天体力学

天体力学は、宇宙空間における物体の運動を扱う天文学の 一分野です。歴史的に、天体力学は、物理学の原理(古典力学) を恒星や惑星などの天体に適用して、天体暦データを作成します。

現代の解析天体力学は、アイザック・ニュートンの『プリンキピア』（1687年）に始まった。天体力学という名称はそれよりも新しい。ニュートンは、この分野は「合理的力学」と呼ぶべきだと書いた。「力学」という用語は、ゴットフリート・ライプニッツによって少し後に登場し、ニュートンから1世紀以上経って、ピエール＝シモン・ラプラスが天体力学という用語を導入した。ケプラー以前は、幾何学的または数値的手法を用いた惑星の位置の正確で定量的な予測と、惑星の運動の物理的原因に関する当時の議論との間にはほとんどつながりがなかった。

ヨハネス・ケプラーは、 2世紀のプトレマイオスからコペルニクスまで支配的だった予言的幾何天文学を初めて物理的概念と密接に統合し、1609年に「原因に基づく新天文学」、すなわち天体物理学を生み出した。彼の研究は、自身の物理的原理とティコ・ブラーエによる惑星観測を用いて発展させた惑星軌道の法則につながった。ケプラーの楕円モデルは、ニュートンが1686年に万有引力の法則を編み出す何年も前に、惑星運動の予測精度を大幅に向上させた。

アイザック・ニュートンは、惑星、太陽、月などの天体の運動と、大砲の弾や落ちてくるリンゴなどの地上の物体の運動は、同じ物理法則で記述できるという考えを提唱した人物とされている。この意味で、彼は天体と地上の力学を統一した。ニュートンは自身の万有引力の法則を用いて、楕円軌道に関するケプラーの法則を重力二体問題から導き出し、それを1687年の画期的な著書『自然哲学の数学的原理』に盛り込んだ。

ニュートンの後、1772年にジョゼフ＝ルイ・ラグランジュが三体問題の解決を試み、惑星軌道の安定性を分析し、ラグランジュ点の存在を発見した。ラグランジュはまた、古典力学の原理を再定式化し、力よりもエネルギーを重視し、単一の極座標方程式を使用して、放物線や双曲面を含むあらゆる軌道を記述する方法を開発した。これは、惑星や彗星などの動作を計算するのに役立つ（放物線軌道と双曲軌道は、ケプラーの楕円軌道の円錐断面の延長である）。最近では、宇宙船の軌道を計算するのにも役立つようになっている。

アンリ・ポアンカレは、現在では古典的なモノグラフとなっている「天体力学の新手法」（1892-1899）と「天体力学講義」（1905-1910）を2冊出版した。この中で、彼は研究結果を3体の運動の問題にうまく応用し、解の挙動（周波数、安定性、漸近性など）を詳細に研究した。ポアンカレは、3体問題は積分不可能であることを示した。言い換えれば、3体問題の一般解は、物体の明確な座標と速度を通じて代数的および超越的関数で表現することはできない。この分野における彼の研究は、アイザック・ニュートン以来の天体力学における最初の大きな成果であった。^[1]

これらのモノグラフには、後に数学の「カオス理論」（特にポアンカレの再帰定理を参照）と一般力学系理論の基礎となったポアンカレのアイデアが含まれています。彼は分岐点という重要な概念を導入し、リング状や洋ナシ状などの非楕円体などの平衡図形の存在とその安定性を証明しました。この発見により、ポアンカレは王立天文学会の金メダル（1900年）を受賞しました。^[2]

サイモン・ニューカムはカナダ系アメリカ人の天文学者で、ピーター・アンドレアス・ハンセンの月の位置表を改訂した。1877年、ジョージ・ウィリアム・ヒルの助けを借りて、すべての主要な天文定数を再計算した。1884年以降、彼はAMWダウニングとともに、この問題に関する国際的な混乱を解決する計画を考案した。 1886年5月にフランスのパリで標準化会議に出席した頃には、すべての天体暦はニューカムの計算に基づくべきであるという国際的な合意が形成されていた。1950年になっても、さらに会議が開かれ、ニューカムの定数が国際標準であることが確認された。

アルバート・アインシュタインは、 1916 年の論文「一般相対性理論の基礎」で、水星の近日点の異常な歳差運動を説明しました。一般相対性理論により、天文学者はニュートン力学では最高の精度が得られない ことに気付きました。

