij}}$すべての人々のために${\displaystyle 0\leq i<j\leq n}$。

再び、このような等長埋め込みが存在するかどうかを問う。${\displaystyle (S,d)}$。

必要条件は容易にわかる。${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$、 させて${\displaystyle v_{k}}$によって形成さ れるk単体とする${\textstyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{k}}$、 それから

${\displaystyle (-1)^{k+1}\operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{k})=(-1)^{k+1}\operatorname {CM} (A_{0},\ldots ,A_{k})=2^{k}(k!)^{k}\operatorname {Vol} _{k}(v_{k})^{2}\geq 0}$

逆もまた成り立つ。つまり、すべての${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$、

${\displaystyle (-1)^{k+1}\operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{k})\geq 0,}$

そうすれば、そのような埋め込みが存在する。

さらに、このような埋め込みは、等長変換を除いて一意である。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$つまり、次のように定義される任意の 2 つの等長埋め込みが与えられた場合${\displaystyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n}}$、 そして${\displaystyle A'_{0},A'_{1},\ldots ,A'_{n}}$（必ずしも一意ではない）等長写像が存在する${\displaystyle T:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$、したがって${\displaystyle T(A_{k})=A'_{k}}$すべての人々のために${\displaystyle k=0,\ldots ,n}$。 そのような${\displaystyle T}$が一意であるのは、${\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n})\neq 0}$つまり、${\displaystyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n}}$アフィン的に独立している。

もし${\displaystyle n+2}$ポイント${\displaystyle P_{0},\ldots ,P_{n+1}}$埋め込むことができる${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$として${\displaystyle A_{0},\ldots ,A_{n+1}}$、上記の条件以外に、追加の必要条件は、${\displaystyle (n+1)}$-単体は、 ${\displaystyle A_{0},A_{1},\ldots ,A_{n+1}}$、${\displaystyle (n+1)}$次元体積。つまり、${\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n},P_{n+1})=0}$。

逆もまた成り立つ。つまり、すべての${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$、

${\displaystyle (-1)^{k+1}\operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{k})\geq 0,}$

そして

${\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n},P_{n+1})=0,}$

そうすれば、そのような埋め込みが存在する。

埋め込み用${\displaystyle n+3}$ポイント${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$必要条件と十分条件は同様である。

1. すべての人にとって${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$、${\displaystyle (-1)^{k+1}\operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{k})\geq 0}$;
2. ${\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n},P_{n+1})=0;}$
3. ${\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n},P_{n+2})=0;}$
4. ${\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n},P_{n+1},P_{n+2})=0.}$

の${\displaystyle n+3}$一般的には、この事例で十分であることが判明した。

一般に、半距離空間が与えられた場合${\displaystyle (R,d)}$等尺的に埋め込むことができる${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$存在する場合に限り${\displaystyle P_{0},\ldots ,P_{n}\in R}$、すべての${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$、${\displaystyle (-1)^{k+1}\operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{k})\geq 0}$、そしてどんな${\displaystyle P_{n+1},P_{n+2}\in R}$、

1. ${\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n},P_{n+1})=0;}$
2. ${\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n},P_{n+2})=0;}$
3. ${\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n},P_{n+1},P_{n+2})=0.}$

そして、このような埋め込みは、等長変換を除いて一意である。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$。

さらに、もし${\displaystyle \operatorname {CM} (P_{0},\ldots ,P_{n})\neq 0}$そうすれば、どの空間にも等角的に埋め込むことはできない。${\displaystyle \mathbb {R} ^{m},m<n}$そして、このような埋め込みは、一意の等長性を除いて一意である。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$。

したがって、ケイリー・メンガー行列式は、半距離空間が埋め込めるかどうかを計算する具体的な方法を提供する。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ある有限の${\displaystyle n}$、もしそうなら、最小値は何か${\displaystyle n}$。