意味 位相空間 上の正準座標 系を( q 1 , ..., q n p 1 , ..., p n u とvの関数として表される場合、 u とv のラグランジュ括弧は次の式で定義されます。
[ u 、 v ] p 、 q = ∑ 私 = 1 n （ ∂ q 私 ∂ u ∂ p 私 ∂ v − ∂ p 私 ∂ u ∂ q 私 ∂ v ） 。 {\displaystyle [u,v]_{p,q}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial q_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial p_{i}}{\partial v}}-{\frac {\partial p_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial q_{i}}{\partial v}}\right).}
物件 ラグランジュ括弧は、正準座標 系( q , p ) に依存しません。 ( Q , P ) = ( Q 1 , ..., Q n P 1 , ..., P n Q = Q （ q 、 p ） 、 P = P （ q 、 p ） {\displaystyle Q=Q(q,p),P=P(q,p)} が正準変換 である場合、ラグランジュ括弧は、次の意味で変換の不変量である。[ u 、 v ] q 、 p = [ u 、 v ] Q 、 P {\displaystyle [u,v]_{q,p}=[u,v]_{Q,P}} Ωが 2n 次元位相空間W 上のシンプレクティック形式 であり、u1 ,..., u2n が W 上の座標系を形成する場合、シンプレクティック形式は次のように記述できる。 Ω = 1 2 Ω 私 j d u 私 ∧ d u j {\displaystyle \Omega ={\frac {1}{2}}\Omega _{ij}du^{i}\wedge du^{j}} Ω 私 j = [ u 私 、 u j ] p 、 q 、 1 ≤ 私 、 j ≤ 2 n {\displaystyle \Omega _{ij}=[u_{i},u_{j}]_{p,q},\quad 1\leq i,j\leq 2n} uにおける Ω テンソル として表したものです。この行列は、ポアソン括弧によって形成される行列の逆行列です。 （ Ω − 1 ） 私 j = { u 私 、 u j } 、 1 ≤ 私 、 j ≤ 2 n {\displaystyle \left(\Omega ^{-1}\right)_{ij}=\{u_{i},u_{j}\},\quad 1\leq i,j\leq 2n} u の。前述の性質の帰結として、位相空間上の座標 ( Q 1 , ..., Q n P 1 , ..., P n [ Q 私 、 Q j ] p 、 q = 0 、 [ P 私 、 P j ] p 、 q = 0 、 [ Q 私 、 P j ] p 、 q = − [ P j 、 Q 私 ] p 、 q = δ 私 j 。 {\displaystyle [Q_{i},Q_{j}]_{p,q}=0,\quad [P_{i},P_{j}]_{p,q}=0,\quad [Q_{i},P_{j}]_{p,q}=-[P_{j},Q_{i}]_{p,q}=\delta _{ij}.}
ラグランジュ括弧の概念は、ラグランジュ行列を定義することによって、行列の概念に拡張することができる。
次の正準変換を考えてみましょう。η = [ q 1 ⋮ q N p 1 ⋮ p N ] → ε = [ Q 1 ⋮ Q N P 1 ⋮ P N ] {\displaystyle \eta ={\begin{bmatrix}q_{1}\\\vdots \\q_{N}\\p_{1}\\\vdots \\p_{N}\\\end{bmatrix}}\quad \rightarrow \quad \varepsilon ={\begin{bmatrix}Q_{1}\\\vdots \\Q_{N}\\P_{1}\\\vdots \\P_{N}\\\end{bmatrix}}}
定義するM := ∂ （ Q 、 P ） ∂ （ q 、 p ） {\textstyle M:={\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}}} L （ η ） = M T J M {\textstyle {\mathcal {L}}(\eta )=M^{T}JM} J {\displaystyle J} は、座標の集合を順序付けるのに用いられるのと同じ規則に基づくシンプレクティック行列 である。定義から次のことが導かれる。
L 私 j （ η ） = [ M T J M ] 私 j = ∑ k = 1 N （ ∂ ε k ∂ η 私 ∂ ε N + k ∂ η j − ∂ ε N + k ∂ η 私 ∂ ε k ∂ η j ） = ∑ k = 1 N （ ∂ Q k ∂ η 私 ∂ P k ∂ η j − ∂ P k ∂ η 私 ∂ Q k ∂ η j ） = [ η 私 、 η j ] ε {\displaystyle {\mathcal {L}}_{ij}(\eta )=[M^{T}JM]_{ij}=\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial \varepsilon _{k}}{\partial \eta _{i}}}{\frac {\partial \varepsilon _{N+k}}{\partial \eta _{j}}}-{\frac {\partial \varepsilon _{N+k}}{\partial \eta _{i}}}{\frac {\partial \varepsilon _{k}}{\partial \eta _{j}}}\right)=\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial Q_{k}}{\partial \eta _{i}}}{\frac {\partial P_{k}}{\partial \eta _{j}}}-{\frac {\partial P_{k}}{\partial \eta _{i}}}{\frac {\partial Q_{k}}{\partial \eta _{j}}}\right)=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\varepsilon }}