天体の運動は、抗力やロケットの推力などの追加の力がない場合は、質量間の重力加速度の逆数によって決まります。これを一般化したものにはn体問題があり、^[3]質量n個が重力を介して相互作用します。一般的な場合には解析的に積分できませんが、 ^[4]数値的に積分をうまく近似することができます。

例:

• 4体問題: 火星への宇宙飛行 (飛行の一部では1つまたは2つの物体の影響は非常に小さいため、2体または3体問題になります。パッチ円錐近似も参照してください)
• 3体問題:
  • 準衛星
  • ラグランジュ点への宇宙飛行と滞在

（二体問題）の場合、構成はの場合よりもはるかに単純です。この場合、システムは完全に積分可能であり、正確な解を見つけることができます。^[5]${\displaystyle n=2}$${\displaystyle n>2}$

例:

• 連星、例えばアルファケンタウリ（ほぼ同じ質量）
• 連星小惑星、例：90アンティオペ（ほぼ同じ質量）

さらに単純化されるのは、「天体力学における標準的な仮定」に基づくもので、これには、一方の天体、つまり周回天体が、もう一方の天体、つまり中心天体よりもはるかに小さいという仮定が含まれます。これも、おおよそ有効であることが多いです。

例:

• 天の川銀河の中心を周回する太陽系
• 太陽を周回する惑星
• 惑星を周回する月
• 地球、月、または惑星を周回する宇宙船（後者の場合、近似値はその軌道に到着した後にのみ適用されます）

摂動論は、正確に解くことのできない問題に対する近似解を見つけるために用いられる数学的手法から成ります。(これは古くからある数値解析で用いられる手法と密接に関係しています。) 現代の摂動論が最も早く使われたのは、天体力学における、それ以外では解けない数学的問題、すなわち、地球と太陽の競合する重力のために単純なケプラーの楕円とは著しく異なる動きをする月の軌道に対するニュートンの解を扱うためでした。

摂動法は、厳密に解けるように慎重に選択された元の問題の単純化された形式から始まります。天体力学では、これは通常、ケプラーの楕円であり、重力を受ける物体が 2 つしかない場合 (たとえば、地球と月) に正しいです。または、円軌道であり、これは 2 体運動の特殊な場合にのみ正しいですが、実用上は十分に近い場合がよくあります。

解決されたが簡略化された問題は、その後、物体の位置の時間変化率方程式を実際の問題の値に近づけるために「摂動」されます。たとえば、より遠い第 3 の物体 (太陽) の重力の影響が考慮されるようになります。方程式の項から生じるわずかな変化 (方程式自体がさらに簡略化されている可能性があります) は、元の解の修正として使用されます。各ステップで簡略化が行われるため、修正が完璧になることはありませんが、1 サイクルの修正でも、実際の問題に対する近似解が著しく改善されることがよくあります。

修正サイクルを 1 回だけで止める必要はありません。部分的に修正されたソリューションは、さらに別の摂動と修正サイクルの新しい開始点として再利用できます。原則として、ほとんどの問題では、以前のソリューションをリサイクルして改良し、新しい世代のより優れたソリューションを得ることは、任意の有限の精度まで無期限に継続できます。

この方法の一般的な難点は、修正によって新しい解が次第に複雑になることが多く、そのため各サイクルは前の修正サイクルよりも管理がはるかに困難になることです。ニュートンは月の軌道の問題について「頭が痛くなる」と言ったと伝えられています。 ^[6]

この一般的な手順 (単純化された問題から始めて、修正された問題の出発点が実際の状況に近づくように徐々に修正を加えていく) は、高度な科学や工学で広く使用されている数学的なツールです。これは、古代に数字で使用されていた「推測、確認、修正」手法の自然な延長です。

天体力学における問題は、多くの場合、参照フレームの簡略化で提起されます。たとえば、三体問題に適用される朔望参照フレームでは、原点は2つの大きな天体の重心に一致します。n体シミュレーション用の他の参照フレームには、太陽中心参照フレームや地球中心参照フレームなど、原点が天体の質量の中心に沿うように配置されます。^[7]参照フレームの選択により、地球中心参照フレーム上にある 上位惑星の逆行運動など、多くの現象が発生します。

軌道力学または天体力学は、弾道学と天体力学をロケット、衛星、その他の宇宙船の運動に関する実際的な問題に応用したものです。これらの物体の運動は通常、ニュートンの運動法則と万有引力の法則から計算されます。軌道力学は、宇宙ミッションの設計と制御における中核的な分野です。

