パラメータの変化

数学において、パラメータの変化は定数の変化としても知られ、非同次線形常微分方程式を解く一般的な方法です。

1 次不同次線形微分方程式の場合、通常は積分因子ま​​たは未定係数を介して、かなり少ない労力で解を求めることができますが、これらの方法は推測を伴うヒューリスティックを活用しており、すべての不同次線形微分方程式に有効というわけではありません。

パラメータの変化は線形偏微分方程式にも適用され、具体的には熱方程式、波動方程式、振動板方程式などの線形発展方程式の非同次問題に適用されます。この設定では、この方法は、非同次熱方程式を解くためにこの方法を初めて適用したJean-Marie Duhamel (1797–1872)にちなんで、デュアメルの原理と呼ばれることが多いです。パラメータの変化自体がデュアメルの原理と呼ばれる場合もあり、その逆もあります。

パラメータの変化法は、スイスの数学者レオンハルト・オイラー（1707–1783）によって最初に考案され、後にイタリア系フランス人の数学者ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ（1736–1813）によって完成されました。^[1]

天体の軌道要素の変分法の先駆けは、1748年にオイラーが木星と土星の相互摂動を研究していたときに発表された。^[2] 1749年の地球の運動の研究で、オイラーは軌道要素の微分方程式を得た。^[3] 1753年、彼はこの方法を月の運動の研究に応用した。^[4]

ラグランジュは1766年に初めてこの方法を使用しました。^[5] 1778年から1783年にかけて、彼はこの方法を2つの一連の回顧録でさらに発展させました。1つは惑星の運動の変化に関するもので、^[6]もう1つは3つの観測から彗星の軌道を決定するものでした。^[7] 1808年から1810年にかけて、ラグランジュは3番目の一連の論文でパラメータの変化法の最終的な形を示しました。^[8]

n次の通常の非同次線形微分方程式が与えられると、

を対応する同次方程式の解の ベクトル空間の基底とする${\displaystyle y_{1}(x),\ldots ,y_{n}(x)}$

すると、非同次方程式の 特定の解は次のように与えられる。

ここで、は微分可能な関数であり、条件を満たすと仮定される。 ${\displaystyle c_{i}(x)}$

（iii）から始めて、（iv） を繰り返し使用して繰り返し微分すると、

最後にもう一つの区別を挙げると

( iii )を( i )に代入し、( v )と( vi )を適用すると、

n方程式の線形システム（ivとvii）はクラメールの規則を 使って解くことができ、

${\displaystyle c_{i}'(x)={\frac {W_{i}(x)}{W(x)}},\,\quad i=1,\ldots ,n}$

ここで、は基底のロンスキ行列式であり、はi番目の列を次のように置き換えた基底のロンスキ行列式である。${\displaystyle W(x)}$${\displaystyle y_{1}(x),\ldots ,y_{n}(x)}$${\displaystyle W_{i}(x)}$${\displaystyle (0,0,\ldots ,b(x)).}$

非同次方程式の特定の解は次のように書ける。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}y_{i}(x)\,\int {\frac {W_{i}(x)}{W(x)}}\,\mathrm {d} x.}$

適切な単位での強制分散なしばねの方程式を考えます。

${\displaystyle x''(t)+x(t)=F(t).}$

ここで、x は平衡点x = 0からのバネの変位であり、F ( t ) は時間に依存する外部から加えられた力です。外部力がゼロの場合、これは同次方程式です（その解は正弦と余弦の線形結合であり、バネが一定の総エネルギーで振動していることに対応します）。

解は物理的に次のように構築できます。時刻 から の間では、解に対応する運動量は正味の変化をします(「インパルス (物理学) 」を参照)。非同次方程式の解は、現時点でt > 0では、 0 からtの間を移動するsについて、このようにして得られた解を線形に重ね合わせることで得られます。 ${\displaystyle t=s}$${\displaystyle t=s+ds}$${\displaystyle F(s)\,ds}$