ラグランジュ行列は、以下の既知の性質を満たす。L T = − L | L | = | M | 2 L − 1 （ η ） = − M − 1 J （ M − 1 ） T = − P （ η ） {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}^{T}&=-{\mathcal {L}}\\|{\mathcal {L}}|&={|M|^{2}}\\{\mathcal {L}}^{-1}(\eta )&=-M^{-1}J(M^{-1})^{T}=-{\mathcal {P}}(\eta )\\\end{aligned}}} P （ η ） {\textstyle {\mathcal {P}}(\eta )} ポアソン括弧 に対応します。最後の恒等式は次のように表すこともできます。∑ k = 1 2 N { η 私 、 η k } [ η k 、 η j ] = − δ 私 j {\displaystyle \sum _{k=1}^{2N}\{\eta _{i},\eta _{k}\}[\eta _{k},\eta _{j}]=-\delta _{ij}} 一般化座標 と一般化運動量の両方を含むことに注意してください。
ラグランジュ括弧の不変性は次のように表すことができます。 [ η 私 、 η j ] ε = [ η 私 、 η j ] η = J 私 j {\textstyle [\eta _{i},\eta _{j}]_{\varepsilon }=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\eta }=J_{ij}} M T J M = J {\textstyle M^{T}JM=J} 1 ]
参考文献 ↑ Giacaglia, Giorgio EO (1972).非線形システムにおける摂動法 . 応用数学科学. ニューヨーク・ハイデルベルク: Springer. pp. 8–9 . ISBN 978-3-540-90054-2 。 コーネリアス・ランチョス著 『力学の変分原理 』ドーバー出版（1986年）、ISBN 0-486-65067-7 。Iglesias、Patrick、Les Origines du calcul symplectique chez Lagrange [ラグランジュの著作におけるシンプレクティック微積分の起源]、L'Enseign。数学。 (2) 44 (1998)、no. 3-4、257-277。MR 1659212 
![{\displaystyle [u,v]_{p,q}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial q_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial p_{i}}{\partial v}}-{\frac {\partial p_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial q_{i}}{\partial v}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e05cf21cdb0f56601481458108913aab286f8349)
![{\displaystyle [u,v]_{q,p}=[u,v]_{Q,P}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f295f9525b8f8d7f77db0e699e27949c245e69b4)
![{\displaystyle \Omega _{ij}=[u_{i},u_{j}]_{p,q},\quad 1\leq i,j\leq 2n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fa1700b91aee983f1e3aab74fb28434b3fe3e5f)
![{\displaystyle [Q_{i},Q_{j}]_{p,q}=0,\quad [P_{i},P_{j}]_{p,q}=0,\quad [Q_{i},P_{j}]_{p,q}=-[P_{j},Q_{i}]_{p,q}=\delta _{ij}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beb6a6f9cf25ec9d855845b153d7b81c97394963)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{ij}(\eta )=[M^{T}JM]_{ij}=\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial \varepsilon _{k}}{\partial \eta _{i}}}{\frac {\partial \varepsilon _{N+k}}{\partial \eta _{j}}}-{\frac {\partial \varepsilon _{N+k}}{\partial \eta _{i}}}{\frac {\partial \varepsilon _{k}}{\partial \eta _{j}}}\right)=\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial Q_{k}}{\partial \eta _{i}}}{\frac {\partial P_{k}}{\partial \eta _{j}}}-{\frac {\partial P_{k}}{\partial \eta _{i}}}{\frac {\partial Q_{k}}{\partial \eta _{j}}}\right)=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\varepsilon }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6da3a9319956cb3558bee0a6dc6efc054f401d0)
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{2N}\{\eta _{i},\eta _{k}\}[\eta _{k},\eta _{j}]=-\delta _{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc66924f661f0d8deef403c52a795fd322ebcfe7)
![{\textstyle [\eta _{i},\eta _{j}]_{\varepsilon }=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\eta }=J_{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5acafa81fa45d4ddf2bb1310d47fd8f8ca64938)