天体力学は、宇宙船と恒星系、惑星、衛星、彗星などの自然天体の両方を含む、重力の影響下にあるシステムの軌道力学をより広く扱います。軌道力学は、軌道操作、軌道面の変更、惑星間移動を含む宇宙船の軌道に焦点を当てており、ミッションプランナーが推進操作の結果を予測するために使用されます。

一般相対性理論は、軌道を計算するためのニュートンの法則よりも正確な理論であり、より高い精度が必要な場合や高重力の状況（太陽に近い軌道など）では、一般相対性理論を使用する必要がある場合があります。

• 天体測量学は、星やその他の天体の位置、距離、動きを測定する天文学の一部です。
• 天体物理学
• 天測航法は、船員が特徴のない海上で自分の位置を特定できるようにするために考案された最初のシステムである位置測定技術です。
• 開発エフェメリスまたはジェット推進研究所開発エフェメリス(JPL DE) は、天体力学と数値解析、天文学および宇宙船のデータを組み合わせた、広く使用されている太陽系のモデルです。
• 天球の力学は、恒星や惑星の運動の原因に関するニュートン以前の説明に関係しています。
• 動的時間スケール
• エフェメリスは、特定の時間または時間帯における天空の自然天体および人工衛星の位置をまとめたものです。
• 重力
• 月の理論は月の動きを説明しようとします。
• 数値解析は、天体機械学者によって開拓された数学の分野であり、一般的な正確な公式にまで解決するのが難しい、おおよその数値的な答え（天空の惑星の位置など）を計算するために使用されます。
• 太陽系の数値モデルを作成することは天体力学の本来の目的でしたが、不完全な形でしか達成されていません。この目標は、研究の原動力であり続けています。
• 軌道とは、重力などの求心力の影響を受けながら、物体が別の物体の周りを回る経路です。
• 軌道要素は、ニュートンの 2 体軌道を一意に指定するために必要なパラメーターです。
• 接触軌道は、他の摂動が存在しない場合、物体が中心天体の周りを回り続ける一時的なケプラーの軌道です。
• 逆行運動とは、惑星やその衛星などのシステムにおいて、中心天体の自転方向とは逆の方向、より一般的にはシステム全体の正味の角運動量とは逆の方向の軌道運動です。
• 見かけの逆行運動とは、地球（加速基準フレーム）から見たときに惑星が周期的に後ろ向きに動く運動のことです。
• 衛星とは、別の物体（主衛星と呼ばれる）の周りを回る物体です。この用語は、人工衛星（天然衛星や月とは対照的）を表すためによく使用されます。一般名詞「月」（大文字ではない）は、他の惑星の天然衛星を意味するために使用されます。
• 潮汐力は、不均衡な力と（主に）固体の加速度の組み合わせであり、液体（海洋）や大気圏の潮汐を引き起こし、惑星や衛星の地殻に負担をかけます。
• VSOP82 と VSOP87と呼ばれる 2 つのソリューションは、主要な惑星の軌道と位置に関する数学理論のバージョン 1 であり、長期間にわたって正確な位置を提供することを目指しています。

• 百科事典:天体力学Scholarpedia専門家の記事
• ポアンカレ、H. (1967)。『天体力学の新手法』（全3巻、英語訳版）。アメリカ物理学会。ISBN 978-1-56396-117-5。

ウィキメディア・コモンズには、天体力学に関連するメディアがあります。

• Calvert, James B. (2003-03-28)、天体力学、デンバー大学、2006-09-07 にオリジナルからアーカイブ、2006-08-21に取得
• 宇宙における地球の運動の天文学、David P. Stern による高校レベルの教育ウェブサイト
• リチャード・フィッツパトリックによるニュートン力学の学部レベルのコース。ラグランジアン力学とハミルトン力学、天体力学への応用、重力ポテンシャル理論、3 体問題、月の動き (太陽、月、地球の 3 体問題の例) が含まれます。

研究

• マーシャル・ハンプトンの研究ページ: n 体問題における中心配置 2002-10-01 にWayback Machineでアーカイブ

アートワーク

• 天体力学は、DSヘッセルズとG.ダンが制作したプラネタリウムのアートワークです。

コースノート

• ヴィクトリア大学のタタム教授の授業ノート

協会

• イタリア天体力学・天体力学協会

シミュレーション