位相共役性

数学では、2 つの関数が位相共役である とは、一方を他方に共役させる同相写像が存在する場合を言います。位相共役性とフローの関連しているが異なる位相同値は、反復関数やより一般的には力学系の研究において重要です。なぜなら、 1つの反復関数のダイナミクスが決定できれば、位相共役関数のダイナミクスも自明に従うからです。^[1]

これを直接説明すると、とが反復関数であり、次のような 同相写像が存在するとする。${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$

${\displaystyle g=h^{-1}\circ f\circ h,}$

となり、 と は位相共役となる。すると、 ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle g^{n}=h^{-1}\circ f^{n}\circ h,}$

そして反復システムは位相的にも共役です。ここで、は関数合成を表します。 ${\displaystyle \circ}$

${\displaystyle f\colon X\to X,g\colon Y\to Y}$、および は位相空間上の連続関数です。 ${\displaystyle h\colon Y\to X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle f}$と位相的に半共役である ということは、定義により、 がとなる全射であることを意味します。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$${\displaystyle f\circ h=h\circ g}$

${\displaystyle f}$と が位相的に共役であることは、定義により、それらが位相的に半共役であり、 がさらに単射であり、 が全単射であり、その逆も連続であることを意味します。つまり、 は同相写像です。 さらに、はとの間の位相的共役と呼ばれます。${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$${\displaystyle h}$${\displaystyle h}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

同様に、上の、および上のは流れであり、、および は上記と同じです。 ${\displaystyle \phi}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle h\colon Y\to X}$

${\displaystyle \phi}$と位相的に半共役であるということは、定義により、各 に対して となる全射であることを意味します。${\displaystyle \psi}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \phi (h(y),t)=h\circ \psi (y,t)}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \phi}$位相的に共役であるということは、定義により、位相的に半共役であり、hが同相写像であることを意味する。^[2]${\displaystyle \psi}$

• ロジスティック写像とテント写像は位相的に共役である。^[3]
• 単位高さのロジスティック写像とベルヌーイ写像は位相的に共役である。^[要出典]
• パラメータ空間内の特定の値に対して、ヘノン写像は、そのジュリア集合に制限されると、2つの記号の両側列の空間上のシフト写像と位相的に共役または半共役になります。^[4]

位相共役は、半共役とは異なり、位相空間のそれ自体へのすべての連続射影の空間における同値関係を定義します。これは、 と が位相共役である場合に、 と が関連していると宣言することによって行われます。この同値関係は、各クラスが位相的な観点から同じダイナミクスを共有するすべての関数を含むため、動的システムの理論で非常に役立ちます。たとえば、の軌道は、共役を通じての同相軌道にマッピングされます 。この事実は、 と書くことで明らかになります 。非公式に言えば、位相共役は位相的な意味での「座標の変更」です。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g=h^{-1}\circ f\circ h}$${\displaystyle g^{n}=h^{-1}\circ f^{n}\circ h}$

しかし、フローの類似の定義はいくぶん制限的です。実際、写像とが 各 に対して位相的に共役であることが要求されており、これは単に の軌道がの軌道に同相的に写像される以上のことを要求しています。これが の位相同値の定義の動機となり、これも位相的な観点から、 内のすべてのフローの集合を同じダイナミクスを共有するフローのクラスに分割します。${\displaystyle \phi (\cdot ,t)}$${\displaystyle \psi (\cdot ,t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle X}$

2つのフローとが位相的に同値であるとは、同相写像 が存在し、 の軌道を の軌道に同相写像し、軌道の向きが保存される場合を言う。言い換えると、を軌道とすると、 ${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle h:Y\to X}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

${\displaystyle h({\mathcal {O}}(y,\psi ))=\{h\circ \psi (y,t):t\in \mathbb {R} \}=\{\phi (h (y),t):t\in \mathbb {R} \}={\mathcal {O}}(h(y),\phi )}$

各 に対して となります。さらに、時間の流れを揃える必要があります。各 に対して、となる が存在し、 であれば、 となり、 sとなるような であれば、 となります。 ${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle 0<\vert s\vert <t<\delta }$${\displaystyle \phi (h(y),s)=h\circ \psi (y,t)}$${\displaystyle s>0}$

全体的に、位相同値は位相共役性よりも弱い同値基準です。位相同値は時間項が軌道とその方向に沿ってマッピングされることを必要としないからです。位相同値だが位相共役ではないシステムの例としては、閉じた軌道を持つ 2 次元微分方程式系の非双曲クラスが挙げられます。軌道は空間的な意味で互いに重なるように変換できますが、このようなシステムの周期は類似して一致させることができないため、位相共役性の基準は満たすことができませんが、位相同値性の基準は満たします。

流れ、およびが微分方程式から生じる場合、より多くの同等性基準を研究することができます。 ${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \psi}$

微分方程式とで定義される2つの力学系は、次のような 微分同相写像が存在するとき、滑らかに同値であるという。${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}$${\displaystyle {\dot {y}}=g(y)}$${\displaystyle h:X\to Y}$

${\displaystyle f(x)=M^{-1}(x)g(h(x))\quad {\text{where}}\quad M(x)={\frac {\mathrm {d} h(x)}{\mathrm {d} x}}.}$

その場合、力学系は座標変換によって相互に変換できます。 ${\displaystyle y=h(x)}$

および によって定義される同じ状態空間上の 2 つの動的システムは、となる正の関数 が存在する場合に、軌道的に等価であると言われます。軌道的に等価なシステムは、時間パラメータ化のみが異なります。 ${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}$${\displaystyle {\dot {x}}=g(x)}$${\displaystyle \mu:X\to\mathbb{R}}$${\displaystyle g(x)=\mu (x)f(x)}$

滑らかに等価なシステムや軌道的に等価なシステムは、位相的にも等価です。ただし、その逆は成り立ちません。たとえば、形式 の 2 次元線形システムを考えます。行列 が2 つの正の実固有値を持つ場合、システムには不安定なノードがあります。行列 が正の実部を持つ 2 つの複素固有値を持つ場合、システムには不安定な焦点 (またはスパイラル) があります。ノードと焦点は位相的に等価ですが、軌道的に等価でも滑らかに等価でもありません。^[5]これは、それらの固有値が異なるためです (2 つの局所的に滑らかに等価なシステムのヤコビアンは でなければならないため、それらの固有値、代数的重複度、幾何学的重複度 は等しくなければならないことに注意してください)。 ${\displaystyle {\dot {x}}=Ax}$${\displaystyle A}$

動的位相共役の概念の拡張として、次の 2 つが報告されています。

1. 同型力学系として定義される類似システム
2. 随伴関数とカテゴリカルダイナミクスにおける自然同値性を介して定義される随伴力学系。^{[6] [7]}

• 可換図

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