同次初期値問題は、時刻に解に小さな衝撃が加えられることを表し、 ${\displaystyle F(s)\,ds}$${\displaystyle t=s}$

${\displaystyle x''(t)+x(t)=0,\quad x(s)=0,\ x'(s)=F(s)\,ds.}$

この問題の唯一の解は であることが簡単にわかります。これらすべての解の線形重ね合わせは、積分によって与えられます。 ${\displaystyle x(t)=F(s)\sin(t-s)\,ds}$

${\displaystyle x(t)=\int _{0}^{t}F(s)\sin(t-s)\,ds.}$

これが必要な方程式を満たしていることを確認するには:

${\displaystyle x'(t)=\int _{0}^{t}F(s)\cos(t-s)\,ds}$

${\displaystyle x''(t)=F(t)-\int _{0}^{t}F(s)\sin(t-s)\,ds=F(t)-x(t),}$

必要に応じて（ライプニッツの積分則を参照）。

パラメータの一般的な変化法は、非同次線形方程式を解くことを可能にする。

${\displaystyle Lx(t)=F(t)}$

2階線形微分演算子Lを正味の力とみなすことにより、時刻sとs + dsの間に解に与えられる全力積はF ( s ) dsとなる。同次初期値問題の解 を次のように表す。${\displaystyle x_{s}}$

${\displaystyle Lx(t)=0,\quad x(s)=0,\ x'(s)=F(s)\,ds.}$

すると、不同次方程式の特定の解は

${\displaystyle x(t)=\int _{0}^{t}x_{s}(t)\,ds,}$

無限小同次解を線形に重ね合わせた結果。高次の線形微分演算子への一般化があります。

実際には、パラメータの変化には通常、同次問題の基本解が関係し、無限小解は線形独立な基本解の明示的な線形結合によって与えられます。強制分散のないばねの場合、カーネルは関連する基本解への分解です。 ${\displaystyle x_{s}}$${\displaystyle \sin(t-s)=\sin t\cos s-\sin s\cos t}$

${\displaystyle y'+p(x)y=q(x)}$

元の（非同次）方程式の補完解は、対応する同次方程式の一般解です（以下を参照）。

${\displaystyle y'+p(x)y=0}$

この同次微分方程式は、変数の分離などさまざまな方法で解くことができます。

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}y+p(x)y=0}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-p(x)y}$

${\displaystyle {dy \over y}=-{p(x)\,dx},}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{y}}\,dy=-\int p(x)\,dx}$

${\displaystyle \ln |y|=-\int p(x)\,dx+C}$

${\displaystyle y=\pm e^{-\int p(x)\,dx+C}=C_{0}e^{-\int p(x)\,dx}}$

したがって、元の方程式の補完解は次のようになります。

${\displaystyle y_{c}=C_{0}e^{-\int p(x)\,dx}}$

ここで、非同次方程式を解きます。

${\displaystyle y'+p(x)y=q(x)}$

パラメータ変化法を用いて、相補解に未知の関数C ( x )を乗算することで特定の解が形成される。

${\displaystyle y_{p}=C(x)e^{-\int p(x)\,dx}}$

非同次方程式に特定の解を代入すると、C ( x )を求めることができます。

${\displaystyle C'(x)e^{-\int p(x)\,dx}-C(x)p(x)e^{-\int p(x)\,dx}+p(x)C(x)e^{-\int p(x)\,dx}=q(x)}$

${\displaystyle C'(x)e^{-\int p(x)\,dx}=q(x)}$

${\displaystyle C'(x)=q(x)e^{\int p(x)\,dx}}$

${\displaystyle C(x)=\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx+C_{1}}$

必要なのは単一の特定解だけなので、簡単にするために任意に選択します。したがって、特定解は次のようになります。 ${\displaystyle C_{1}=0}$

${\displaystyle y_{p}=e^{-\int p(x)\,dx}\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx}$

