7-シンプレックス

7次元幾何学において、7単体は自己双対な正則7多面体である。8個の頂点、28個の辺、56個の三角形面、70個の四面体セル、56個の5面セル、28個の6面体5単体、および8個の7面体6単体を持つ。その二面角はcos ⁻¹ (1/7)、すなわち約81.79°である。

7次元の8面多面体であることから、オクタエクソン、またはオクタ7トープとも呼ばれます。オクタエクソンという名前は、ギリシャ語で8面を意味するoctaと、6次元の面を持つことを意味する-ex 、そして-onに由来します。ジョナサン・バワーズはオクタエクソンにocaという頭字語を与えています。^{[ 1 ]}

この構成行列は7 単体を表します。行と列は、頂点、辺、面、セル、4 面、5 面、6 面に対応します。対角線上の数値は、7 単体全体で各要素がいくつ出現するかを示します。非対角線上の数値は、行の要素内またはその位置で列の要素がいくつ出現するかを示します。この自己双対単体の行列は、180 度回転させたものと同一です。^{[ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}8&7&21&35&35&21&7\\2&28&6&15&20&15&6\\3&3&56&5&10&10&5\\4&6&4&70&4&6&4\\5&10&10&5&56&3&3\\6&15&20&15&6&28&2\\7&21&35&35&21&7&8\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

7単体には、対称性の低い構造が数多く存在する。

一部は、2つ以上の下位単体の結合分割として表現される。各結合の対称次数は、要素の対称次数の積であり、同一の要素を交換できる場合はさらに増加する。

原点を中心とする辺の長さが2の正八面体の頂点のデカルト座標は次のとおりです。 

${\displaystyle \left({\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ {\sqrt {1/3}},\ \pm 1\right)}$

${\displaystyle \left({\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ -2{\sqrt {1/3}},\ 0\right)}$

${\displaystyle \left({\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ -{\sqrt {3/2}},\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left({\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ -2{\sqrt {2/5}},\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left({\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ -{\sqrt {5/3}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left({\sqrt {1/28}},\ -{\sqrt {12/7}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left(-{\sqrt {7/4}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

より簡単に言うと、 7-単体の頂点は、(0,0,0,0,0,0,0,1)の順列として8-空間内に配置できます。この構成は、8-直交単体のファセットに基づいています。

この多面体は、コクセター・ディンキン図による均一テセレーション3 ₃₁のファセットです。

この多面体は、_A7対称性を持つ71個の均一な7次元多面体のうちの1つです。

• ハイパースペース用語集、ジョージ・オルシェフスキー著。
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