微分方程式の最終解は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=y_{c}+y_{p}\\&=C_{0}e^{-\int p(x)\,dx}+e^{-\int p(x)\,dx}\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx\end{aligned}}}$

これにより、因子を積分する方法が再現されます。

解決しましょう

${\displaystyle y''+4y'+4y=\cosh x}$

微分方程式の一般解、つまり同次微分方程式の解を求めたいのです。

${\displaystyle y''+4y'+4y=0.}$

特性方程式は次のようになります。

${\displaystyle \lambda ^{2}+4\lambda +4=(\lambda +2)^{2}=0}$

は重根であるため、線形独立性を保証するために、1つの解に対してxの因数を導入する必要があります。これら2つの関数の ロンスキアンは${\displaystyle \lambda =-2}$${\displaystyle u_{1}=e^{-2x}}$${\displaystyle u_{2}=xe^{-2x}}$

${\displaystyle W={\begin{vmatrix}e^{-2x}&xe^{-2x}\\-2e^{-2x}&-e^{-2x}(2x-1)\\\end{vmatrix}}=-e^{-2x}e^{-2x}(2x-1)+2xe^{-2x}e^{-2x}=e^{-4x}.}$

ロンスキアンはゼロではないため、2 つの関数は線形独立であり、これは実際には同次微分方程式の一般解です (単なるサブセットではありません)。

関数A ( x )とB ( x )を求めると、 A ( x ) u ₁  +  B ( x ) u ₂は非同次方程式の特殊解となる。積分を計算するだけでよい。

${\displaystyle A(x)=-\int {1 \over W}u_{2}(x)b(x)\,\mathrm {d} x,\;B(x)=\int {1 \over W}u_{1}(x)b(x)\,\mathrm {d} x}$

この例を思い出してください

${\displaystyle b(x)=\cosh x}$

つまり、

${\displaystyle A(x)=-\int {1 \over e^{-4x}}xe^{-2x}\cosh x\,\mathrm {d} x=-\int xe^{2x}\cosh x\,\mathrm {d} x=-{1 \over 18}e^{x}\left(9(x-1)+e^{2x}(3x-1)\right)+C_{1}}$

${\displaystyle B(x)=\int {1 \over e^{-4x}}e^{-2x}\cosh x\,\mathrm {d} x=\int e^{2x}\cosh x\,\mathrm {d} x={1 \over 6}e^{x}\left(3+e^{2x}\right)+C_{2}}$

ここで、およびは積分定数です。 ${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$

次のような微分方程式がある。

${\displaystyle u''+p(x)u'+q(x)u=f(x)}$

そして線形演算子を定義する

${\displaystyle L=D^{2}+p(x)D+q(x)}$

ここで、D は微分演算子を表します。したがって、と が既知で ある場合、について方程式を解く必要があります。${\displaystyle Lu(x)=f(x)}$${\displaystyle u(x)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle f(x)}$

まず、対応する同次方程式を解かなければなりません。

${\displaystyle u''+p(x)u'+q(x)u=0}$

選択した手法で。この同次微分方程式の 2 つの線形独立な解 (この ODE は 2 次であるため) が得られたら (これらをu ₁とu ₂と呼びます)、パラメータの変化に進むことができます。

さて、我々は次のような形式であると仮定した 微分方程式の一般解を求める。${\displaystyle u_{G}(x)}$

${\displaystyle u_{G}(x)=A(x)u_{1}(x)+B(x)u_{2}(x).}$

ここで、およびは未知であり、およびは同次方程式の解です。(およびが定数である場合、 となることに注意してください。) 上記は 1 つの方程式のみであり、2 つの未知の関数があるため、2 番目の条件を課すのは妥当です。次のものを選択します。 ${\displaystyle A(x)}$${\displaystyle B(x)}$${\displaystyle u_{1}(x)}$${\displaystyle u_{2}(x)}$${\displaystyle A(x)}$${\displaystyle B(x)}$${\displaystyle Lu_{G}(x)=0}$

${\displaystyle A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)=0.}$

今、

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{G}'(x)&=\left(A(x)u_{1}(x)+B(x)u_{2}(x)\right)'\\&=\left(A(x)u_{1}(x)\right)'+\left(B(x)u_{2}(x)\right)'\\&=A'(x)u_{1}(x)+A(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}(x)+B(x)u_{2}'(x)\\&=A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)+A(x)u_{1}'(x)+B(x)u_{2}'(x)\\&=A(x)u_{1}'(x)+B(x)u_{2}'(x)\end{aligned}}}$

再度微分する（中間ステップを省略）

${\displaystyle u_{G}''(x)=A(x)u_{1}''(x)+B(x)u_{2}''(x)+A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x).}$

ここで、 Lのu _Gへの作用は次のように 書ける。

${\displaystyle Lu_{G}=A(x)Lu_{1}(x)+B(x)Lu_{2}(x)+A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x).}$

u ₁とu ₂は解なので、

${\displaystyle Lu_{G}=A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x).}$

方程式の体系がある

${\displaystyle {\begin{bmatrix}u_{1}(x)&u_{2}(x)\\u_{1}'(x)&u_{2}'(x)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\f\end{bmatrix}}.}$

拡大、

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)\\A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\f\end{bmatrix}}.}$

上記のシステムは条件を正確に決定します

${\displaystyle A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)=0.}$

${\displaystyle A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x)=Lu_{G}=f.}$

これらの条件からA ( x ) とB ( x )を求めると、

${\displaystyle {\begin{bmatrix}u_{1}(x)&u_{2}(x)\\u_{1}'(x)&u_{2}'(x)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\f\end{bmatrix}}}$

( A ′( x ), B ′( x )) ^Tを解くことができるので、

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}(x)&u_{2}(x)\\u_{1}'(x)&u_{2}'(x)\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}0\\f\end{bmatrix}}={\frac {1}{W}}{\begin{bmatrix}u_{2}'(x)&-u_{2}(x)\\-u_{1}'(x)&u_{1}(x)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\f\end{bmatrix}},}$

ここで、W はu ₁とu ₂のWronskian を表します。( u ₁とu _{2 は}線形独立であるという仮定から、Wはゼロでないことがわかります。) したがって、

${\displaystyle {\begin{aligned}A'(x)&=-{1 \over W}u_{2}(x)f(x),&B'(x)&={1 \over W}u_{1}(x)f(x)\\A(x)&=-\int {1 \over W}u_{2}(x)f(x)\,\mathrm {d} x,&B(x)&=\int {1 \over W}u_{1}(x)f(x)\,\mathrm {d} x\end{aligned}}}$

同次方程式は比較的簡単に解けますが、この方法では不同次方程式の一般解の係数を計算することができ、したがって不同次方程式の完全な一般解を決定することができます。

および はそれぞれ任意の加法定数（積分定数）までしか決まらないことに注意してください。またはに定数を追加してもの値は変わりません。これは、追加の項がu ₁とu ₂の単なる線形結合であり、定義により の解であるためです。${\displaystyle A(x)}$${\displaystyle B(x)}$${\displaystyle A(x)}$${\displaystyle B(x)}$${\displaystyle Lu_{G}(x)}$${\displaystyle L}$

• アレクセーエフ・グレブナーの公式、定数の変分公式の一般化。
• 注文の削減

• コディントン、アール A.、レビンソン、ノーマン (1955)。『常微分方程式の理論』、マグロウヒル。
• Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (2005).初等微分方程式と境界値問題(第 8 版). Wiley. pp. 186–192, 237–241.
• テシュル、ジェラルド(2012)。『常微分方程式と動的システム』アメリカ数学会。

• オンラインノート/証明：Paul Dawkins、Lamar University。
• PlanetMath ページ。
• ラグランジュのパラメータ変化法に関する注釈